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1．常用邏輯用語

(1)命題

命題：可以判斷真假的語句叫命題；

邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題。復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。

常用小寫的拉丁字母p，q，r，s，……表示命題，故復(fù)合命題有三種形式：p或q；p且q；非p。

(2)復(fù)合命題的真值

“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：　　　

“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：

“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：

注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。

(3)四種命題

如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆命題；

如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原命題的否命題；

如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題。

兩個(gè)互為逆否命題的真假是相同的，即兩個(gè)互為逆否命題是等價(jià)命題.若判斷一個(gè)命題的真假較困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。

(4)條件

一般地，如果已知pÞq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。

可分為四類：(1)充分不必要條件，即pÞq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qÞp；(3)既充分又必要條件，即pÞq，又有qÞp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。

一般地，如果既有pÞq，又有qÞp，就記作：pq.“”叫做等價(jià)符號。pq表示pÞq且qÞp。

這時(shí)p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

(5)全稱命題與特稱命題

這里，短語“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。

短語“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。

常用邏輯用語

本部分內(nèi)容主要是常用的邏輯用語，包括命題與量詞，基本邏輯聯(lián)結(jié)詞以及充分條件、必要條件與命題的四種形式。

預(yù)測07年高考對本部分內(nèi)容的考查形式如下：考查的形式以選擇、填空題為主，考察的重點(diǎn)是條件和復(fù)合命題真值的判斷。

推理證明

本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法(理科)等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透，但單獨(dú)出題的可能性較小；

預(yù)計(jì)2007年高考將會有較多題目用到推理證明的方法。

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)部分考查的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、運(yùn)算及運(yùn)算的幾何意義，一般是選擇題、填空題，難度不大，預(yù)計(jì)今后的高考還會保持這個(gè)趨勢。

預(yù)測2007年高考對本講的試題難度不會太大，重視對基本問題諸如：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的考查，題目多以選擇、填空為主。

框圖

本部分是新課標(biāo)新增內(nèi)容，歷年高考中涉及內(nèi)容很少，估計(jì)2007年高考中可能在選擇題、填空題中以考察流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義和特征的形式出現(xiàn)；也可能以畫某種知識的結(jié)構(gòu)圖或解決某類問題的流程圖為形式的解答題出現(xiàn)，但不論哪種形式，所占份量都不會很大。

4．框圖

(1)流程圖

①通過具體實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識程序框圖；

②通過具體實(shí)例，了解工序流程圖(即統(tǒng)籌圖)；

③能繪制簡單實(shí)際問題的流程圖，體會流程圖在解決實(shí)際問題中的作用；

(2)結(jié)構(gòu)圖

①通過實(shí)例，了解結(jié)構(gòu)圖；運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)過的知識、整理收集到的資料信息；

②結(jié)合作出的結(jié)構(gòu)圖與他人進(jìn)行交流，體會結(jié)構(gòu)圖在揭示事物聯(lián)系中的作用。

3．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

(1)在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾(數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論)在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；

(2)理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件；

(3)了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；

(4)能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義。

2．推理與證明

(1)合情推理與演繹推理

①結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；

②結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理；

③通過具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。

(2)直接證明與間接證明

①結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)；

②結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法--反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；

(3)數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題；

(4)數(shù)學(xué)文化

①通過對實(shí)例的介紹(如歐幾里德《幾何原本》、馬克思《資本論》、杰弗遜《獨(dú)立宣言》、牛頓三定律)，體會公理化思想；

②介紹計(jì)算機(jī)在自動推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用；

1．常用邏輯用語

(1)命題及其關(guān)系

① 了解命題的逆命題、否命題與逆否命題；② 理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系；

(2)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解"或"、"且"、"非"邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義。

(3)全稱量詞與存在量詞

① 通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義；

② 能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。

2．對卡方統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式的由來，學(xué)生只需要了解，作為探究問題可以在課后學(xué)習(xí)。

統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納的，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)來推測全體數(shù)據(jù)的性質(zhì)，因此，統(tǒng)計(jì)推斷可能是錯(cuò)誤的，也就是說，我們從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)上的關(guān)系，而不是因果關(guān)系。

1．一般情況下，在尚未斷定兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)．在確認(rèn)其具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線方程；由部分?jǐn)?shù)據(jù)得到的回歸直線，可以對兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系進(jìn)行估計(jì)，這實(shí)際上是將非確定性的相關(guān)關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成確定性的函數(shù)關(guān)系問題進(jìn)行研究．由于回歸直線將部分觀測值所反映的規(guī)律性進(jìn)行了延伸，它在情況預(yù)報(bào)、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用。

題型1：線性相關(guān)性檢驗(yàn)

例1．一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間由如下一組數(shù)據(jù)：

1)畫出散點(diǎn)圖；2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程.

