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(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個(gè)值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ 　公式E(aξ+b)= aEξ+b，以及服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np

3．設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè)．今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸桿菌中恰有k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A(在此升水中含一個(gè)大腸桿菌)恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算方法可求出P(ξ=k),進(jìn)而可求Eξ.

　解：記事件A：“在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則P(A)=．

　　∴　P(ξ=k)=P_n(k)=C)^k(1－)^n－k(k=0,1,2,….,n)．

　∴　ξ-B(n,)，故　Eξ =n×=　 　

2. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求

⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望；

⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望；

⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望．

解：⑴因?yàn)?sub>，，所以

1×+0×

⑵η的概率分布為

η	0	1	2
P

所以　　 0×+1×+2×＝1.4．

　　 ⑶ξ的概率分布為

ξ	0	1	2	3
P

　　所以　 0×+1×+2×＝2.1.

1. 口袋中有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號(hào)碼，則(　　　 )

A．4；　B．5；　C．4.5；　D．4.75

答案：C 　

例1. 籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望

解：因?yàn)?sub>，

所以

例2. 隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望

解：∵，

=3.5

例3. 有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過(guò)10次求抽查次數(shù)的期望(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)

解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次(=1，2，…，10)取出次品的概率：

(=1，2，…，10)

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.15	0.1275	0.1084	0.092	0.0783	0.0666	0.0566	0.0481	0.0409	0.2316

根據(jù)以上的概率分布，可得的期望

例4. 一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望

解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則~ B(20,0.9),,

由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是：

例5．隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的概率分布為

ξ	1	2	3	4	5	6
P

所以　　

1×+2×+3×+4×+5×+6×

＝(1+2+3+4+5+6)×＝3.5．

拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例6．某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足lkm的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費(fèi)為η

(Ⅰ)求租車費(fèi)η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；

(Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為

求所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望．

(Ⅲ)已知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘?

解：(Ⅰ)依題意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；

(Ⅱ)

∵　 η=2ξ+2

∴　 2Eξ+2=34.8　 (元)

故所收租車費(fèi)η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．

　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15

　所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘 　

5.若ξB(n,p)，則Eξ=np

證明如下：

∵　，

∴　0×+1×+2×+…+k×+…+n×．

又∵　 ，

　 ∴　 ++…++…+．

故　若ξ-B(n，p)，則np．

4. 期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為

ξ	x1	x2	…	xn	…
η			…		…
P	p1	p2	…	pn	…

于是……

　　　 ＝……)……)

　　　 ＝，

由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì):

3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值

2. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平

根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下

在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的期望

根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，

我們可以估計(jì)，在n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有　

　次得4環(huán)；

　　次得5環(huán)；

…………

　次得10環(huán)．

故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為

，

從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為

．

這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．

對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個(gè)(i=0，1，2，…，10)，我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):

…．

1.數(shù)學(xué)期望:　 一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為

則稱 ……　 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．