20．(本小題滿分12分)為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙、丙、丁預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費用如下表：
|
預防措施 |
甲 |
乙 |
丙 |
丁 |
|
p |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
|
費用(萬元) |
90 |
60 |
30 |
10 |
預防方案可單獨采用一種預防措施或聯(lián)合采用幾種預防措施．在總費用不超過120萬元的前提下，請確定一個預防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大．
解：方案一：單獨采用一種預防措施的費用均不超過120萬元．由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.
方案二：聯(lián)合采用兩種預防措施，費用不超過120萬元．由表可知聯(lián)合甲、丙兩種預防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1－(1－0.9)(1－0.7)＝0.97.
方案三：聯(lián)合采用三種預防措施，費用不超過120萬元，故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預防措施，此時突發(fā)事件不發(fā)生的概率為
19．(本小題滿分12分)甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各出1到5根手指頭，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．
(1)若以A表示和為6的事件，求P(A)．
(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件，C表示乙至少贏兩次的事件，試問B與C是否為互斥事件？為什么？
(3)這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由．
解：(1)基本事件空間與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一對應．
因為S中點的總數(shù)為5×5＝25(個)，所以基本事件總數(shù)為n＝25.
事件A包含的基本事件數(shù)共5個：
(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)，
所以P(A)＝＝.
(2)B與C不是互斥事件，因為事件B與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合．
(3)這種游戲規(guī)則不公平，由(1)知和為偶數(shù)的基本事件數(shù)為13個：
(1,1)、(1,3)、(1,5)、(2,2)、(2,4)、(3,1)、(3,3)、(3,5)、(4,2)、(4,4)、(5,1)、(5,3)、(5,5)
所以甲贏的概率為，乙贏的概率為.
所以這種游戲規(guī)則不公平．
18．(本小題滿分12分)(2008·遼寧)某批發(fā)市場對某種商品的周銷售量(單位：噸)進行統(tǒng)計，最近100周的統(tǒng)計結果如下表所示：
|
周銷售量 |
2 |
3 |
4 |
|
頻數(shù) |
20 |
50 |
30 |
(1)根據(jù)上面統(tǒng)計結果，求周銷售量分別為2噸，3噸和4噸的頻率；
(2)若以上述頻率作為概率，且各周的銷售量相互獨立，求：
(ⅰ)4周中該種商品至少有一周的銷售量為4噸的概率；
(ⅱ)該種商品4周的銷售量總和至少為15噸的概率．
解：(1)周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2,0.5和0.3.
(2)由題意知一周的銷售量為2噸，3噸和4噸的概率分別為0.2,0.5和0.3，故所求的概率
(ⅰ)P1＝1－0.74＝0.7599.
(ⅱ)P2＝C×0.5×0.33+0.34＝0.0621.
17．(本小題滿分10分)甲、乙兩人進行投籃訓練，已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假設兩人投球命中與否相互之間沒有影響．
(1)如果兩人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；
(2)如果兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率．
解：(1)記“甲投球1次命中”為事件A，“乙投球1次命中”為事件B.根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式，所求的概率是P(A·)+P(B·)＝P(A)·P()+P()·P(B)＝×(1－)+(1－)×＝.
(2)∵事件“兩人各投球2次均不命中”的概率為＝×××＝，
∴兩人各投球2次，這4次投球中至少有1次命中的概率為1－＝.
16．若在二項式(x+1)n(n>3且n∈N*)的展開式中任取一項，該項的系數(shù)為奇數(shù)的概率是1，則在二項式(x+1)n－1的展開式中任取一項，該項為奇數(shù)項的概率是p，為偶數(shù)項的概率是q，那么p－q＝________.
答案：
解析：由題意n為奇數(shù)，所以n－1為偶數(shù)，并且(x+1)n－1的展開式有n項，其中奇數(shù)項比偶數(shù)項多一項，所以p＝＝，q＝＝.
所以p－q＝.
15．若隨機從集合{2,22,23，…，210}中選出兩個不同的元素a、b，則logab為整數(shù)的概率為________．
答案：
解析：a＝2時，有9個；
a＝22時，b＝24或26或28或210，共4個；
a＝23時，b＝26或29有2個；
a＝24時，b＝28有1個；
a＝25時，b＝210有1個；
使logab為整數(shù)的有17個，
∴概率為＝.
14．在三角形的每條邊上各取三個分點(如右圖)，以這9個分點為頂點可畫出若干個三角形．若從中任意抽取一個三角形，則其三個頂點分別落在原三角形的三條不同邊上的概率為________．(用數(shù)字作答)
答案：
解析：共作三角形數(shù)為C－3＝81，三頂點在三邊上的三角形數(shù)為C×C×C＝27.
∴所求概率為＝.
13．若10把鑰匙中只有2把能打開某鎖，則從中任取2把能將該鎖打開的概率為________．
答案：.
解析：所求概率為＝.
12．箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為( )
A. B．()3×
C.× D．C()3×
答案：B
解析：取出黑球的概率為，取出白球的概率為.
第4次取球之后停止說明前三次取出的都是黑球，第四次取出的是白球，故所求概率P＝()3×.
11．口袋里放有大小相等的兩個紅球和一個白球，有放回地每次摸取一個球，定義數(shù)列{an}：
an＝，如果Sn為數(shù)列{an}的前n項和，那么S7＝3的概率為( )
A．C()2·()5 B．C()2·()5
C．C()2·()5 D．C()2·()5
答案：B
解析：設在7次取球中，有x次拿了白球，則拿了(7－x)次紅球，所以x×1+(7－x)×(－1)＝3.解得x＝5，所以求S7＝3的概率就是求7次中取5次白球和2次紅球的概率．每次取紅球和白球的概率分別為、，
故其概率P＝C()2()5.
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