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5、最值：，

4、單調(diào)性：增函數(shù)

3、奇偶性：奇函數(shù)(用定義證明，證明過程略)

2、值域：

1、定義域；

3．反正弦函數(shù)

習(xí)慣上，表示自變量，表示因變量，將反正弦函數(shù)記作：

，，

2．反正弦函數(shù)的值

　　 我們來看具體的例子：

(1)反正弦函數(shù)值表示范圍內(nèi)的一個角，并且，這個角就是，即=。

(2)反正弦函數(shù)值表示范圍內(nèi)的一個角，并且，要想知道這個角可以通過查表或計算器得到結(jié)果。而且可以解決前面上課時提出的問題：已知，如何表示？現(xiàn)在我們知道了，可以表示為。

(3)式子表示什么？等于多少呢？我說它等于1，對嗎？

因為中，所以無意義！

對于反正弦函數(shù)值有如下需要我們注意的：

1)　　　 當(dāng)時，有意義；

2)　　　 表示的角值；

3)　　　 。

1．引進(jìn)符號

由于反正弦函數(shù)并不是正弦函數(shù)的反函數(shù)，而是函數(shù)，的反函數(shù)。用一個記號來表示，引進(jìn)記號：。

選擇表示反正弦函數(shù)是有道理的。中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，它是英文單詞，解釋為“圓弧”，圓弧即圓周上的一段，那么圓弧與圓心角有什么關(guān)系呢？，在單位圓中，即，所以此時弧即角，角即弧。我們可以將arc理解作角，所以從字面上理解就是正弦值為所對應(yīng)的角，因此用記反正弦函數(shù)是有道理的。 表示正弦值為所對應(yīng)的角，等號是“是”的意思，所以， 即：正弦值為所對應(yīng)的角是，是正弦值為所對應(yīng)的角。因為反正弦函數(shù)是函數(shù)，的反函數(shù)。所以，自變量的取值范圍就是原來函數(shù)的值域，因變量的取值范圍就是原來函數(shù)的定義域，因為是，故而，且。

　　 我們學(xué)習(xí)過反函數(shù)，知道反函數(shù)的概念，也明確不是任何一個函數(shù)都存在反函數(shù)。函數(shù)要存在反函數(shù)必須要求其自變量與因變量是一一對應(yīng)的。

　　 那么正弦函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？

(學(xué)生作答：答案是否定的。學(xué)生說出理由：因為對于任一正弦值都有無數(shù)個角值與之對應(yīng)。正弦函數(shù)的自變量與因變量是多對一的。故而不存在反函數(shù)。)

　　 正弦函數(shù)不存在反函數(shù)，那么怎樣利用正弦函數(shù)，由正弦值確定相應(yīng)的角值呢？

　　 通過一個例子來說明問題。

關(guān)于的式子，可以表示的角有無數(shù)多個，為，那么這個結(jié)果從何而來？

首先你能寫出的滿足條件的是哪個？

，因為，由 ，還可以寫出哪些滿足條件的，是，為什么？(因為根據(jù)三角比的定義具有相同終邊的角其對應(yīng)的三角比值相等)

還有其他滿足條件的嗎？

(有！，因為根據(jù)誘導(dǎo)公式，所以。)

通過這個例子，我們說用正弦值表示相應(yīng)角值時，只要能表示出一個相應(yīng)的角值就可以了。根據(jù)三角比的定義和誘導(dǎo)公式可以用它將其余的角值表示出。

　　 所以正弦函數(shù)不存在反函數(shù)。但只要選取某一區(qū)間使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)。因變量可以確定自變量，正弦值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的正弦值表示就可以了。

　　 那么選取怎樣的區(qū)間，使得存在反函數(shù)呢？

依據(jù)兩個原則：

(1)所取區(qū)間在該區(qū)間上存在反函數(shù)；

(2)能取到的一切函數(shù)值。

依據(jù)這兩個原則選擇怎樣的區(qū)間呢？

學(xué)生回答、討論，不斷補(bǔ)充完善。

(先選擇，因為它包含了所有的正銳角和零角，但不符合原則(2)，補(bǔ)上，因為取到的一切函數(shù)值，并且與是連接在一起的，且關(guān)于原點對稱，應(yīng)用方便)

所以，選取閉區(qū)間，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，而這個反函數(shù)就是今天要學(xué)習(xí)的反正弦函數(shù)。

　　 我們今天學(xué)習(xí)反正弦函數(shù)。

　　 三角學(xué)起源于測量，天文測量、航海測量都是利用三角形之間的邊角關(guān)系來測量的。即利用比值與角之間的關(guān)系測量得到距離、高度和角度。而在測量的實際計算過程中我們經(jīng)常會遇到兩類相反的問題。一類是已知角值求比值，這是我們學(xué)習(xí)過的，例如，正弦函數(shù)它就是一個角值函數(shù)，任意角都有唯一確定的正弦值與之對應(yīng)，即已知某一個角值都可以通過正弦函數(shù)，將其正弦值表示出。例如：，其正弦值可以表示為；，其正弦值表示為。

　　 而另一類相反的問題是已知比值求角值，例如：已知角的正弦值為，那么角如何表示呢？

(可以表示為；)

如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？

這就產(chǎn)生了怎樣用正弦值表示相應(yīng)角的問題？

　　 我們說正弦函數(shù)研究的是角值如何確定正弦值，角值是自變量，正弦值是因變量，而現(xiàn)今要解決的是正弦值如何確定相應(yīng)的角值？所以，我們要反過來，由正弦函數(shù)的因變量去確定自變量。即需要我們考慮正弦函數(shù)的反函數(shù)。