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即點總在定直線上

[點評]本題第一問是直接待定系數(shù)求出方程，第二問本質(zhì)也是求動點軌跡是一條直線采用交軌法和參數(shù)法可求解。另外第二問還可以利用直線的參數(shù)方程解題。

4、(廣東卷18)．(本小題滿分14分)

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

(2)設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由(不必具體求出這些點的坐標)．

[解析](1)由得，

當得，G點的坐標為，，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為，

即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

(2)過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，

同理以為直角的只有一個。

若以為直角，設(shè)點坐標為，、兩點的坐標分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，

即以為直角的有兩個，

因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。

試題詳情

(四)　圓錐曲線

1、(08福建卷11)又曲線(a＞0,b＞0)的兩個焦點為F₁、F₂,若P為其上一點，且|PF₁|=2|PF₂|,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)

A.(1,3)　　　　　　　　　 B.　　　　　 C.(3,+)　　 D.

[解]PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a-a，故知e≤3又因為e＞1,選B

[點評]圓錐曲線的幾何參量是高考重點，而幾何參量中的離心率又是重中之重。

[突破]解決離心率的求值或求范圍問題，重要是找到的齊次等式或不等式。

2、(08陜西卷8)雙曲線(，)的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為( B　 )

A．　　　 B．　　 C．　　 D．

同上易知

3、(08安徽卷22)．(本小題滿分13分)

設(shè)橢圓過點，且著焦點為

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上

解 (1)由題意：

　　　　　，解得，所求橢圓方程為

(2)方法一

　設(shè)點Q、A、B的坐標分別為。

由題設(shè)知均不為零，記,則且

又A，P，B，Q四點共線，從而

于是　　　　　，　　　

　　　　　　　，　　

從而

　　　，(1)　，(2)

又點A、B在橢圓C上，即

　 (1)+(2)×2并結(jié)合(3)，(4)得

即點總在定直線上

方法二

設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。

且

又四點共線，可設(shè),于是

　　　　　　　　　　　　　　　(1)

　　　　　　　　　　　　　　　(2)

由于在橢圓C上，將(1)，(2)分別代入C的方程

整理得

　　　 (3)

　　　 (4)

試題詳情

(三) 直線與圓的位置關(guān)系

1、 (2008海南、寧夏文)已知m∈R，直線l：和圓C：。

(1)求直線l斜率的取值范圍；

(2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？

[解](Ⅰ)直線的方程可化為，

直線的斜率，

因為，

所以，當且僅當時等號成立．

所以，斜率的取值范圍是．

(Ⅱ)不能．

由(Ⅰ)知的方程為

，其中．

圓的圓心為，半徑．

圓心到直線的距離

．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．

所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段弧．

[點評]此題考查了直線方程，函數(shù)求值域，直線與圓的位置關(guān)系。難度不大但很好的綜合了以上知識點。

[突破]注意把直線方程中的換成k使表達簡單，減小運算量。

試題詳情

(二)圓

1、(2008上海文、理)如圖，在平面直角坐標系中，是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界)，A、B、C、D是該圓的四等分點．若點、點滿足且，則稱P優(yōu)于．如果中的點滿足：

不存在中的其它點優(yōu)于Q，那么所有這樣的點Q組成的集合是劣弧(　D　)

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．　

[解]由題意可知Q點一定是圓上的一段弧且縱坐標較大橫坐標較小，

故知是上半圓的左半弧。

[點評]此題是一個情景創(chuàng)設(shè)題，考查學生的應變能力。

[突破]Q點的縱坐標較大，橫坐標較小。

2、(2008天津文)已知圓的圓心與點關(guān)于直線對稱．直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為　　　　

[解]利用圓的標準方程待定系數(shù)易得結(jié)果。

[點評]此題雖小但考查到了對稱、直線與圓相交、圓的方程等知識。

[突破]利用對稱求出圓心坐標，利用直角三角形解出半徑。

試題詳情

(一)直線

1、(2008四川文、理) 直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個單位，所得到的直線為( A )

(A)　(B)　(C)　(D)

[解]∵直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰(C)，(D)

