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　經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會向量方法的作用，由此出發(fā)，導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力．

1．和與差的三角函數(shù)公式

　(1)向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．

　(2)用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．

(3)用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．

(4)體會化歸思想的應(yīng)用，能運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式的證明。

2、解答題

(1)解析幾何章節(jié)內(nèi)知識綜合問題

　　　 已知向量，動點(diǎn)M到定直線的距離等于，并且滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，K為參數(shù)；

(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類型；

(2)當(dāng)k=時，求的最大值和最小值；

(3)在(2)的條件下，將曲線向左平移一個單位，在x軸上是否存在一點(diǎn)P(m，0)使得過點(diǎn)P的直線交該曲線于D、E兩點(diǎn)、并且以DE為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

解題過程： (1)設(shè)，則由，

且O為原點(diǎn)得A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)

從而

代入得

為所求軌跡方程　

當(dāng)K=1時，=0　 軌跡為一條直線　　　　　　　　　　　　

　 　　　　當(dāng)K1時，，若K=0，則為圓 ；若K，則為雙曲線　　　　　

(2)當(dāng)K=時，若或則為橢圓

方程為，即且　 　

從而　　　　　　　　　

又

　當(dāng)時，取最小值，當(dāng) 時，取最大值16

故，

(3)在(2)的條件下，將曲線向左平移一個單位后曲線方程為

假設(shè)存在過P(m,0)直線滿足題意條件，不妨設(shè)過P(m,0)直線方程為

設(shè)D(x₁,y₁ ),E(x₂,y₂ )， 消去x得：

即

由韋達(dá)定理，得

由于以DE為直徑的圓都過原點(diǎn)則,即

又因?yàn)?sub>

即顯然能滿足

故當(dāng)

命題意圖：解析幾何大題在高考中以直線與圓錐曲線相交為背景，結(jié)合向量(向量起“表達(dá)”作用)，考查求方程、最值、點(diǎn)的定位等問題。本題就是抓住這一特點(diǎn)進(jìn)行命題的。另外特別說一下，09安徽高考數(shù)學(xué)解析幾何大題要以橢圓為背景命題。

(2)解幾與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題

已知圓O的方程為過直線上的任意一點(diǎn)P作圓O的切線PA、PB．四邊形OABP的面積取得最小時的點(diǎn)P的坐標(biāo)(m，n)設(shè)．

(1)求證：當(dāng)恒成立；

(2)討論關(guān)于的方程： 根的個數(shù)．

解題過程：(1)＝．

　　　 當(dāng)取得最小值時取得最小，過點(diǎn)O 作垂直于直線，交點(diǎn)為，

　　　 易得，∴．∴．

　　　 ∴，∴在是單調(diào)增函數(shù)，

　　　 ∴對于恒成立．

(2)方程，∴．

　 ∵ ，∴ 方程為．令，

　　 　　 ，當(dāng)上為增函數(shù)；

　　 　　 上為減函數(shù)，

　　 　　 當(dāng)時，

，

　　 　　 ∴、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，

　　 　　 ∴①當(dāng)時，方程無解．

　　　　　 ②當(dāng)時，方程有一個根．

③當(dāng)時，方程有兩個根．

命題意圖：解幾大題在高考中以解幾章節(jié)內(nèi)部知識綜合題為主，只有理科卷在高考中偶爾會有與導(dǎo)數(shù)函數(shù)綜合型的問題。本題就在這一點(diǎn)上立意命題。

1、已知集合, ,則集合所表示圖形的面積是　　　　　　　 .

答案：

解題過程：集合表示以為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，其中圓心在邊長為2的正方形區(qū)域內(nèi)移動(如圖)，故所表示的圖形是“圓角”正方形，面積為：

.

命題意圖：主要考查學(xué)生對集合語言的理解以及對解幾初步知識的運(yùn)用能力，以線性規(guī)劃求面積問題的面目出現(xiàn)，考察了直線、圓及點(diǎn)集的表示。

　　 (2)參數(shù)方程與普通方程問題(理)(09年安徽文科不作為考試內(nèi)容)

曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是(　　 )

A、線段　 B、雙曲線的一支　 C、圓　 D、射線

解題過程：消去參數(shù)可得D選項(xiàng)

命題意圖：參數(shù)方程在高考中只要求學(xué)生能化為普通方程即可。

(3)求參數(shù)的值問題(以圓錐曲線的離心率問題為主，對大題考不到的圓錐曲線做以補(bǔ)充)

幾何參量

若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為(　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

解題過程：橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，則，故選D.

命題意圖： 本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì).

曲線的離心率

　　　 (1)橢圓的離心率e＝∈(0,1) (e越大則橢圓越扁);

(2) 雙曲線的離心率e＝∈(1, +∞) (e越大則雙曲線開口越大).

已知雙曲線的方程為，則雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　 )，離心率為(　 )

解答過程： 所以焦點(diǎn)是，，離心率為2

命題意圖：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念.

小結(jié): 對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對雙曲線的焦點(diǎn)位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會.

(2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化問題(理)(09年安徽文科不作為考試內(nèi)容)

已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線， 相交于，兩點(diǎn).

(Ⅰ)把曲線，的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)求弦的長度.

