4．對解組合問題，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：
(1)對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算，是解組合題的常用方法；
(2)是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
(3)設(shè)計(jì)“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
(1)元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
(2)位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
(3)整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步。
解排列組合應(yīng)用題的基本規(guī)律
1．分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨(dú)使用；②聯(lián)合使用。
(2)第三項(xiàng)的系數(shù)為－
，第五項(xiàng)的系數(shù)為
，由第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－
可得n＝10，則
＝
，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常數(shù)項(xiàng)為
＝45，選A；
(3)令
，得
，令
，得
；
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式展開式的特殊值法，基礎(chǔ)題；
題型6：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
例11．證明下列不等式：
(1)
≥(
)n,(a、b∈{x|x是正實(shí)數(shù)},n∈N);
(2)已知a、b為正數(shù)，且
+
=1，則對于n∈N有
(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。
證明：(1)令a=x+δ，b=x－δ，則x=；
an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n
=xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn
=2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…)
≥2xn
即≥()n
(2)(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn
(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan
上述兩式相加得：
2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn) (*)
∵+=1，且a、b為正數(shù)
∴ab=a+b≥2
∴ab≥4
又∵ an-kbk+bn-kak≥2
=2()n(k=1,2,…,n-1)
∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22()n+…+Cnn-12()n
∴(a+b)n－an-bn
≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·()n
≥(2n－2)·2n
=22n－2n+1
點(diǎn)評：利用二項(xiàng)式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題。題(1)中的換元法稱之為均值換元(對稱換元)。這樣消去δ奇數(shù)次項(xiàng)，從而使每一項(xiàng)均大于或等于零。題(2)中，由由稱位置二項(xiàng)式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解題的方法是利用二項(xiàng)式展開式解題的常用方法。
例12．(1)求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；
(2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？
(3)根據(jù)下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。
解析：(1)首先考慮4·6n+5n+1被4整除的余數(shù)。
∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1，
∴其被4整除的余數(shù)為1，
∴被20整除的余數(shù)可以為1，5，9，13，17，
然后考慮4·6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。
∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1)，
∴被5整除的余數(shù)為4，
∴其被20整除的余數(shù)可以為4，9，14，19。
綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9。
(2) 7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7
=(7+1)n－1=8n－1=(9-1)n－1
=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9+(－1)nCnn-1
(i)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9－2
∴除以9所得余數(shù)為7。
(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(－1)n-1Cnn-1·9
∴除以9所得余數(shù)為0，即被9整除。
(3)(1.02)5≈(1+0.02)5
=1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025
∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5
∴①當(dāng)精確到0.01時(shí)，只要展開式的前三項(xiàng)和，1+0.10+0.004=1.104，近似值為1.10。
②當(dāng)精確到0.001時(shí)，只要取展開式的前四項(xiàng)和，1+0.10+0.004+0.0008=1.10408，近似值為1.104。
點(diǎn)評：(1)用二項(xiàng)式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時(shí)，通常把底數(shù)適當(dāng)?shù)夭鸪蓛身?xiàng)之和或之差再按二項(xiàng)式定理展開推得所求結(jié)論；
(2)用二項(xiàng)式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應(yīng)該取到展開式的第幾項(xiàng)。
題型1：計(jì)數(shù)原理
例1．完成下列選擇題與填空題
(1)有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種。
A．81 B．64 C．24 D．4
(2)四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是( )
A．81 B．64 C．24 D．4
(3)有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽，
①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則有不同的參賽方法有 ；
