同步精練廣東人民出版社八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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1.新考向 數(shù)學(xué)文化公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有一種觀點(diǎn)——“萬(wàn)物皆數(shù)”，即一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比（分?jǐn)?shù)）表示.后來這一學(xué)派中的希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).這類“不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示的數(shù)”指的是（
B
）
A.有理數(shù)
B.無理數(shù)
C.零
D.負(fù)數(shù)
答案：B
2.（教材P25“嘗試與思考”變式）兩直角邊長(zhǎng)分別為2和3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)是（
D
）
A.整數(shù)
B.分?jǐn)?shù)
C.有理數(shù)
D.無理數(shù)
答案：D
解析：斜邊長(zhǎng)為$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，是無理數(shù)。
3.（2024·瀘州）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（
D
）
A.$-\frac{1}{3}$
B.3.14
C.0
D.π
答案：D
4.下列說法中，正確的是（
D
）
A.有理數(shù)是有限小數(shù)
B.無理數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式
C.無理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)
D.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)
答案：D
5.（教材P27例題變式）把下列各數(shù)填入對(duì)應(yīng)的集合內(nèi)：
2，$\frac{1}{3}$，0，121 221 222 1…（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1），2.˙0，2π，3.14，0，$-\frac{23}{5}$.
有理數(shù)集合：{
2，$\frac{1}{3}$，0，2.˙0，3.14，$-\frac{23}{5}$
...}，
無理數(shù)集合：{
121 221 222 1…（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1），2π
...}.
答案：有理數(shù)集合：{2，$\frac{1}{3}$，0，2.˙0，3.14，$-\frac{23}{5}$}；無理數(shù)集合：{1212212221…，2π}
6.下列說法中，正確的是（
C
）
A.無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負(fù)無理數(shù)
B.無限小數(shù)都是無理數(shù)
C.無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)
D.實(shí)數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)
答案：C
7.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（
D
）
A.體積為8的正方體的棱長(zhǎng)
B.面積為36的正方形的邊長(zhǎng)
C.長(zhǎng)、寬分別為12，5的長(zhǎng)方形對(duì)角線的長(zhǎng)
D.半徑為3的圓的周長(zhǎng)
答案：D
解析：A棱長(zhǎng)2，B邊長(zhǎng)6，C對(duì)角線13，均為有理數(shù)；D周長(zhǎng)6π，是無理數(shù)。
8.判斷下列說法是否正確，若正確，請(qǐng)說明理由；若不正確，舉反例說明.
（1）兩個(gè)整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個(gè)無理數(shù).
（2）任意一個(gè)無理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù).
答案：（1）不正確，如1÷3=$\frac{1}{3}$是有理數(shù)；（2）正確，無理數(shù)不為0，絕對(duì)值為正數(shù)。
9.如圖，在正方形網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.已知點(diǎn)C，請(qǐng)按要求設(shè)計(jì)△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC
(1)在圖1中，AB的長(zhǎng)為無理數(shù)，AC，BC的長(zhǎng)均為有理數(shù)
(2)在圖2種，AB的長(zhǎng)為有理數(shù)，AC，BC的長(zhǎng)均為無理數(shù)
(3)在圖3中，三邊的長(zhǎng)均為無理數(shù)
答案：1. （1）解：因?yàn)?AC = BC = 2$，$\angle ACB=90^{\circ}$，根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
把$AC = BC = 2$代入可得$AB=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4 + 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（$2\sqrt{2}$是無理數(shù)）。
2. （2）解：設(shè)$AC = BC=\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$是無理數(shù)），根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
把$AC = BC=\sqrt{5}$代入可得$AB=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{5 + 5}=\sqrt{10}$（錯(cuò)誤），重新設(shè)$AC = BC=\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$是無理數(shù)），$AB=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2 + 2}=2$（$2$是有理數(shù)）。
3. （3）解：設(shè)$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。
根據(jù)勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2}}=\sqrt{5 + 10}=\sqrt{15}$。
此時(shí)$AC=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{15}$都是無理數(shù)。
（注：本題答案不唯一，只要滿足相應(yīng)條件即可。）
