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3．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標(biāo)

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵設(shè)＝(x,y,z)，則

解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).

1?設(shè)，，且，記，

求與軸正方向的夾角的余弦值

解：取軸正方向的任一向量，設(shè)所求夾角為，

∵

∴，即為所求

2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

∴∠ABC＝45°

例1 求證：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行

已知：直線于，于．

求證：．

證明：以為原點(diǎn)，射線為非負(fù)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

分別為沿軸，軸，軸的坐標(biāo)向量，

設(shè)，

∵，∴，，

，

，

∴，即，

又知，為兩個(gè)不同的點(diǎn)，∴．

點(diǎn)評(píng)：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，記作，此時(shí)向量叫做平面的法向量．

例2．在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是中點(diǎn)，在棱上，，是的中點(diǎn)，

(1)求證：；

(2)求與所成的角的余弦；

(3)求的長(zhǎng)

解：如圖以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，，

(1)，，

∴，

∴．

(2)∵，

∴，

，，

∴，

∴與所成的角的余弦．

(3)∵，

∴．

例3．已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，，

(1)求證：是平面的法向量；

(2)求平行四邊形的面積．

(1)證明：∵，

，

∴，，又，平面，

∴是平面的法向量．

(2)，，

∴，

∴，

∴，

∴．

例4　在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝a，BC＝b，AA₁＝c，求異面直線BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析一：利用，以及數(shù)量積的定義，可求出cos＜＞，從而得到異面直線BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量，且將向量的

運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的

　解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，使D為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則B(b,a,0),D₁(0,0,c),B₁(b,a,c),C(0,a,0)

設(shè)異面直線BD₁和B₁C所成角為θ，則

6．兩點(diǎn)間的距離公式：若，，

則，

或

5．夾角公式：．

3．空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

(1)若，，則，

，，

， ，

．

(2)若，，則．

一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

4 模長(zhǎng)公式：若，，

則，．

1 空間直角坐標(biāo)系：

(1)若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；

(2)在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎�方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚�(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；

2．空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

　 　在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．

12.下面是對(duì)這篇文章的賞析，不正確的兩項(xiàng)是( 　　　)

A.在場(chǎng)外看張三一家的鬧劇的讀者，或許會(huì)覺(jué)得他們杞人憂天而發(fā)出輕松的笑聲；而對(duì)于場(chǎng)內(nèi)的人來(lái)說(shuō)，那是嚴(yán)肅的，他們的精神都是高度緊張，處于恐慌之中的。

B.在高度壓力下慌亂如螞蟻的人們，對(duì)生存的憂慮，在不可抗拒力量的面前，束手無(wú)策，體現(xiàn)出無(wú)可奈何聽天由命的態(tài)度，在作出一些努力之后，發(fā)現(xiàn)自己還是無(wú)法抗拒時(shí)，便在憂慮中任其自然，而心里還會(huì)盼望最后一刻出現(xiàn)奇跡。

C.小說(shuō)的主題是：揭示人在災(zāi)難來(lái)臨之前的心態(tài)和人的自救行為。

D.人在面對(duì)生活中突如其來(lái)的、莫名其妙的災(zāi)難時(shí)，總是在恐慌中嘗試各種辦法,尋找出路的，小說(shuō)中用張三一家的多種藏物方法對(duì)人的嘗試努力進(jìn)行暗示。那么一次次藏物又一次次地被找到，但還繼續(xù)努力，暗示的是：人在強(qiáng)大的勢(shì)力面前束手無(wú)策，只能坐以待斃。

E.小說(shuō)中還附帶地寫到鄰居趙三，寫趙三的目的是要暗示：在那樣的社會(huì)里，人人都只顧自身。因?yàn)閺乃�和張三的�?jiǎn)短的問(wèn)答中，我們可以看出趙三是一個(gè)極其勢(shì)利的小人，他一得知可能抄到自家的消息后，立馬就去保護(hù)自家的財(cái)產(chǎn)。

讀讀背背

　　　　　　　　　　　　 八陣圖①

杜甫

功蓋三分國(guó)，名高八陣圖②。

江流石不轉(zhuǎn)，遺恨失吞吳③。

[注釋] ①八陣：天、地、風(fēng)、云、龍、虎、鳥、蛇。圖：法度，規(guī)模。八陣圖：聚細(xì)石成堆，各高五尺，縱橫棋布。夏時(shí)為水隱沒(méi)，冬時(shí)水退仍然出現(xiàn)。遺跡曾見與夔州西南永安宮前平沙上，相傳諸葛亮所布八陣有四處，都在四川，以夔州最為有名。 ②功蓋：在三國(guó)時(shí)功德最超卓，影響最大。三分國(guó)：三分天下的魏、蜀、吳三國(guó)。 ③石不轉(zhuǎn)：指江流雖沖激甚烈，遺跡卻終不消失。失吞吳：失策而攻吳。

[賞析]《八陣圖》旨在贊頌諸葛亮輝煌的一生，崇敬之情溢于言表�！肮ιw三分國(guó)，名成八陣圖”十個(gè)字，展現(xiàn)了詩(shī)人對(duì)諸葛亮的極端崇敬心情。后兩句惋惜諸葛亮不能阻止劉備對(duì)東吳用兵，導(dǎo)致鼎足之勢(shì)失衡，遺恨千古。全詩(shī)跌宕有致，感情深沉。

11.看完張三一家的鬧劇之后我們隱約地體會(huì)到小說(shuō)中作者所要傳達(dá)的意義是什么？

10.主旨的行文用了一種怎樣的手法呢？