②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有 ；
③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有 。
解析：(1)完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個(gè)不同信箱的三種方法，因此：N=3×3×3×3=34=81，故答案選A。
本題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個(gè)信箱中，有C31種投法；②四封信投入兩個(gè)信箱中，有C32(C41·A22+C42·C22)種投法；③四封信投入三個(gè)信箱，有兩封信在同一信箱中，有C42·A33種投法、，故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(種)。故選A。
(2)因?qū)W生可同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將4名學(xué)生看作4個(gè)“店”，3項(xiàng)冠軍看作“客”，每個(gè)“客”都可住進(jìn)4家“店”中的任意一家，即每個(gè)“客”有4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得：N=4×4×4=64。
故答案選B。
(3)①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競賽項(xiàng)目對學(xué)生無條件限制，所以類似(1)可得N=34=81(種)；
②競賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會，每一項(xiàng)可以挑4種不同學(xué)生，共有N=43=64(種)；
③等價(jià)于從4個(gè)學(xué)生中挑選3個(gè)學(xué)生去參加三個(gè)項(xiàng)目的競賽，每人參加一項(xiàng)，故共有C43·A33=24(種)。
例2．(06江蘇卷)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法(用數(shù)字作答)。
解析：本題考查排列組合的基本知識，由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有
。
點(diǎn)評：分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎(chǔ)方法，在高中數(shù)學(xué)中，只有這兩個(gè)原理，尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時(shí)，用分類的方法可以有效的將之化簡,達(dá)到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．(1)(06北京卷)在
這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有( )
(A)36個(gè) (B)24個(gè) (C)18個(gè) (D)6個(gè)
(2)(06福建卷)從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有( )
(A)108種 (B)186種 (C)216種 (D)270種
(3)(06湖南卷)在數(shù)字1,2，3與符號+，－五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( )
A．6 B. 12 C. 18 D. 24
(4)(06重慶卷)高三(一)班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是( )
(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)5040
解析：(1)依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：(1)3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有
種方法(2)3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有
，故共有+＝24種方法，故選B；
(2)從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有
=186種，選B；
(3)先排列1，2，3，有
種排法，再將“+”，“－”兩個(gè)符號插入，有
種方法，共有12種方法，選B；
(4)不同排法的種數(shù)為
＝3600，故選B。
點(diǎn)評：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景，想清楚我處理時(shí)應(yīng)該如何去做。
例4．(1)(06天津卷)用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有 個(gè)(用數(shù)字作答)；
(2)(06上海春)電視臺連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).
解析：(1)可以分情況討論：① 若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成
個(gè)五位數(shù)；② 若末位數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有
個(gè)五位數(shù)；③ 若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有
=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè)。
(2)分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22·A44＝48. 從而應(yīng)填48。
點(diǎn)評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．(1)(06重慶卷)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有( )
(A)30種 (B)90種 (C)180種 (D)270種
(2)(06天津卷)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有( )
A．10種 B．20種 C．36種 D．52種
解析：(1)將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有
種方法，再將3組分到3個(gè)班，共有
種不同的分配方案，選B；
(2)將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號盒子，有
種方法；②1號盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號盒子，有
種方法；則不同的放球方法有10種，選A。
點(diǎn)評：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合
例6．(1)(06陜西卷)某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種；
(2)(06全國II)5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有( )
(A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種
解析：(1)可以分情況討論，① 甲去，則乙不去，有
=480種選法；②甲不去，乙去，有=480種選法；③甲、乙都不去，有
=360種選法；共有1320種不同的選派方案；
(2)人數(shù)分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有
