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[例1]如圖,在平行六面體中,是的中點(diǎn).

求證:(1)∥面.

(2)設(shè)E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC₁、C₁D₁、D₁A₁、A₁A的中點(diǎn)，則這六點(diǎn)共面.

分析:只需證明與面中的一組基向量共面.

證明(1):設(shè)

因?yàn)?sub>為平行四邊形,

,又O是的中點(diǎn),

　 若存在實(shí)數(shù)使成立,則

因?yàn)橄蛄?sub>不共線,

,.

所以是共面向量,

因?yàn)?sub>不在所確定的平面內(nèi),

∥面,又面,

∥面.

(2)

不共線，可作為基底，再依次證明、…能用這組基底表示即可，試試如何？

[例2] 在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.

(1)求證：SC⊥BC；

(2)求SC與AB所成角的余弦值.

(3)若E、F、G分別是AB、AC、SB的中點(diǎn)，

求證：平面EFG⊥平面ACG..

思路1：要用向量來(lái)研究線面的位置關(guān)系，需要有一組基底把有關(guān)的向量表示出來(lái)，再用向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)研究。

解法1：(1)設(shè)，由已知得：

，

.

(2)

所以SC與AB所成的角為arccos.

(3)

思路2：圖中垂直關(guān)系較為明顯，容易建立坐標(biāo)系的，可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究.

解法2：如下圖，取A為原點(diǎn)，AD、AC、AS分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(一般建成右手系)，則由AC=2，BC=，SB=，得C(0，2，0)，B(，2，0)、S(0，0，2)。

　=(0，2，－2)，=(，0，0).

(1)∵=0，∴SC⊥BC.

(2)設(shè)SC與AB所成的角為θ，

∵=(，2，0)，·=4，||| |=4，∴cosθ=，即為所求.

(3)

,

思悟提練

1.利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點(diǎn)共面、求長(zhǎng)度、求夾角等問題.

5.提示:設(shè)AD中點(diǎn)為G，得=3a+3b－5c.

5.=3a+3b－5c.　　　　　 6.120°

6.已知空間三點(diǎn)A(1，1，1)、B(－1，0，4)、C(2，－2，3)，則與的夾角θ的大小是_________.

◆答案提示：1-3.CCB;　　 4. k=.　

5.已知四邊形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則=_____________.

4.已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且

ka+b與2a－b互相垂直，則k值是　　　　

3.若a=(2x，1，3)，b=(1，－2y，9)，如果a與b為共線向量，則　　　 (　 )

A.x=1，y=1　　　　 B. x=，y=－　　　

C. x=，y=－ D.x=－，y=

2.在平行六面體ABCD-A′B′C′D’中，向量、、是 　　　(　 )

A.有相同起點(diǎn)的向量　　　 B.等長(zhǎng)的向量

C.共面向量　　　　　 D.不共面向量

1.設(shè)向量a、b、c不共面，則下列集合可作為空間的一個(gè)基底的是　　　　 (　 )

A.{a+b，b－a，a}　　 B.{a+b，b－a，b}

C.{a+b，b－a，c}　　 D.{a+b+c，a+b，c}

9.若表示向量a₁，a₂，…，a_n的有向線段終點(diǎn)和始點(diǎn)連結(jié)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)封閉折圖形，則a₁+a₂+a₃+…+a_n=0.