1．關(guān)于直線對稱問題：
(1)關(guān)于l ：Ax +By +C ＝0對稱問題：不論點，直線與曲線關(guān)于l 對稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于l 對稱問題，因為對稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P(x0 ，y0)關(guān)于l ：Ax +By +C ＝0對稱點Q(x1 ，y1)．有
＝－
(1)與A·
+B·
+C ＝0。
(2)解出x1 與y1 ；若求C1 ：曲線f(x ，y)＝0(包括直線)關(guān)于l ：Ax +By +C1 ＝0對稱的曲線C2 ，由上面的(1)、(2)中求出x0 ＝g1(x1 ，y1)與y0 ＝g2(x1 ，y1)，然后代入C1 ：f [g1(x1 ，y1)，g2(x2 ，y2)]＝0，就得到關(guān)于l 對稱的曲線C2 方程：f [g1(x ，y)，g2(x ，y)]＝0。
(3)若l ：Ax +By +C ＝0中的x ，y 項系數(shù)|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C1 ：y2 ＝4 x －2關(guān)于l ：x －y －4＝0對稱的曲線l2 的方程為：(x －4) 2 ＝4(y +4)－2．即y 用x －4代，x 用y +4代，這樣就比較簡單了。
(4)解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對稱問題來解決。
點與圓位置關(guān)系：P(x0 ，y0)和圓C ：(x －a) 2 +(y －b) 2 ＝r2。
①點P 在圓C 外有(x0 －a) 2 +(y0 －b) 2 ＞r2；
②點P 在圓上：(x0 －a) 2 +(y0 －b) 2 ＝r2；
③點P 在圓內(nèi)：(x0 －a) 2 +(y0 －b) 2 ＜r2 。
題型1：直線間的位置關(guān)系
例1．(1)(2006北京11)若三點
A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab
0)共線，則, 
的值等于
。
(2)(2006上海文11)已知兩條直線
若
，則
___ _。
解析：(1)答案：
；(2)2。
點評：(1)三點共線問題借助斜率來解決，只需保證
；(2)對直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。
例2．(1)(2006福建文，1)已知兩條直線
和
互相垂直，則
等于( )
A．2 B．1 C．0 D．
(2)(2006安徽理，7)若曲線
的一條切線
與直線
垂直，則的方程為( )
A．
B．
C．
D．
解析：(1)答案為D；(2)與直線垂直的直線為
，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而
，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為，故選A。
點評：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。
題型2：距離問題
例3．(2002京皖春文，8)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程是( )
A．x－y=0 B．x+y=0
C．|x|－y=0 D．|x|－|y|=0
解析：設(shè)到坐標(biāo)軸距離相等的點為(x，y)
∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D
點評：本題較好地考查了考生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，尤其是考查了思維的敏捷性與清晰的頭腦，通過不等式解等知識探索解題途徑
例4．(2002全國文，21)已知點P到兩個定點M(－1，0)、N(1，0)距離的比為
，點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程。
解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)有
，
即
。
整理得 x2+y2－6x+1=0 ①
因為點N到PM的距離為1，|MN|＝2，
所以∠PMN＝30°，直線PM的斜率為±
，
直線PM的方程為y=±(x+1) ②
將②式代入①式整理得x2－4x+1＝0。
解得x＝2+
，x＝2－。
代入②式得點P的坐標(biāo)為(2+，1+)或(2－，－1+)；(2+，－1－)或(2－，1－)。
直線PN的方程為y=x－1或y=－x+1。
點評：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進行了不同程度的考查.對運算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度。
題型3：直線與圓的位置關(guān)系
例5．(1)(2006安徽文，7)直線
與圓
沒有公共點，則的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
(2)(2006江蘇理，2)圓
的切線方程中有一個是( )
A．x－y＝0 B．x+y＝0 C．x＝0 D．y＝0
解析：(1)解析：由圓的圓心
到直線大于，且
，選A。
點評：該題考察了直線與圓位置關(guān)系的判定。
(2)直線ax+by=0
，則
，由排除法，
選C，本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事。
點評：本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑。直線與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件：圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件：直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解。
例6．(2006江西理，16)已知圓M：(x+cosq)2+(y－sinq)2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：
(A) 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；
(B) 對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；
