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題型1：空間向量的概念及性質(zhì)

例1．有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn)一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底。其中正確的命題是(　　　 )

①②　　　 ①③　　　 ②③　　　 ①②③

解析：對于①“如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。

點(diǎn)評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條件，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。

例2．下列命題正確的是(　　　 )

若與共線，與共線，則與共線；

向量共面就是它們所在的直線共面；

零向量沒有確定的方向；

若，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得；

解析：A中向量為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證不為零向量。

答案C。

點(diǎn)評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧。

題型2：空間向量的基本運(yùn)算

例3．如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，，，則下列向量中與相等的向量是(　 )

　

　

解析：顯然；

答案為A。

點(diǎn)評：類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。

例4．已知：且不共面.若∥,求的值.

解：∥,,且即

又不共面,

點(diǎn)評：空間向量在運(yùn)算時，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。

題型3：空間向量的坐標(biāo)

例5．(1)已知兩個非零向量=(a₁，a₂，a₃)，=(b₁，b₂，b₃)，它們平行的充要條件是(　)

A. ：||=：||　　　　　　B.a₁·b₁=a₂·b₂=a₃·b₃

C.a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0　　　　　　D.存在非零實(shí)數(shù)k，使=k

(2)已知向量=(2，4，x)，=(2，y，2)，若||=6，⊥，則x+y的值是(　)

A. －3或1　　　 B.3或－1　　　 C. －3　　　 D.1

(3)下列各組向量共面的是(　)

A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)

B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)

C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)

D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)

解析：(1)D；點(diǎn)撥：由共線向量定線易知；

(2)A　點(diǎn)撥：由題知或；

(3)A　點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。

點(diǎn)評：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。

例6．已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)。設(shè)=，=，(1)求和的夾角；(2)若向量k+與k－2互相垂直，求k的值.

思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條件的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.

解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，=，=，

∴=(1，1，0)，=(－1，0，2).

(1)cos==－，

∴和的夾角為－。

(2)∵k+=k(1，1，0)+(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，

k－2=(k+2，k，－4)，且(k+)⊥(k－2)，

∴(k－1，k，2)·(k+2，k，－4)=(k－1)(k+2)+k²－8=2k²+k－10=0。

則k=－或k=2。

點(diǎn)撥：第(2)問在解答時也可以按運(yùn)算律做。(+)(k－2)=k²²－k·－2²=2k²+k－10=0，解得k=－，或k=2。

題型4：數(shù)量積

例7．(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)、、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不與垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命題的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

答案：D

解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；

②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；

③因?yàn)椋?·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；

④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立.故④真.

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。

例8．(1)(2002上海文，理2)已知向量和的夾角為120°，且||=2，||=5，則(2－)·=_____.

(2)設(shè)空間兩個不同的單位向量=(x₁，y₁，0)，=(x₂，y₂，0)與向量=(1，1，1)的夾角都等于。(1)求x₁+y₁和x₁y₁的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。

解析：(1)答案：13；解析：∵(2－)·=2²－·=2||²－||·||·cos120°=2·4－2·5(－)=13。

(2)解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.

又∵與的夾角為，∴·=||||cos==.

又∵·=x₁+y₁，∴x₁+y₁=。

另外x+y=(x₁+y₁)²-2x₁y₁=1，∴2x₁y₁=()²－1=.∴x₁y₁=。

(2)cos<，>==x₁x₂+y₁y₂，由(1)知，x₁+y₁=，x₁y₁=.∴x₁，y₁是方程x²－x+=0的解.

∴或同理可得或

∵≠，∴或

∴cos<，>=·+·=+=.

∵0≤<，>≤π，∴<，>=。

評述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。

題型5：空間向量的應(yīng)用

例9．(1)已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證：++≤4。

(2)已知F₁=i+2j+3k，F(xiàn)₂=-2i+3j-k，F(xiàn)₃=3i-4j+5k，若F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₃共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)M₁(1，-2，1)移到點(diǎn)M₂(3，1，2)，求物體合力做的功。

解析：(1)設(shè)=(，，)，=(1，1，1)，

則||=4，||=.

∵·≤||·||，

∴·=++≤||·||=4.

