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10.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高ξ-N(173，7²)(cm)，問(wèn)車門應(yīng)設(shè)計(jì)多高？

解：設(shè)公共汽車門的設(shè)計(jì)高度為x cm，由題意，需使P(ξ≥x)＜1%.

∵ξ-N(173，7²)，∴P(ξ≤x)=Φ()＞0.99.

查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為190 cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.

[探索題]已知測(cè)量誤差ξ-N(2，100)(cm)，必須進(jìn)行多少次測(cè)量，才能使至少有一次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過(guò)8 cm的頻率大于0.9?

解：設(shè)η表示n次測(cè)量中絕對(duì)誤差不超過(guò)8 cm的次數(shù)，則η-B(n，p).

其中P=P(|ξ|<8)=Φ()－Φ()=Φ(0.6)－1+Φ(1)=0.7258－1+0.8413=0.5671.

由題意，∵P(η≥1)>0.9，n應(yīng)滿足P(η≥1)=1－P(η=0)=1－(1－p)ⁿ>0.9，

∴n>==2.75.

因此，至少要進(jìn)行3次測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過(guò)8 cm的概率大于0.9.

9. 一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)x(萬(wàn)元)分別服從正態(tài)分布N(8，3²)和N(6，2²)，投資者要求利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個(gè)方案?

解：對(duì)第一個(gè)方案，有x-N(8，3²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－1)=1－［1－Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.

對(duì)第二個(gè)方案，有x-N(6，2²)，于是P(x>5)=1－P(x≤5)=1－F(5)=1－Φ()=1－Φ(－0.5)=Φ(0.5)=0.6915.

相比之下，“利潤(rùn)超過(guò)5萬(wàn)元”的概率以第一個(gè)方案為好，可選第一個(gè)方案.

8. 已知連續(xù)型隨機(jī)變量ε的概率密度函數(shù)，且f(x) ≥0，求常數(shù)k的值，并計(jì)算概率P(1.5≤ε<2.5)。

　 分析:凡是計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量ε的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(a≤ε≤b)都需要通過(guò)求面積來(lái)轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上為線性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即

。

　　 解:　 ∵

　　 ∴；

7. 某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說(shuō)明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.

剖析：要說(shuō)明每個(gè)個(gè)體被取到的概率相同，只需計(jì)算出用三種抽樣方法抽取個(gè)體時(shí)，每個(gè)個(gè)體被取到的概率.

解：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法：可采取抽簽法，將160個(gè)零件按1-160編號(hào)，相應(yīng)地制作1-160號(hào)的160個(gè)簽，從中隨機(jī)抽20個(gè).顯然每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為=.

(2)系統(tǒng)抽樣法：將160個(gè)零件從1至160編上號(hào)，按編號(hào)順序分成20組，每組8個(gè).然后在第1組用抽簽法隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼，如它是第k號(hào)(1≤k≤8)，則在其余組中分別抽取第k+8n(n=1，2，3，…，19)號(hào)，此時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為.

(3)分層抽樣法：按比例=，分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品、等外品中抽取48×=6個(gè)，64×=8個(gè)，32×=4個(gè)，16×=2個(gè)，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率分別為，，，，即都是.

綜上可知，無(wú)論采取哪種抽樣，總體的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是.

評(píng)述：三種抽樣方法的共同點(diǎn)就是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性.

5. 分層抽樣，抽樣比例為=，分別有6輛、30輛、10輛;　 6.25人.

[解答題]

4.對(duì)正態(tài)分布，μ=Eξ=3，σ²=Dξ=1，故P(－1＜ξ≤1)=Φ(1－3)－Φ(－1－3)=Φ(－2)－Φ(－4)=Φ(4)－Φ(2).答案：B

5.(2003全國(guó))某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取______輛、______輛、______輛.

4..如果隨機(jī)變量ξ-N(μ，σ²)，且Eξ=3，Dξ=1，

則P(－1＜ξ≤1)等于　　 (　 )

A.2Φ(1)－1　　　 　　　　 B.Φ(4)－Φ(2)

C.Φ(2)－Φ(4)　　 　　 D.Φ(－4)－Φ(－2)

[填空題]