(C) 對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；
(D)對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切。
其中真命題的代號是______________(寫出所有真命題的代號)
解析：圓心坐標(biāo)為(－cosq，sinq)
d＝
故選(B)(D)
點評：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。
題型4：直線與圓綜合問題
例7．(1999全國，9)直線x+y－2=0截圓x2+y2＝4得的劣弧所對的圓心角為( )
A．
B．
C．
D．
解析：如圖所示：
由
消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。
∴A(2，0)，B(1，)
∴|AB|=
=2
又|OB|＝|OA|=2，
∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB=
，故選C。
點評：本題考查直線與圓相交的基本知識，及正三角形的性質(zhì)以及邏輯思維能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的簡捷性。如果注意到直線AB的傾斜角為120°，則等腰△OAB的底角為60°.因此∠AOB=60°.更加體現(xiàn)出平面幾何的意義。
例8．(2006全國2，16)過點(1，)的直線l將圓(x－2)2+y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ 。
解析：過點
的直線將圓
分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率
解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線
，所以
。
點評：本題主要考察數(shù)形結(jié)合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關(guān)系，難度中等。
題型5：對稱問題
例9．(89年高考題)一束光線l自A(－3，3)發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到⊙C：x2+y2－4x－4y+7＝0上。
(Ⅰ) 求反射線通過圓心C時，光線l的方程；
(Ⅱ) 求在x軸上，反射點M的范圍．
解法一：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(x－2)2+(y－2)2=1，它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。設(shè)光線L所在的直線的方程是y－3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由題設(shè)知對稱圓的圓心C′(2，-2)到這條直線的距離等于1，即d=
=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －
或k= －
。故所求直線方程是y－3=－(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。
解法二：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2+(y－2)2=1，設(shè)交線L所在的直線的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)，由題意知k≠0，于是L的反射點的坐標(biāo)是(－
，0)，因為光線的入射角等于反射角，所以反射光線L′所在直線的方程為y= －k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。這條直線應(yīng)與已知圓相切，故圓心到直線的距離為1，即d==1。以下同解法一。
點評：圓復(fù)合直線的對稱問題，解題思路兼顧到直線對稱性問題，重點關(guān)注對稱圓的幾何要素，特別是圓心坐標(biāo)和圓的半徑。
例10．已知函數(shù)f(x)=x2－1(x≥1)的圖像為C1，曲線C2與C1關(guān)于直線y=x對稱。
(1)求曲線C2的方程y=g(x)；
(2)設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求證|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|;
(3)設(shè)A、B為曲線C2上任意不同兩點，證明直線AB與直線y=x必相交。
解析：(1)曲線C1和C2關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。
∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=
，則曲線C2的方程為g(x)= 
(x≥0)。
(2)設(shè)x1，x2∈M，且x1≠x2，則x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0，
∴|g(x1)－g(x2)|=| 
－
|=
≤
<|x1－x2|。
(3)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)為曲線C2上任意不同兩點，x1，x2∈M，且x1≠x2，
由(2)知，|kAB|=|
|=
<1
∴直線AB的斜率|kAB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。
點評：曲線對稱問題應(yīng)從方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系。
題型6：軌跡問題
例11．(2005山東理，22)已知動圓過定點
，且與直線
相切，其中
。
(I)求動圓圓心
的軌跡的方程；
(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點
的兩個不同點，直線
和
的傾斜角分別為
和
，當(dāng)
變化且
為定值
時，證明直線
恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。
解析：(I)如圖，設(shè)
為動圓圓心，為記為
，過點作直線的垂線，垂足為
，由題意知：
即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中
為焦點，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為
；
(II)如圖，設(shè)