當(dāng)==時，即a=b=c=時，取“=”號。

(2)解：W=F·s=(F₁+F₂+F₃)·=14。

點(diǎn)評：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，則由·≤||·||，得(ax+by+cz)²≤(a²+b²+c²)(x²+y²+z²).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查||·||≥·的應(yīng)用，解題時要先根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造向量，，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。空間向量的數(shù)量積對應(yīng)做功問題。

例10．如圖,直三棱柱中,求證:

證明：

　

同理

又

設(shè)為中點(diǎn),則

又

點(diǎn)評：從上述例子可以看出,利用空間向量來解決位置關(guān)系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條件。

6．?dāng)?shù)量積

(1)夾角：已知兩個非零向量、，在空間任取一點(diǎn)O，作，，則角∠AOB叫做向量與的夾角，記作

說明：⑴規(guī)定0≤≤,因而=；

⑵如果=，則稱與互相垂直，記作⊥；

⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖(3)、(4)中的兩個向量的夾角不同，

圖(3)中∠AOB=，

圖(4)中∠AOB=,

從而有==.

(2)向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。

(3)向量的數(shù)量積：叫做向量、的數(shù)量積，記作。

即=，

向量:

(4)性質(zhì)與運(yùn)算率

⑴�！　　　　� ⑴

⑵⊥=0　　　　　 ⑵=

⑶　　　　　　　　 ⑶

5．空間向量基本定理：如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, 　y, 　z,　 使

說明：⑴由上述定理知，如果三個向量、、不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是，這個集合可看作由向量、、生成的，所以我們把{，，}叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是。

推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使

4．向量與平面平行：如果表示向量的有向線段所在直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們就說向量平行于平面，記作∥。注意：向量∥與直線a∥的聯(lián)系與區(qū)別。

共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理　 如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x、y，使①

注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。

推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使

④

或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有⑤

在平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對(x, y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得

　　　　 ⑥

由于對于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一(它們只是形式不同的同一等式)，點(diǎn)P就在平面MAB內(nèi)；對于平面MAB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量、(或不共線三點(diǎn)M、A、B)確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是M、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條件。

3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。平行于記作∥。

　 注意：當(dāng)我們說、共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說、平行時，也具有同樣的意義。

共線向量定理：對空間任意兩個向量(≠)、，∥的充要條件是存在實(shí)數(shù)使＝

注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若∥(≠0)，則有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使＝(≠0)，則有∥(若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需(或)上有一點(diǎn)不在(或)上)。

⑵對于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當(dāng)>0時與同向，當(dāng)<0時與反向的所有向量。

⑶若直線l∥，，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理來推導(dǎo)的表達(dá)式。

推論：如果　l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式　

　　　　　　　　　 ①

其中向量叫做直線l的方向向量。

在l上取，則①式可化為　　　　 �、�

當(dāng)時，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則　 　�、�

①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。

2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率

　

　

　　　　

加法交換率：

加法結(jié)合率：

數(shù)乘分配率：

說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗(yàn)證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。

1．空間向量的概念

向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。

說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原來的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。

本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。

預(yù)測07年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。

(1)空間向量及其運(yùn)算

① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程；

② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；

③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；

④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。

(2)空間向量的應(yīng)用

① 理解直線的方向向量與平面的法向量；

② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；

③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)；

④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

3．重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程

①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量。

②用好函數(shù)思想方法

對于圓錐曲線上一些動點(diǎn)，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效。

③掌握坐標(biāo)法

坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練。

④對稱思想

由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質(zhì)，可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決。

⑤參數(shù)思想

參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學(xué)中的反映，一旦引入?yún)��?shù)，用參數(shù)來劃分運(yùn)動變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點(diǎn)用參數(shù)方程形式設(shè)立或(x₀、y₀)即可將參量視為常量，以相對靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設(shè)而不求”的效果。

⑥轉(zhuǎn)化思想

解決圓錐曲線時充分注意直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間有聯(lián)系，直角坐標(biāo)方程與參數(shù)方程，極坐標(biāo)之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)化，可達(dá)到優(yōu)化解題的目的。

除上述常用數(shù)學(xué)思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復(fù)習(xí)也應(yīng)給予足夠的重視。