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2．向量的應(yīng)用

(1)向量在幾何中的應(yīng)用；

(2)向量在物理中的應(yīng)用。

試題詳情

1．向量的數(shù)量積

(1)兩個(gè)非零向量的夾角

已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫與的夾角；

說明：(1)當(dāng)θ＝0時(shí)，與同向；

(2)當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；

(3)當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記⊥；

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°≤q≤180°。

(2)數(shù)量積的概念

已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。規(guī)定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影；

(3)數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積。

(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)

①向量的模與平方的關(guān)系：。

②乘法公式成立

；

③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律成立：；

對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夾角：cos==。

當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=0⁰，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=180⁰，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。

(5)兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知兩個(gè)向量，則·=。

(6)垂直：如果與的夾角為90⁰則稱與垂直，記作⊥。

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。

(7)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)，則或。

如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。

試題詳情

本講以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。

平面向量的綜合問題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。

預(yù)測(cè)07年高考：

(1)一道選擇題和填空題，重點(diǎn)考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。

(2)一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運(yùn)算和性質(zhì)；

試題詳情

2．向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。

試題詳情

1．平面向量的數(shù)量積

①通過物理中"功"等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；

②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

試題詳情

數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識(shí)傳授和學(xué)習(xí)過程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個(gè)別小題，但它對(duì)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識(shí)按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體，形成知識(shí)體系。

學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。

(1)向量的加法與減法是互逆運(yùn)算；

(2)相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件；

(3)向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線(重合)的情況；

(4)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系；

試題詳情

題型1：平面向量的概念

例1．(1)給出下列命題：

①若||＝||，則=；

②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；

③若=，=，則=；

④=的充要條件是||=||且//；

⑤ 若//，//，則//；

其中正確的序號(hào)是　　　　　。

(2)設(shè)為單位向量，(1)若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=||·;(2)若與a₀平行，則=||·；(3)若與平行且||=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是(　　 )

A．0　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

解析：(1)①不正確．兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同；

②正確；∵ ，∴ 且，

又 A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且，

因此，。

③正確；∵ =，∴ ，的長度相等且方向相同；

又＝，∴ ，的長度相等且方向相同，

∴ ，的長度相等且方向相同，故＝。

　　 ④不正確；當(dāng)//且方向相反時(shí)，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件；

　　 ⑤不正確；考慮=這種特殊情況；

　　綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③。

點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。

(2)向量是既有大小又有方向的量，與||模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)=－||，故(2)、(3)也是假命題。綜上所述，答案選D。

點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。

題型2：平面向量的運(yùn)算法則

例2．(1)如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，，，表示出來。

(2)(06上海理，13)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　　 )

A．＝　 B．+＝　 C．－＝　 D．+＝

(3)(06廣東，4)如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量(　　 )

A．　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

(1)解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。

因?yàn)榱呅?i>ABCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，

所以，=+，= =+，

由于A，B，O，F四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=+=+=++=2+，

同樣在平行四邊形 BCDO中，＝＝＝+(+)＝+2，＝＝－。

點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。

(2)C．

(3)，故選A。

例3．設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：

①，②，③。

解析：①原式= ；

②原式= ；

③原式= 。

例4．設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0

解析：原方程可化為：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0，

∴ =+ 。

點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì)。

題型3：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算

例5．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求。

解析：設(shè)D(x,y)，則

∵

得

所以。

例6．已知點(diǎn),試用向量方法求直線和(為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：設(shè)，則

因?yàn)?sub>是與的交點(diǎn)，所以在直線上，也在直線上。

即得，由點(diǎn)得，。

得方程組，解之得。

故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為。

題型4：平面向量的性質(zhì)

例7．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問題：

(1)求滿足的實(shí)數(shù)m,n；

(2)若，求實(shí)數(shù)k；

(3)若滿足，且，求。

解析：(1)由題意得，所以，得。

(2)，

；

(3)

由題意得，得或。

例8．已知

(1)求；

(2)當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？

解析：(1)因?yàn)?sub>

所以

則

(2)，

因?yàn)?sub>與平行，所以即得。

此時(shí)，，則，即此時(shí)向量與方向相反。

點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計(jì)算方法。

題型5：共線向量定理及平面向量基本定理

例9．(2002天津文12，理10)平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C滿足，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為(　　 )

A．3x+2y－11=0　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．(x－1)²+(y－2)²=5

C．2x－y=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．x+2y－5=0

解法一：設(shè)，則。

由得，

于是，先消去，由得。

再消去得，所以選取D。

解法二：由平面向量共線定理，

當(dāng)，時(shí)，A、B、C共線。

因此，點(diǎn)C的軌跡為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得即選D。

點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示；運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合。

例10．(1)(06福建理，11)已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)=m+n(m、n∈R)，則等于(　 )

A．　　　　　　　 B．3　　　　　　 C．　　　　 D．

(2)(06湖南文，10)如圖：OM∥AB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界).且，則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)可以是(　 )

A．　　　B.

C. 　　　　　D.

解析：(1)B；(2)C。

題型6：平面向量綜合問題

例11．已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。

(1)證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立；

(2)設(shè)，求向量及的坐標(biāo)；

(3)求使，(p，q為常數(shù))的向量的坐標(biāo)

解析：(1)設(shè)，則，

故

，

∴

(2)由已知得=(1，1)，=(0，－1)

(3)設(shè)=(x，y)，則，

∴y=p，x=2p－q，即=(2P－q，p)。

例12．求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量，，3－2的終點(diǎn)在同一條直線上。

證明：設(shè)起點(diǎn)為O，＝，=，＝3－2，

則=2(－)，=－，，

∵ 共線且有公共點(diǎn)A，因此，A，B，C三點(diǎn)共線，

即向量，，3－2的終點(diǎn)在同一直線上．

點(diǎn)評(píng)：(1)利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：① 證明向量平行；② 說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)；

⑵用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說明兩向量無公共點(diǎn)。

試題詳情

5．平面向量的坐標(biāo)表示

(1)平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。