，由題意得
(否則
)且
所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為
，顯然
，將與聯(lián)立消去
，得
由韋達(dá)定理知
①
(1)當(dāng)
時，即
時，
所以
，
所以
由①知：
所以。因此直線的方程可表示為
，即
，所以直線恒過定點
。
(2)當(dāng)
時，由
，
得
=
=
，
將①式代入上式整理化簡可得：
，所以
，
此時，直線的方程可表示為
即
，所以直線恒過定點
。
所以由(1)(2)知，當(dāng)時，直線恒過定點，當(dāng)時直線恒過定點。
點評：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。
例12．(2005江蘇，19)如圖，圓
與圓
的半徑都是1，
. 過動點
分別作圓、圓的切線
(
分別為切點)，使得
. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點的軌跡方程。
解析：以
的中點
為原點，所在直線為
軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則
，
。
由已知，得
。
因為兩圓半徑均為1，所以
。
設(shè)
，則
，
即
(或
)。
點評：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運算能力。
題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題
例13．已知實數(shù)x、y滿足
，求
的最大值與最小值。
解析：
表示過點A(0，－1)和圓上的動點(x，y)的直線的斜率。
如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值。
設(shè)切線方程為
，即
，則
，解得
。
因此，
點評：直線知識是解析幾何的基礎(chǔ)知識，靈活運用直線知識解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強等特點，對啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運用。
例14．設(shè)雙曲線
的兩支分別為
，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。若
在
上，Q、R在
上，求頂點Q、R的坐標(biāo)。
分析：正三角形PQR中，有
， 則以為圓心，
為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點。
根據(jù)兩曲線方程可求出交點Q、R坐標(biāo)。
解析：設(shè)以P為圓心，
為半徑的圓的方程為：
，
由
得：
�！ � (其中，可令
進行換元解之)
設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為
，則
。
即
，
同理可得：
， 且因為△PQR是正三角形，則，
即
，得
。
代入方程，即
。
由方程組
，得：
或
，
所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為
點評：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用。
4．兩圓位置關(guān)系的判定方法
設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
。
；
；
；
；
；
外離 外切
相交 內(nèi)切 內(nèi)含
判斷兩個圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個數(shù)來解決。
3．直線
與圓
的位置關(guān)系有三種
(1)若
，
；
(2)
；
(3)
。
還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組
求解，通過解的個數(shù)來判斷：
(1)當(dāng)方程組有2個公共解時(直線與圓有2個交點)，直線與圓相交；
(2)當(dāng)方程組有且只有1個公共解時(直線與圓只有1個交點)，直線與圓相切；
(3)當(dāng)方程組沒有公共解時(直線與圓沒有交點)，直線與圓相離；
即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：
相切
d=rΔ＝0；
相交d<rΔ>0；
相離d>rΔ<0。
2． 距離
(1)兩點間距離：若
，則
特別地：
軸，則
、
軸，則
。
(2)平行線間距離：若
，
則：
。注意點：x，y對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。
(3)點到直線的距離：
，則P到l的距離為：
1．直線l1與直線l2的的平行與垂直
(1)若l1，l2均存在斜率且不重合：
①l1//l2 k1=k2；②l1
l2 k1k2=－1。
(2)若
若A1、A2、B1、B2都不為零。
①l1//l2
；
②l1l2 A1A2+B1B2=0；
③l1與l2相交
；
④l1與l2重合
；
注意：若A2或B2中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點:兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)。
本講考察重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題的形式出現(xiàn)，有時在解析幾何中也會出現(xiàn)大題，多考察其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識。
預(yù)測2007年對本講的考察是：
(1)一個選擇題或一個填空題，解答題多與其它知識聯(lián)合考察；
(2)熱點問題是直線的位置關(guān)系、借助數(shù)形結(jié)合的思想處理直線與圓的位置關(guān)系，注重此種思想方法的考察也會是一個命題的方向；
(3)本講的內(nèi)容考察了學(xué)生的理解能力、邏輯思維能力、運算能力。
5．在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。
4．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；
3．能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；
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