(二)考點預(yù)測題
1(2007年寧夏理4)．已知
是等差數(shù)列，
，其前10項和
，則其公差
( )
A．
B．
C．
D．
[解析]由
得a1=4, 則a10=a1+9d=4+9d=10，所以
．
[答案]D．
2(2008年天津卷20)．在數(shù)列
中，
，
，且
(
)．
(Ⅰ)設(shè)
(
)，證明
是等比數(shù)列；
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅲ)若
是
與
的等差中項，求
的值，并證明：對任意的，
是
與
的等差中項．
[解析](Ⅰ)證明：由題設(shè)(
)，得
，即
，．
又
，
，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
(Ⅱ)解法：由(Ⅰ)
，
，
……
，()．
將以上各式相加，得
()．
所以當(dāng)時，
上式對
顯然成立．
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)，當(dāng)
時，顯然不是與的等差中項，故
．
由
可得
，由得
，�、�
整理得
，解得
或
(舍去)．于是
．
另一方面，
，
．
由①可得
，．
所以對任意的，是與的等差中項．
3(2008年遼寧卷21)．在數(shù)列
，
中，a1=2，b1=4，且
成等差數(shù)列，
成等比數(shù)列(
)
(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測，的通項公式，并證明你的結(jié)論；
(Ⅱ)證明：
．
[解析](Ⅰ)由條件得
由此可得
．
猜測
．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，由上可得結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即
，
那么當(dāng)n=k+1時，
．
所以當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②，可知
對一切正整數(shù)都成立．
4(2008-2009學(xué)年江蘇省鹽城市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考20)．已知數(shù)列和
滿足
,
,
.
(Ⅰ) 當(dāng)
時,求證: 對于任意的實數(shù)
,一定不是等差數(shù)列；
(Ⅱ) 當(dāng)
時,試判斷是否為等比數(shù)列；
(Ⅲ) 設(shè)
為數(shù)列的前
項和,在(Ⅱ)的條件下,是否存在實數(shù)
,使得對任意的正
整數(shù),都有
?若存在,請求出的取值范圍；若不存在,請說明理由.
[解析](Ⅰ)當(dāng)時,
假設(shè)是等差數(shù)列,由
得
,即5=2,矛盾.
故對于任意的實數(shù),一定不是等差數(shù)列.
(Ⅱ)當(dāng)時,
.而,所以
=
.
又
.
故當(dāng)
時, 不是等比數(shù)列.
當(dāng)
時, 是以
為首項,
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當(dāng)時,
,不合要求.
所以,于是
,要使成立,
則
.
令
,當(dāng)n正奇數(shù)時,
；當(dāng)n正偶數(shù)時,
.
故的最大值為
,最小值為
.
欲對任意的正整數(shù)n都成立,則
,即
,所以
.
綜上所述,存在唯一的實數(shù)=
,使得對任意的正整數(shù),都有.
(一)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、求和公式的應(yīng)用以及等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)一直是高考的重點內(nèi)容，也會是今年高考的重點．對數(shù)列部分的考查一方面以小題考查數(shù)列的基本知識；另一方面以解答題形式考查等差、等比數(shù)列的概念、通項公式以及前項和公式．解答題作為壓軸題的可能性較大，與不等式、數(shù)學(xué)歸納法、函數(shù)等一起綜合考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證、運(yùn)算等能力以及分析問題、解決問題的能力．具體地：
1． 數(shù)列中與的關(guān)系一直是高考的熱點，求數(shù)列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關(guān)系．
2．探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明．探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求．
3．等差、等比數(shù)列的基本知識必考．這類考題既有選擇題、填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。
4．求和問題也是常見的試題，等差數(shù)列、等比數(shù)列及可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和問題應(yīng)掌握，還應(yīng)該掌握一些特殊數(shù)列的求和．
5．將數(shù)列應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所占的分值來看，一年比一年多，而且都注重能力的考查．
6．有關(guān)數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點．另外數(shù)列與程序框圖的綜合題也應(yīng)引起重視．
1(天津市漢沽一中2009屆月考文7)．已知是等差數(shù)列，
，
，則該數(shù)列前10項和
等于( )
A．64 B．100 C．110 D．120
[解析]設(shè)公差為
，則由已知得
，
．
[答案]B．
2(遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬)．設(shè)等差數(shù)列
的前n項和為
，則
( )
A．18 B．17 C．16 D．15
[解析]等差數(shù)列中
，公差
，
．[答案]A.