　　　又∵將向右平移1個單位得，即　故選A；

[點評]此題重點考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；

[突破]熟悉互相垂直的直線斜率互為負倒數(shù)，過原點的直線無常數(shù)項；重視平移方法：“左加右減”；

2、 (2008江蘇) 如圖，在平面直角坐標系中，設(shè)三角形的頂點分別為，點在線段AO上的一點(異于端點)，這里均為非零實數(shù)，設(shè)直線分別與邊交于點，某同學已正確求得直線的方程為，請你完成直線的方程： (　　)。

[解]畫草圖，由對稱性可猜想填．事實上，由截距式可得直線AB：，直線CP：，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．[答案]

[點評]本小題考查直線方程的求法．

[突破]注意觀察出對稱性。

試題詳情

(三)高頻考點及考題類型

　　 1、直線以傾斜角、斜率、夾角、距離、平行與垂直、線性規(guī)劃(老)等有關(guān)的問題，其中要重視“對稱問題”及”線性規(guī)劃問題”的解答。

　　 2、與圓位置有關(guān)的問題，一是研究方程組；二是充分利用平面幾何知識。重在后者。

3、求曲線的方程或軌跡問題，涉及圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)(如求離心率的問題)

4、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，如參數(shù)的變量取值范圍、最值；幾何參量的求值問題。

5、以圓錐曲線為載體在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計問題，其目的是加強聯(lián)系注重應用，考查學生的應變能力以及分析問題和解決問題的能力。

試題詳情

(一)基本知識網(wǎng)絡(luò)

(二)基本知識點(定義公式)

1、直線

(1)兩點P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)的距離公式：.

若直線的斜率為k，則.

　(老教材)定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂).則　　　

特例，中點坐標公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標公式。

(2)　　直線的傾斜角(0°≤＜180°)、斜率: 過兩點.

當(即直線和x軸垂直)時，直線的傾斜角＝，沒有斜率

(3)直線方程的幾種形式：

直線名稱	已知條件	直線方程	使用范圍
點斜式			k存在
斜截式	k,b		k存在
兩點式	(x₁,y₁)、(x₂,y₂)
截距式	a,b
一般式			A、B不全為0
參數(shù)式	傾斜角		t為參數(shù)

(4)兩條直線的位置關(guān)系

①若兩條直線的方程分別為　 l₁： y=k₁x+b₁；　 l₂： y=k₂x+b₂．則　

l₁|| l₂⇔k₁=k₂,且b₁≠b₂;　　　l₁⊥l₂⇔k₁•k₂= -1 ;

當1+k₁k₂≠0時，若q為l₁到l₂的角，則，若α為l₁和l₂的夾角則，

②如果直線l₁、l₂的方程分別為l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,　 l₂: A₂x+B₂y+C₂=0　則l₁與l₂

　相交的充要條件：；交點坐標：

. 平行的充要條件：l₁|| l₂⇔A₁B₂-A₂B₁=0,(B₁C₂-B₂C₁)²+(C₁A₂-C₂A₁)²≠0.

　垂直的充要條件：l₁⊥ l₂⇔A₁A₂+B₁B₂=0.

　重合的充要條件：l₁與l₂重合⇔A₁B₂-A₂B₁=B₁C₂-B₂C₁=C₁A₂-C₂A₁=0 (或).

若 A₁A₂+B₁B₂≠0，直線l₁到直線l₂的角是θ，則有tanθ=

(5)直線系方程

①與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m∊R, C≠m).

② 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( m∊R)

③ 過定點(x₁,y₁)的直線系方程是：　 A(x-x₁)+B(y-y₁)=0　 (A,B不全為0)

④ 過直線l₁、l₂交點的直線系方程：(A₁x+B₁y+C₁)+λ( A₂x+B₂y+C₂)=0 (λ∊R) 注：該直線系不含l₂.

(5)距離

①點P(x_o,y_o)到直線l：Ax+By+C= 0的距離　

②兩平行線l₁:Ax+By+c₁=0, l₂:Ax+By+c₂=0間的距離公式:d=

2、圓

(1)　　圓的定義：平面上到一定點的距離等于定長的點的軌跡。

(2)　　圓的方程

① 圓的標準方程：(x-a)²+(y-b)²=r²

②一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0,(D²+E²-4F>0)　圓心坐標：(-，-) 半徑r=

③以(x₁,y₁),(x₂,y₂)為直徑兩端的圓的方程：(x-x₁)(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0

④圓的參數(shù)方程：　(為參數(shù))

