同步精練廣東人民出版社八年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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12. 將直角三角形三條邊的長度同時擴大相同的倍數(shù)后得到的三角形（
A
）
A. 仍是直角三角形
B. 可能是銳角三角形
C. 可能是鈍角三角形
D. 不可能是直角三角形
答案：A
解析：設(shè)原三邊為a、b、c，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，擴大k倍后為ka、kb、kc，$(ka)^{2}+(kb)^{2}=k^{2}(a^{2}+b^{2})=k^{2}c^{2}=(kc)^{2}$，仍是直角三角形，故選A。
13. △ABC的三邊長分別為a，b，c，下列條件：①∠A=∠B - ∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③$a^{2}=(b + c)(b - c)$；④a：b：c=5：12：13。其中能判定△ABC是直角三角形的有（
C
）
答案：C
解析：①∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∠B=90°，是直角三角形；②∠C=180°×$\frac{5}{3 + 4 + 5}=75°$，不是直角三角形；③$a^{2}=b^{2}-c^{2}$，即$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，是直角三角形；④$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，是直角三角形，共3個，故選C。
14. （1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，
60
，
61
。
（2）若第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，則后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：$4=\frac{3^{2}-1}{2}$，$12=\frac{5^{2}-1}{2}$，$24=\frac{7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第二個數(shù)為$\frac{a^{2}-1}{2}$，則用含a的代數(shù)式表示第三個數(shù)為
$\frac{a^{2}+1}{2}$
。
（3）用所學(xué)知識說明（2）中用字母a表示的三個數(shù)是勾股數(shù)。
證明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股數(shù)。
答案：（1）60；61
（2）$\frac{a^{2}+1}{2}$
（3）證明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股數(shù)。
15. 如圖，正方形ABCD由9個邊長為1的小正方形組成，每個小正方形的頂點都叫格點，連接AE，AF，則∠EAF=
45
°。
答案：45
解析：設(shè)小正方形邊長為1，AE=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，EF=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$AE^{2}+EF^{2}=5 + 5=10=AF^{2}$，△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°。
16. 如圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，根據(jù)安全標準需滿足BC⊥CD，觀測得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接（即∠ABD=90°），通過計算說明該車是否符合安全標準。
答案：符合安全標準
解析：在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{81 - 36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}dm$，在△BCD中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=9 + 36=45=BD^{2}$，∴BC⊥CD，符合安全標準。
17.新考向 推理能力 我們在課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”。王老師給學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決。
(1)請你根據(jù)上述規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11，
60
，
61
.
(2)若第一個數(shù)用字母a（a為奇數(shù)，且a≥3）表示，則后兩個數(shù)用含a的代數(shù)式分別怎么表示？聰明的小明發(fā)現(xiàn)每組第二個數(shù)有這樣的規(guī)律：4=$\frac{3^2 - 1}{2}$，12=$\frac{5^2 - 1}{2}$，24=$\frac{7^2 - 1}{2}$……于是他很快表示出了第二個數(shù)為$\frac{a^2 - 1}{2}$，則用含a的代數(shù)式表示第三個數(shù)為
$\frac{a^2 + 1}{2}$
.
(3)用所學(xué)知識說明(2)中用字母a表示的三個數(shù)是勾股數(shù)。
證明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股數(shù)。
答案：(1)60，61
(2)$\frac{a^2 + 1}{2}$
(3)證明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股數(shù)。