3(寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷10)．如圖，一只青蛙在圓周上標(biāo)有數(shù)字的五個點上跳，若它停在奇數(shù)點上，則下一次
沿順時針方向跳兩個點；若停在偶數(shù)點上，則下一次沿逆時針方向跳一個點，若青蛙從
這點開始跳，則經(jīng)2009次跳后它停在的點所對應(yīng)的數(shù)為( )
A．
B．
C．
D．
[解析]5-2-1-3-5，周期為4，2009=4×502+1，經(jīng)過2009次跳后它停在的點所對應(yīng)的數(shù)為2．
[答案]B．
4(2008~2009學(xué)年福建高考樣卷·理)．已知等比數(shù)列
中
，則其前3項的和
的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]設(shè)公比為
，
，由
或
，所以取值范圍為．
[答案]D．
5(2008~2009學(xué)年福州質(zhì)檢·理)．
，則
[解析]
．
[答案]2236．
6(溫州十校2008學(xué)年度第一學(xué)期期中高三數(shù)學(xué)試題理).已知數(shù)列的前n項的和
滿足
,則=
.
[解析]由條件得：
，
，則，時，
．
[答案]
．
7(浙江省杭州市2009年第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題卷理科).數(shù)列中，
，
(
是不為零的常數(shù)，
)，且
成等比數(shù)列．
(1)求的值；
(2)求的通項公式；
(3)求數(shù)列
的前項之和
．
[解析](1)，
，
，
因為
，
，成等比數(shù)列，
所以
，
解得
或
．
∵c≠0，∴．
(2)當(dāng)
時，由于
，
，
，
所以
．
又，，故
．
當(dāng)時，上式也成立，
所以
．
(3)令
……①
……②
①-②得：
8(一中2008-2009月考理18)．已知數(shù)列{}中，
在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(1)令
求證數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項；
⑶ 設(shè)
的前n項和,是否存在實數(shù)，使得數(shù)列
為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由．
[解析](I)由已知得
又
是以
為首項，以
為公比的等比數(shù)列.
(II)由(I)知，
將以上各式相加得：
(III)解法一：
存在
，使數(shù)列
是等差數(shù)列.
數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是
、
是常數(shù)
即
又
當(dāng)且僅當(dāng)
，即時，數(shù)列為等差數(shù)列.
解法二：
存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(I)、(II)知，
又
當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列．
9(2008-2009學(xué)年山東師大附中高三數(shù)學(xué)模擬考試試題文科數(shù)學(xué)21)．已知函數(shù)
，設(shè)曲線
在點
處的切線與
軸的交點為
，其中
為正實數(shù)
(1)用
表示
；
(2)
,若
，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(3)若數(shù)列的前項和
，記數(shù)列
的前項和
，求．
[解析](1)由題可得
，所以在曲線上點
處的切線方程為
，即
令
，得
，即
由題意得
，所以
(2)因為，所以
即
，所以數(shù)列為等比數(shù)列故
---8分
(3)當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以數(shù)列的通項公式為
，故數(shù)列
的通項公式為
①
①
的
②
①②得
故
．
10(廣州市越秀區(qū)2009年高三摸底調(diào)研理21).已知
(m為常數(shù)，m>0且
)，設(shè)
是首項為4，公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若bn=an·
，且數(shù)列{bn}的前n項和Sn，當(dāng)
時，求Sn；
(3)若cn=
，問是否存在m，使得{cn}中每一項恒小于它后面的項？
若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.
[解析](1)由題意
即
∴
∴
∵m>0且，∴m2為非零常數(shù)，
∴數(shù)列{an}是以m4為首項，m2為公比的等比數(shù)列
(2)由題意
，
當(dāng)
∴
①
①式兩端同乘以2，得
②
②－①并整理，得
=
…10分
(3)由題意 
要使
對一切
成立，即 
對一切
成立，
①當(dāng)m>1時， 
成立；
②當(dāng)0<m<1時，
∴
對一切
成立，只需
，
解得 
， 考慮到0<m<1， ∴0<m<
綜上，當(dāng)0<m<
或m>1時，數(shù)列{cn}中每一項恒小于它后面的項.