　　 (3) 點與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C∶(x-a)²+(y-b)²=r²，點M(x₀，y₀)到圓心的距離為d，則有：

幾何表示(1)d＞r 點M在圓外；　 (2)d=r 點M在圓上；　　　　　 (3)d＜r 點M在圓內(nèi)．

　　代數(shù)表示(x-a)²+(y-b)²＞r²點M在圓外；(x-a)²+(y-b)²＝r²點M在圓上；(x-a)²+(y-b)²＜r²點M在圓內(nèi)；

(4)直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)²+(y-b)²=r²,　直線l的方程為Ax+By+C=0.1圓心(a,b)到l的距離為d;

　2消去y得關(guān)于x的一元二次方程判別式為△，則有：

位置關(guān)系	公共點個數(shù)	數(shù)量關(guān)系
相離	0	d>r	⊿< 0
相切	1	d=r	⊿ = 0
相交	2	d<r	⊿> 0

(5) 圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C1：(x-a)²+(y-b)²=r₁²和圓C2：(x-m)²+(y-n)²=r₂²(r₁≥r₂)，且設(shè)兩圓圓心距為d，則有：

位置關(guān)系	相離	外切	相交	內(nèi)切	內(nèi)含
數(shù)量關(guān)系	d> r₁+r₂	d=r₁+r₂	r₁-r₂<d<r₁+r₂	d=r₁-r₂	d<r₁-r₂(d=0：兩圓同心)

(6)幾個常用結(jié)論和方法

①弦長的求解：弦心距d、圓半徑r、弦長l,則：(根據(jù)垂弦定理和勾股定理)

②圓的切線方程的求法

過圓上的點的圓的切線方程

..圓x²+y²=r²，圓上一點為(x₀，y₀)，則此點的切線方程為x₀x+y₀y=r²(課本命題)．

..圓(x-a)²+(y-b)²=r²，圓上一點為(x₀，y₀)，則過此點的切線方程為(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=r²(課本命題的推廣)．

..以(x₀,y₀)為切點的圓x²+y²+Dx+Ey+F=0的切線方程：分別以x_ox,y_oy,替換圓方程中的x²,y²,x,y.

過圓外一點M(x_o,y_o)，作圓(x-a)²+(y-b)²=r²的切線，可設(shè)切線方程為點斜式：

　 y-y_o=k(x-x_o)，利用圓心到直線的距離等于半徑或與圓的方程聯(lián)立用判別式法求k。

注意：由圓外一點向圓引切線，應當有兩條切線。但，可能只算出一個 k值，那么，另一條斜率不存在，即過(x₀,y₀)垂直于x軸的直線x=x₀.

③兩圓相交時的公共弦方程、兩圓外切時的內(nèi)公切線、兩圓內(nèi)切時的外公切線：兩圓方程作差，消去二次項所得的直線方程即為所求。

3圓錐曲線

(1)橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)(見后表)

(2)橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質(zhì).

(3)等軸雙曲線

(4)共軛雙曲線

(5)方程y²=ax與x²=ay的焦點坐標及準線方程.

(6)共漸近線的雙曲線系方程.

(7)點、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

	橢圓	雙曲線	拋物線
定義	1．到兩定點F₁,F₂的距離之和為定值2a(2a>\|F₁F₂\|)的點的軌跡	1．到兩定點F₁,F₂的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<\|F₁F₂\|)的點的軌跡
2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0<e<1)	2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(e>1)	與定點和直線的距離相等的點的軌跡.
圖形
方　　程	標準方程	(>0)	(a>0,b>0)	y²=2px
參數(shù)方程			(t為參數(shù))
范圍	─a£x£a，─b£y£b	\|x\| ³ a，yÎR	x³0
中心	原點O(0，0)	原點O(0，0)
頂點	(a,0),　 (─a,0),　 (0,b) , (0,─b)	(a,0),　 (─a,0)	(0,0)
對稱軸	x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b	x軸，y軸; 實軸長2a, 虛軸長2b.	x軸
焦點	F₁(c,0), F₂(─c,0)	F₁(c,0), F₂(─c,0)
焦距	2c　 (c=)	2c　 (c=)
離心率			e=1
準線	x=	x=
漸近線		y=±x
焦半徑
通徑			2p
焦參數(shù)			P