＝60種，若是1,1,3，則有
＝90種，所以共有150種，選A。
點(diǎn)評：排列組合的交叉使用可以處理一些復(fù)雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，由這10個(gè)點(diǎn)確定的直線中，無三條直線交于同一點(diǎn)(除原10點(diǎn)外)，無兩條直線互相平行。求：(1)這些直線所交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(除原10點(diǎn)外)。(2)這些直線交成多少個(gè)三角形。
解法一：(1)由題設(shè)這10點(diǎn)所確定的直線是C102=45條。
這45條直線除原10點(diǎn)外無三條直線交于同一點(diǎn)，由任意兩條直線交一個(gè)點(diǎn)，共有C452個(gè)交點(diǎn)。而在原來10點(diǎn)上有9條直線共點(diǎn)于此。所以，在原來點(diǎn)上有10C92點(diǎn)被重復(fù)計(jì)數(shù)；
所以這些直線交成新的點(diǎn)是：C452－10C92=630。
(2)這些直線所交成的三角形個(gè)數(shù)可如下求：因?yàn)槊總�(gè)三角形對應(yīng)著三個(gè)頂點(diǎn)，這三個(gè)點(diǎn)來自上述630個(gè)點(diǎn)或原來的10個(gè)點(diǎn)。所以三角形的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從這640個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)的組合，即C6403=43486080(個(gè))。
解法二：(1)如圖對給定的10點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，四點(diǎn)連成6條直線，這6條直線交3個(gè)新的點(diǎn)。故原題對應(yīng)于在10個(gè)點(diǎn)中任取4點(diǎn)的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是：3C104=630。
(2)同解法一。
點(diǎn)評：用排列、組合解決有關(guān)幾何計(jì)算問題，除了應(yīng)用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實(shí)際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。
解 設(shè)傾斜角為θ，由θ為銳角，得tanθ=-
>0,即a、b異號。
(1)若c=0，a、b各有3種取法，排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0)，故有3×3-2=7(條)；
(2)若c≠0，a有3種取法，b有3種取法，而同時(shí)c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有3×3×4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條；
點(diǎn)評：本題是1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯(cuò)誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復(fù)的直線。
題型5：二項(xiàng)式定理
例9．(1)(湖北卷)在
的展開式中，
的冪的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有
A．3項(xiàng) B．4項(xiàng) C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)
(2)
的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解析：本題主要考查二項(xiàng)式展開通項(xiàng)公式的有關(guān)知識；
(1)
，當(dāng)r＝0，3，6，9，12，15，18，21，24時(shí)，x的指數(shù)分別是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均為2的整數(shù)次冪，故選C；
(2)
的展開式通項(xiàng)為
，因此含x的正整數(shù)次冪的項(xiàng)共有2項(xiàng).選B；
點(diǎn)評：多項(xiàng)式乘法的進(jìn)位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運(yùn)算級別,盡量化成加減運(yùn)算，在運(yùn)算過程可以適當(dāng)注意令值法的運(yùn)用，例如求常數(shù)項(xiàng)，可令
.在二項(xiàng)式的展開式中，要注意項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。
例10．(1)(06江西卷)在(x－
)2006 的二項(xiàng)展開式中，含x的奇次冪的項(xiàng)之和為S，當(dāng)x＝時(shí)，S等于( )
A.23008 B.－23008 C.23009 D.－23009
(2)(06山東卷)已知
的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為－,其中
=－1，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是( )
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
(3)(06浙江卷)若多項(xiàng)式
( )
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
解析：(1)設(shè)(x－)2006＝a0x2006+a1x2005+…+a2005x+a2006；
則當(dāng)x＝時(shí)，有a0()2006+a1()2005+…+a2005()+a2006＝0 (1)，
當(dāng)x＝－時(shí)，有a0()2006－a1()2005+…－a2005()+a2006＝23009 (2)，
6．二項(xiàng)式的應(yīng)用
(1)求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)證明一些簡單的組合恒等式；
(3)證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項(xiàng)式的整除問題；
(4)近似計(jì)算。當(dāng)|x|充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+
x2；(5)證明不等式。
5．二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
(2)通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第k+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
4．組合
(1)組合的定義，排列與組合的區(qū)別；
(2)組合數(shù)公式：Cnm=
=
；
(3)組合數(shù)的性質(zhì)
①Cnm=Cnn-m；②
；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
3．排列
(1)排列定義，排列數(shù)
(2)排列數(shù)公式：系
=
=n·(n－1)…(n－m+1)；
(3)全排列列：
=n!；
(4)記住下列幾個(gè)階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
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