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4.若，求證：

3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證：

2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：

1.比較(a+3)(a－5)與(a+2)(a-4)的大小.

[例1] 已知a>b(ab),比較與的大小.

錯(cuò)解： a>b(ab)，<.

錯(cuò)因：簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.

正解：，又 a>b(ab)，

(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b<a<0時(shí)，則ab>0,b－a<0, ,<.

(2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，則a>0,b<0, >0,<0>.

[例2] 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是(　)

A.　　B.　　C.　　D.

錯(cuò)解：所以選B.

錯(cuò)因是由于在、、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較.

正解：由均值不等式及a²+b²2ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，最小，而＝，由當(dāng)ab時(shí)，a+b>2,兩端同乘以，可得(a+b)·＞2ab, ＜，因此選D.

[例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )²+(b+ )²的最小值.

錯(cuò)解: (a+)²+(b+)²=a²+b²+++4≥2ab++4≥4+4=8,

∴(a+)²+(b+)²的最小值是8.

錯(cuò)因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.

正解：原式= a²+b²+++4=( a²+b²)+(+)+4=[(a+b)²－2ab]+[(+)²－]+4

　　　　　　 = (1－2ab)(1+)+4，

由ab≤()²= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17，

∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，

∴(a + )² + (b + )²的最小值是.

[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小.

解法一：

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1,　 　　∴

　　　 ∴

解法二：

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1,　 1 + x > 1,　 ∴

　　　 ∴　 ∴

解法三：∵0 < x < 1,　 ∴0 < 1 - x < 1,　 1 < 1 + x < 2,

　　　 ∴

　　　 ∴左 - 右 =

　　　 ∵0 < 1 - x² < 1, 且0 < a < 1　 ∴

　　　 ∴

　 [例5]已知x² = a² + b²，y² = c² + d²，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd

證：證法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù)

　　　　　　　 ∴要證：xy≥ac + bd

　　　　　　　　 　只需證：(xy)²≥(ac + bd)²

　　 　　　　　　　即：(a² + b²)(c² + d²)≥a²c² + b²d² + 2abcd

　　　　　　　　 展開得：a²c² + b²d² + a²d² + b²c²≥a²c² + b²d² + 2abcd

　　　　　　　　 即：a²d² + b²c²≥2abcd　　 由基本不等式，顯然成立

　　　　　　　 ∴xy≥ac + bd

證法二(綜合法)xy =

　　　　　　　　 ≥

證法三(三角代換法)

　　　 ∵x² = a² + b²，∴不妨設(shè)a = xsina,　 b = xcosa

y² = c² + d² c = ysinb,　 d = ycosb

　　　　　　 ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy

[例6] 已知x > 0，求證：

證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2≤a<b　

由

顯然　 ∵2≤a<b　 ∴a - b > 0,　 ab - 1 > 0,　 ab > 0　 ∴上式 > 0

∴f (x)在上單調(diào)遞增，∴左邊

5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用.　

4.反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾.

3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙�證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語.

2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗�方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч�，宜于表述，因�(yàn)樗鼦l理清晰，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).

1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向.