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2． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位；

1． 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比，它表示與之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系(非確定性關(guān)系)其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計(jì)值，的工具；

2．練習(xí)：練習(xí)第題．

1．例題：

例1．下表給出了我國(guó)從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)我國(guó)年的人口數(shù)．

年份
人口數(shù)/百萬(wàn)

解：為了簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對(duì)應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：

											[來(lái)源:]

作出個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的散點(diǎn)圖，

由圖可知，這些點(diǎn)在一條直線附近，可以用線性回歸模型來(lái)表示它們之間的關(guān)系．

根據(jù)公式(1)可得

這里的分別為的估

計(jì)值，因此線性回歸方程

為

由于年對(duì)應(yīng)的,代入線性回歸方程可得(百萬(wàn))，即年的人口總數(shù)估計(jì)為13.23億.

例2． 某地區(qū)對(duì)本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本(萬(wàn)元)與人均產(chǎn)出(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)：

人均 資本 /萬(wàn)元
人均 產(chǎn)出 /萬(wàn)元

　 (1)設(shè)與之間具有近似關(guān)系(為常數(shù))，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)和的值；

　 (2)估計(jì)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)的人均產(chǎn)出(精確到)．

分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問(wèn)題不是線性回歸問(wèn)題，不能直接用線性回歸方程處理．但由對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)可知，只要對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系．

解(1)在的兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得，設(shè)，，，則．相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算如圖所示．

1	人均資本/萬(wàn)元	3	4	5.5	6.5	7	8	9	10.5	11.5	14
2	人均產(chǎn)出/萬(wàn)元	4.12	4.67	8.68	11.01	13.04	14.43	17.5	25.46	26.66	45.2
3		0.47712	0.60206	0.74036	0.81291	0.8451	0.90309	0.95424	1.02119	1.0607	1.14613
4		0.6149	0.66932	0.93852	1.04179	1.11528	1.15927	1.24304	1.40586	1.42586	1.65514

仿照問(wèn)題情境可得，的估計(jì)值，分別為由可得，即，的估計(jì)值分別為和．

　 (2)由(1)知．樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖(見(jiàn)書(shū)本 頁(yè))

當(dāng)時(shí)，(萬(wàn)元)，故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬(wàn)元時(shí)，人均產(chǎn)值約為萬(wàn)元．

4． 化歸思想(轉(zhuǎn)化思想)

在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)．下面列舉出一些常見(jiàn)的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式．

　 (1)，令，，則有．

　 (2)，令，，，則有．

　 (3)，令，，，則有．

　 (4)，令，，，則有．

　 (5)，令，，則有．

3． 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個(gè)單位，相應(yīng)地平均增加個(gè)單位；

2．探求線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值：

對(duì)于問(wèn)題②，設(shè)有對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對(duì)于每一個(gè)，對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好．所以，只要求出使取得最小值時(shí)的，值作為，的估計(jì)值，記為，．

注：這里的就是擬合直線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離．

用什么方法求，？

回憶《數(shù)學(xué)3(必修)》“2．4線性回歸方程”P(pán)71“熱茶問(wèn)題”中求，的方法：最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到，的計(jì)算公式為

，

其中，

由此得到的直線就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值．

在前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的線性回歸方程中，，．

1．線性回歸模型的定義：

我們將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；

的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；

將稱為線性回歸模型．

說(shuō)明：(1)產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有：

①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；

②忽略了某些因素的影響；

③存在觀測(cè)誤差．

　 (2)對(duì)于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個(gè)問(wèn)題：

　　　 �、倌Ｐ褪欠窈侠�(這個(gè)問(wèn)題在下一節(jié)課解決)；

　　　　 ②在模型合理的情況下，如何估計(jì)，？

思考，討論：這些點(diǎn)并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系，的實(shí)際值與估計(jì)值之間存在著誤差．

2．問(wèn)題：在時(shí)刻時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)位置一定是嗎？