1(2008年廣東卷2).記等差數(shù)列的前項和為，若
，
，則
( )
A．16 B．24 C．36 D．48
[解析]
，
，故
．
[答案]D．
2(2008年浙江卷6).已知
是等比數(shù)列，
，則
=( )
(A)16(
)
(B)16(
)
(C)
()
(D)()
[解析]由
，解得
，
數(shù)列
仍是等比數(shù)列：其首項是
公比為
，
所以
．
[答案]C．
3(2007年天津理8)．設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，
．若
是與
的等比中項，則
( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析]是與的等比中項，則
，
又
，則
，
(舍負(fù))．
[答案]B．
4(2008年江蘇卷10).將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的規(guī)律，第n 行(n ≥3)從左向右的第3 個數(shù)為 �。�
[解析]前n－1 行共有正整數(shù)1+2+…+(n－1)個，即
個，因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個，即為
．
[答案]．
5(2007年浙江文19) .已知數(shù)列{}中的相鄰兩項
、是關(guān)于x的方程
的兩個根，且≤ (k ＝1，2，3，…)．
(I)求
及
(n≥4)(不必證明)；
(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項和S2n．
[解析] (I)方程的兩個根為
．
當(dāng)k＝1時，
，所以；
當(dāng)k＝2時，
，所以
；當(dāng)k＝3時，
，所以
；
當(dāng)k＝4時，
，所以
；
因為n≥4時，
，所以
(Ⅱ)
＝
．
6(2007年山東理17).設(shè)數(shù)列滿足
，
．
(Ⅰ)求數(shù)列的通項；
(Ⅱ)設(shè)
，求數(shù)列的前項和．
[解析](I)
，
．
驗證
時也滿足上式，
．
(II) 
，
，
，
則
，
，所以
．
7(2008年安徽卷21)．設(shè)數(shù)列滿足
為實數(shù)
(Ⅰ)證明：
對任意成立的充分必要條件是
；
(Ⅱ)設(shè)
，證明：
;
(Ⅲ)設(shè)，證明：
[解析](Ⅰ)必要性 ：
，
又 
，即
充分性 ：設(shè) ，對用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)時，
.假設(shè)
則
，且
，由數(shù)學(xué)歸納法知對所有成立
(Ⅱ) 設(shè) ，當(dāng)時，
，結(jié)論成立
當(dāng) 時，
,由(1)知
，所以 
且 
(Ⅲ)設(shè) ，當(dāng)時，
，結(jié)論成立
當(dāng)時，由(2)知
．
2．等差數(shù)列、等比數(shù)列
(1) 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．
(2)掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．
(3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
�、� 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
高考對數(shù)列的考查比較全面，重點是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式、等差(比)中項及等差和等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；在能力要求上，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力，其中考查思維能力是支柱，運(yùn)算能力是主體，應(yīng)用是歸宿．
主要考點有：
1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法
(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式)．
(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．
(二)考點預(yù)測題
1(2008年江蘇卷5).
，
的夾角為
，
，
則
．
[解析]
=
，則7．
[答案]7．
2(2007年山東理11)． 在直角
中，
是斜邊
上的高，則下列等式不成立的是( )
A．
B．
C．
D．
[解析]由于
cso∠CAB=|
|2,
可排除A. 
cos∠ABC=
2,
可排除B , 而
cos(π－∠ACD)=－|
cos∠ACD<0 ， |
>0
, ∴|≠
，可知選C．
[答案]C．
3(廣東省2009屆高三第一次六校聯(lián)考(理)16)．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，
．
(Ⅰ)若a⊥b，求θ；
(Ⅱ)求｜a+b｜的最大值．
[解析](Ⅰ)若a⊥b，則sinθ+cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1()，
所以 θ＝
；
(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，得
｜a+b｜＝＝
＝，
當(dāng)sin(θ+)＝1時，|a+b|取得最大值，
即當(dāng)θ＝時，|a+b|最大值為+1．
4(2009屆廣東五校高三第二聯(lián)考試卷文) ．已知向量
，
，
．
(1)若
的夾角；
(2)當(dāng)
時，求函數(shù)
的最大值．
[解析](1)當(dāng)
時，
(2)
．
∴
，故
∴當(dāng)
時，即
，所以
．
(一)文字介紹
預(yù)計向量基本概念、向量基本運(yùn)算等基礎(chǔ)問題，通常為選擇題或填空題出現(xiàn)；而向量與三角函數(shù)、解三角形等綜合的問題，通常為解答題，難度以中檔題為主．具體如下：
1．向量概念和向量的基本定理
有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型．
2．向量的運(yùn)算
向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算；掌握實數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個向量共線的含義，會判斷兩個向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用向量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時也會與其它內(nèi)容相結(jié)合．
3．向量與三角函數(shù)的綜合問題
向量與三角函數(shù)的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，考查了向量的知識，三角函數(shù)的知識，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求．命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問題，屬中檔偏易題．
4．平面向量與函數(shù)問題的交匯
平面向量與函數(shù)交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍．命題多以解答題為主，屬中檔題．
1(漢沽一中2008~2009屆月考文9)．已知平面向量
, 
,
且
, 則
( )
A．
B．
C．
D．
[解析]∵,∴
,．
B．
2(浙江省09年高考省教研室第一次抽樣測試數(shù)學(xué)試題(理)5)．已知
，點P在直線AB上，且滿足
，則
=( )
A、
B、
C、2
D、3
[解析]如圖所示，不妨設(shè)
；找共線，對于點P在直線AB上，有
；列方程，因此有
，即
；而
，即有
，因此
時
.即有=.