解題過程：(Ⅰ)曲線：()表示直線．曲線：，，

所以，即．

(Ⅱ)圓心(3，0)到直線的距離 ，，所以弦長=．

命題意圖：極坐標(biāo)在高考中的要求較低，只要能把極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進(jìn)行互化即可。

1、小題(選擇題、填空題)

　　 (1) 線性規(guī)劃問題

2、應(yīng)試對策

(1)重視對教材中知識交匯點(diǎn)的復(fù)習(xí)。將解析幾何與導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，建模后求參數(shù)的取值范圍；將解析幾何與向量結(jié)合，向量起“表達(dá)”或“工具”作用。所有這些都是高考命題的重點(diǎn)，因此對這類知識及問題要重視它的建模與解模的思想與方法，重視這些題型的訓(xùn)練。

(2)注重基礎(chǔ)，掌握基本知識、基本方法、基本技能、基本內(nèi)容。要多訓(xùn)練一些選擇、填空題型。求直線、圓、圓錐曲線的方程，動點(diǎn)的軌跡，參數(shù)的范圍以及對稱問題等是高考考試中的重點(diǎn)題型，要熟練掌握求軌跡方程的方法與步驟，要熟練掌握求參數(shù)的范圍的常用方法，考前要對這些重要內(nèi)容與重要方法，進(jìn)行一定量的適應(yīng)性訓(xùn)練，使之成為技能，成為常法，考時才能得心應(yīng)手。

(3)重視圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用。有關(guān)圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，離心率的問題等都可用圓錐曲線的定義去求解，活用定義，可以大大縮短破題與解題的時間，減少運(yùn)算量，進(jìn)而大大提高自己的解題自信心。

(4)熟練掌握坐標(biāo)法的思想。要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，體會這種數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用；要會尋找點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系、曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。這兒順便提一下：有關(guān)圓的問題，解答時一定要充分利用圓的幾何性質(zhì)，如圓與直線相切、相交的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，這樣可以大大減少運(yùn)算量，并使過程得以簡化。

1。命題預(yù)測

直線與圓是最基本的圖形，是解析幾何的基本內(nèi)容，也是高考必考查的內(nèi)容，試題多為選擇和填空題，難度適中，屬基本要求，但偶有與圓有關(guān)問題的解答題，其解答難度則可能較大。試題常在直線的圖象、求直線方程，直線 的平行與垂直的位置關(guān)系，求圓面積的方程與有關(guān)圓的軌跡問題上作重點(diǎn)考查。同時有關(guān)對稱問題也是高考的熱點(diǎn)問題，其中直線與圓的位置關(guān)系與對稱問題出現(xiàn)頻率較高。而隨著平面向量的出現(xiàn)，向量與直線或圓的綜合問題則是一直高考的新熱點(diǎn)。

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。在每年的高考中一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題。兩道小題目通常是一道較易的“低檔”題與一道“中檔”題，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能以及基本方法的靈活運(yùn)用，特別是要注意離心率的考察。而解答題則是注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)語言的考查，重視對圓錐曲線定義的應(yīng)用的考查。求軌跡以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考題，將注重考查與一元二次方程有關(guān)的判別式、韋達(dá)定理等腰三角形的應(yīng)用。

4、(2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研第16題)(本題滿分12分)設(shè)點(diǎn)在橢圓的長軸上，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn). 當(dāng)的模最小時，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案：解：設(shè)為橢圓上的動點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

　　 推出．

依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，

故有，解得．

又點(diǎn)在橢圓的長軸上，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

[點(diǎn)評]與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題綜合性較強(qiáng)，解題時需根據(jù)具體問題靈活的運(yùn)用平面幾何、函數(shù)、不等式等知識，正確的構(gòu)造出圓錐曲線與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。

3、(金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科))

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程：

(2)若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；

(3)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

[解析](1)設(shè)橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.

∴橢圓的方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)，設(shè)邊上的高為

　　 　　 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時，最大為，所以的最大值為．

　　 　　 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?sub>的周長為定值6．所以，

　 　　 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為　　　　 　 (10分)

(3)法一：將直線代入橢圓的方程并整理．

得．

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，

由根系數(shù)的關(guān)系，得．

直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：

，

因此結(jié)論成立．

綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上．　　　　　 (16分)

法二：直線的方程為：

由直線的方程為：，即

由直線與直線的方程消去，得

∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

[點(diǎn)評]本題是將直線、圓與橢圓結(jié)合運(yùn)用方程思想解題。

2、(遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬)

在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，則以B，C為焦點(diǎn)，且過D，E的雙曲線的離心率為　　　　　 　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

[解析]D.

[點(diǎn)評]由幾何圖形的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的齊次等式

1.(遼寧省沈陽二中2008-2009學(xué)年上學(xué)期高三期中考試)

直線恒過定點(diǎn)C，圓C是以點(diǎn)C為圓心，以4為半徑的圓。

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)圓M的方程為上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)為E、F，求的最大值和最小值。

[解析](1)，

(2)設(shè)則

在，

由圓的幾何性質(zhì)得

，由此可得

的最大值為－最小值為－8

[點(diǎn)評]向量與解析幾何結(jié)合是高考命題的重要趨勢，本題難度不大。但是如果不能將“向量語言”準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為“函數(shù)語言”，或在解題中不細(xì)心都可能會出現(xiàn)錯誤。切記：“細(xì)節(jié)決定成敗”