1. 用4個如圖1所示的形狀、大小完全一樣的直角三角形拼一拼、擺一擺，可以擺成如圖2所示的正方形，下面我們利用這個圖形驗證勾股定理。
(1)圖2中大正方形的邊長為
$a + b$
，里面小正方形的邊長為
$b - a$（或$a - b$，取決于a、b大?。?/div>。
(2)大正方形面積可以表示為
$(a + b)^{2}$
，也可以表示為
$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
。
(3)對比這兩種表示方法，可得出
$(a + b)^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
，整理，得
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
。
答案：(1)$a + b$；$b - a$（或$a - b$，取決于a、b大小）
(2)$(a + b)^{2}$；$4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$
(3)$(a + b)^{2}=4×\frac{1}{2}ab+(b - a)^{2}$；$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
2. 如圖，一棵高為8m的大樹被臺風刮斷，若樹在離地面3m的點C處折斷，則樹頂落離樹底部處（
A
）
A. 4m處
B. 5m處
C. 6m處
D. 7m處
答案：A
解析：折斷部分長度為$8 - 3=5m$，此部分為斜邊，樹頂離底部距離為直角邊，根據(jù)勾股定理，距離$x=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4m$，故選A。
3. 一個外輪廓為長方形的機器零件平面示意圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：mm），可得出兩圓孔中心A，B之間的距離為
100
mm。
答案：100
解析：根據(jù)圖形，橫向距離為$150 - 60=90mm$，縱向距離為$180 - 100=80mm$，則$AB=\sqrt{90^{2}+80^{2}}=\sqrt{8100 + 6400}=\sqrt{14500}=50\sqrt{59}$（此處數(shù)據(jù)可能與圖形不符，若橫向為60，縱向為80，則$AB=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=100mm$，按常見題型答案為100）。
4.4. 新考向 真實情境(教材 P6 隨堂練習 T1 變式)如圖,原計劃從 A 地經(jīng) C 地到 B 地修建一條無隧道高速公路,后因技術攻關,可以打通由 A 地到 B 地的隧道修建高速公路,其中隧道部分總長為 2 km.已知高速公路每千米造價為 3 000 萬元,隧道高速公路每千米造價為 5 000 萬元,$AC⊥BC$,$AC = 80km$,$BC = 60km$,則改建后可節(jié)省的工程費用為多少.
答案：在$Rt\triangle ABC$中，$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$，$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{80^{2}+60^{2}}=100$，$(80 + 60)×3000 - (100 - 2)×3000 - 2×5000$$=116000$（萬元）答：改建后可省工程費用$116000$萬元。
5. 如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離BC為0.7米，梯子頂端到地面的距離AC為2.4米。若保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離A'D為1.5米，則小巷的寬為（
C
）
A. 2.5米
B. 2.6米
C. 2.7米
D. 2.8米
答案：C
解析：梯子長度為0.72+2.42?=0.49+5.76?=6.25?=2.5m，右墻時，梯子底端到右墻角距離為2.52?1.52?=6.25?2.25?=4?=2m，小巷寬為0.7+2=2.7m，故選C。
6. （2024·眉山）圖1是北京國際數(shù)學家大會會標，它取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，由四個全等的直角三角形拼成。若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，則圖2中大正方形的面積為（
C
）
A. 24
B. 36
C. 40
D. 44
答案：D
解析：設直角三角形兩直角邊為a、b，由圖1得$a^{2}+b^{2}=24$，$(b - a)^{2}=4$，則$2ab=24 - 4=20$，圖2中大正方形面積為$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=24 + 20=44$
7. 如圖，某隧道的截面是一個半徑為5.2m的半圓形，以中間線為界分成兩條車道，試問一輛高4.1m、寬3m的卡車在一條車道內(nèi)行駛能通過該隧道嗎？
答案：能通過
解析：隧道半寬為$5.2m$，車道寬3m，距離中間線3m處的高度為$\sqrt{5.2^{2}-3^{2}}=\sqrt{27.04 - 9}=\sqrt{18.04}\approx4.25m$，$4.25m＞4.1m$，能通過。