[答案]B．
3(沈陽二中2009屆高三期末數(shù)學(xué)試題).設(shè)點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，
，則點P是△ABC的( )
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
[解析]
[答案]D.
4(寧波市2008學(xué)年度第一學(xué)期高三期末數(shù)(文))．已知在平面直角坐標(biāo)系中，
，
，O為原點，且
(其中
均為實數(shù))，若N(1，0)，則
的最小值是 .
[解析]由
及
知，點M與點A、B共線，所以的最小值是點N到直線AB的距離，在直角三角形ABN中求解得
．
[答案].
5(福州質(zhì)檢·理).已知
，若
，則
．
[解析]由得：
，即
，所以
，
．
[答案]．
6(江蘇省南通市2008-2009學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷13) .在△ABC中，
，D是BC邊上任意一點(D與B、C不重合)，且
，則
等于 ▲ ．
[解析]當(dāng)點D無限逼近點C時，由條件知
趨向于零，
，即△ABC是等邊三角形．
[答案] 
．
7 ( 江蘇省常州市2008-2009高三第一學(xué)期期中統(tǒng)一測試10) .已知
，且關(guān)于
的函數(shù)
在R上有極值，則
與
的夾角范圍為_______.
[解析]
，依題意
，
即
，
，又夾角
，所以范圍為
．
[答案]．
8(2008年東北三省三校高三第一次聯(lián)合模擬考試).
已知向量
(1)當(dāng)
時，求
的值；
(2)求
在
上的值域．
[解析](1)
，∴
，∴
．
(2)
∵
，∴
，∴
∴
∴函數(shù) 
．
9(紹興市2008學(xué)年第一學(xué)期統(tǒng)考數(shù)學(xué)試題).已知向量
，
(1)若
求
的值；
(2)設(shè)
，求
的取值范圍.
[解析](1)因
，∴
，兩邊平方得
，
∴
．
(2)因
，∴
又
，∴的取值范圍為
.
10 (溫州市十校2008學(xué)年高三第一學(xué)期期初聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題(文)) ．已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為
、
、
．
(1)若
的值；
(2)若
，求
的值．
[解析](1) 
∵
∴
即
∴
，又∵
，∴
．
(2)
，∴
，
兩邊平方，得
，
=
．
1(2008年安徽卷3)．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若
，
,則
( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5) C．(3，5) D．(2，4)
[解析]因為
，選B．
[答案]B．
2(2007年山東文5)．已知向量
，若
與
垂直，則
( C )
A．
B．
C．
D．4
[解析]∵2
－
與垂直. ∴(2－)·=0, 而2－= (3 , n) , ∴－3+n2=0
, 而||2
=
=
4 即 ||=2
. 兩個非零向量⊥
·=0x1x2+y1y2=0
, ||2
=2
= x2 +y2．
[答案]C．
3(2008年遼寧卷理5).已知
是平面上的三個點,直線上有一點
,滿足
,則
等于( )
A.
B.
C.
D.
[解析]依題
∴
[答案]A．
4(2008年浙江卷理9)．已知，是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量
滿足
，則
的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. 
D. 
[解析]
∴
，則的最大值是；
∴，對應(yīng)的點A,B在圓
上,對應(yīng)的點C在圓
上即可.
[答案]C．
5(2008年天津卷理14)．如圖，在平行四邊形
中，
，
則
．
[解析]令
，
，則
所以
.
[答案]3．
6(2007年天津理15)
．如圖，在
中，
，
是邊
上一點，
，則
．
[解析]在中，有余弦定理得
，
，
由正弦定理得
，則
，在
中，由余弦定理求得
，則
，
由余弦定理得
，
．
[答案]
．
7(2007年廣東文16)．已知ΔABC三個頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(
，0)．
(1)若
，求的值；
(2)若
，求sin∠A的值
[解析] (1) 
，
，
由 
得
．
(2) ，
，
，
．
國際學(xué)校優(yōu)選 - 練習(xí)冊列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com