解析：

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
xi	1.08	1.12	1.19	1.28	1.36	1.48	1.59	1.68	1.80	1.87	1.98	2.07
yi	2.25	2.37	2.40	2.55	2.64	2.75	2.92	3.03	3.14	3.26	3.36	3.50
xiyi	2.43	2.264	2.856	3.264	3.590	4.07	4.643	5.090	5.652	6.096	6.653	7.245
=，==2.8475，=29.808，=99.2081，=54.243

1)畫出散點(diǎn)圖：

2)

r=

=

在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度12-2=10相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r_0.05=0.576<0.997891, 這說明每月產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間存在線性相關(guān)關(guān)系。

3)設(shè)回歸直線方程，

利用

，

計(jì)算a，b，得b≈1.215, a=≈0.974，

∴回歸直線方程為：

例2．在7塊并排、形狀大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下(單位：kg)

1)畫出散點(diǎn)圖；2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程。

解析：1)畫出散點(diǎn)圖如下：

2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平：

i	1	2	3	4	5	6	7
xi	15	20	25	30	35	40	45
yi	330	345	365	405	445	450	455
xiyi	4950	6950	9125	12150	15575	18000	20475
=30,=399.3,=7000,=1132725,=87175

r==≈0.9733，在“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表”查出與顯著性水平0.05及自由度7－2=5相應(yīng)的相關(guān)數(shù)臨界值r_0.05=0.754＜0.9733，這說明水稻產(chǎn)量與施化肥量之間存在線性相關(guān)關(guān)系。

3)設(shè)回歸直線方程，利用

計(jì)算a，b， 得b=

a=399.3-4.75×30≈257，則回歸直線方程

題型2：獨(dú)立性檢驗(yàn)

例3．為了探究患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了339名50歲以上的人，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

試問：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)嗎？

解析：由公式，因?yàn)?.469>6.635,所以我們有99%的把握說：50歲以上的人患慢性氣管炎與吸煙習(xí)慣有關(guān)。

例4．對196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：

試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術(shù)對病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別。

解析：由公式，因?yàn)?.78>3.841，所以我們沒有理由說“心臟搭橋手術(shù)”與“又發(fā)作過心臟病”有關(guān)，可以認(rèn)為病人又發(fā)作與否與其做過任何手術(shù)無關(guān)。

題型3：獨(dú)立的概念及應(yīng)用

例5．(2003,江蘇、河南,12分)有三種產(chǎn)品,合格率分別是0.90,0.95和0.95，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有兩件不合格的概率(精確到0.001)；

解析：設(shè)三種產(chǎn)品各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C，

(1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，則P()=0.10,P()=P()=0.05。

因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為：

P(A·B·)+P(A··C)+P(·B·C)

=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)

=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176

答：恰有一件不合格的概率為0.176.

(2)解法一：至少有兩件不合格的概率為：

P(A··)+P(·B·)+P(··C)+P(··)

=0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05≈0.012.

答：至少有兩件不合格的概率為0.012.

解法二：三件產(chǎn)品都合格的概率為：

P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.90×0.95×0.95≈0.812.

由(1)知，恰有一件不合格的概率為0.176，所以，至少有兩件不合格的概率為1-[P(A·B·C)+0.176]=1-(0.812+0.176)=0.012.

答：至少有兩件不合格的概率為0.012.

點(diǎn)評：本題主要考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

例6．(06北京卷)某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案。

　　　 方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；

　　　 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過.

　　　 假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.

　　　 (Ⅰ)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率；

　　　 (Ⅱ)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小.(說明理由)

解析：設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應(yīng)的概率為a，b，c

(1)考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC，設(shè)其概率為P₁，則P₁＝ab(1－c)+a(1－b)c+(1－a)bc+abc＝ab+ac+bc－2abc

設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為P₂，則P₂＝ab+ac+bc

(2)P₁－P₂＝(ab+ac+bc－2abc)－(ab+ac+bc)＝ab+ac+bc－2abc＝(ab+ac+bc－3abc)＝(ab(1-c)+ac(1－b)+bc(1－a))>0

\P₁>P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率。

點(diǎn)評：“至少、至多”問題的處理方式是分類到底，利用獨(dú)立、互斥或?qū)α⑹录�進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

題型4：隨機(jī)變量的分布列

例7．(06廣東卷)．某運(yùn)動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：

	6	7	8	9	10
	0

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.

(I)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率

(II)求的分布列

解析：(Ⅰ)求該運(yùn)動員兩次都命中7環(huán)的概率為；

(Ⅱ)的可能取值為7、8、9、10

；

，

，

，

分布列為：

	7	8	9	10
P	0.04	0.21	0.39	0.36

(Ⅲ) 的數(shù)學(xué)希望為。

點(diǎn)評：分布列不僅明確給出了()的概率，而且對任事件()發(fā)生的概率均可由分布列算出：　 。

例8．設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整后出現(xiàn)廢品的概率為0.1，而且一旦出現(xiàn)廢品就要重新調(diào)整，求在兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品的數(shù)目不小于5的概率。

分析：如果用隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，而且我們知道一旦出現(xiàn)廢品就重新調(diào)整生產(chǎn)線，所以兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品是連續(xù)出現(xiàn)的，那么隨機(jī)變量η的取值就服從幾何分布，我們在解題時(shí)應(yīng)先求出η的分布列。然后再計(jì)算事件“合格品數(shù)不小于5”即{η>5}的概率。

解析：設(shè)隨機(jī)變量η表示兩次調(diào)整之間生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)，則η服從幾何分布，事件{η＝k}就表示生產(chǎn)了k－1件合格品，且第k件產(chǎn)品是廢品。容易求得：

P(η＝1)＝0.1，

P(η＝2)＝(1－0.1)×0.1＝0.09，

寫成分布列的形式為：

	1	2	3	4	5	6	…
P	0.1	0.09	0.81	0.0729	0.06561	0.059049	…

題目中要求計(jì)算“所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率，即P(η>5)，因?yàn)槭录�{η>5}所包含的基本事件為{η＝6}，{η＝7}，…，{η＝n}，…，所以有

P(η>5)＝P(η＝6)+P(η＝7)+…+P(η＝n)+…

我們應(yīng)用分布列的性質(zhì)計(jì)算上式的值．因?yàn)镻(η>5)＝1－P(η≤5)，所以

P(η>5)＝1－［P(η＝1)+P(η＝2)+P(η＝3)+P(η＝4)+P(η＝5)］

＝1－(0.1+0.09+0.081+0.0729+0.06561)＝0.49049，

所以事件“兩次調(diào)整之間所生產(chǎn)的合格品數(shù)不小于5”的概率為0.49049

點(diǎn)評：這是一道綜合例題，包括了分列的計(jì)算及分布列的應(yīng)用兩個(gè)步驟。該題對于我們鞏固所學(xué)知識，深入了解分布列有很大幫助。

題型5：隨機(jī)變量的均值

例9．(1)(06福建卷)一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1,一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2，將這個(gè)小正方體拋擲2次；

則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是　　　　　　　　 ；

(2)(2001上海文)利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是_____.

解析：(1)一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2。將這個(gè)小正方體拋擲2次，向上的數(shù)之積可能為ξ=0，1，2，4，

則，

，

，

，

∴ .

點(diǎn)評：掌握離散性隨機(jī)變量均值的計(jì)算方法，以及計(jì)算的先后順序。

(2)答案：A₃

解析：A₁的數(shù)學(xué)期望：=0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7

A₂的數(shù)學(xué)期望：=0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5

A₃的數(shù)學(xué)期望：=0.25×(－20)+0.30×52+0.45×78=45.7

A₄的數(shù)學(xué)期望：=0.25×98+0.30×82+0.45×(－10)=44.6

點(diǎn)評：本題考查概率與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生識表的能力.對圖表的識別能力，是近年高考突出考查的熱點(diǎn).圖表語言與其數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，應(yīng)引起高度重視。

例10．(06四川卷)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為1，2，3，4。(1，2，3，4)。又的數(shù)學(xué)期望，則　　　 　;

解析：設(shè)離散性隨機(jī)變量可能取的值為，所以，即，

又的數(shù)學(xué)期望，則，即，,∴ 。

點(diǎn)評：均值計(jì)算時(shí)要根據(jù)公式進(jìn)行簡化計(jì)算，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

題型6：隨機(jī)變量的方差

例11．甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為ε、η，ε和η的分布列如下：

ε	0	1	2	η	0	1	2
P				P

試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較。

分析：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小。

解析：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為：

，

；

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為：

，

；

由Eε=Eη知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但Dε>Dη，可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定。

點(diǎn)評：期望僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，但有時(shí)僅知道均值的大小還不夠。如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍變化，即計(jì)算方差。方差大說明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說明取值分散性小或者取值比較集中、穩(wěn)定。

題型7：正態(tài)分布

例12．(06湖北卷)在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12名。

(Ⅰ)、試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？

(Ⅱ)、若該校計(jì)劃獎勵(lì)競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？

可共查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

解析：(Ⅰ)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)?sub>-N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，

參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)。

(Ⅱ)假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，則P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分。

點(diǎn)評：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力。

6．正態(tài)分布

正態(tài)分布密度函數(shù)：，均值為Eε=μ，方差為。

正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：

(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交。

(2)曲線關(guān)于直線x =μ對稱。

(3)曲線在x =μ時(shí)位于最高點(diǎn)。

(4)當(dāng)x <μ時(shí)，曲線上升；當(dāng)x >μ時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時(shí)，以x軸為漸近線，向它無限靠近。

(5)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。

從理論上講，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的取值范圍是R，但實(shí)際上取區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)外的數(shù)值的可能性微乎其微，在實(shí)際問題中常常認(rèn)為它是不會發(fā)生的。因此，往往認(rèn)為它的取值是個(gè)有限區(qū)間，即區(qū)間(μ-3σ，μ+3σ)，這即實(shí)用中的三倍標(biāo)準(zhǔn)差規(guī)則，也叫3σ規(guī)則。在企業(yè)管理中，經(jīng)常應(yīng)用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢查和工藝生產(chǎn)過程控制。