4．我們處理問題時必須清楚是哪一個力的功率，如一個機械的功率為P，這里指的是牽引力的功率，不可認為是機械所受合外力的功率．
3．P＝Fv應用時，F(xiàn)、v必須同向，否則應分解F或v，使二者同向．這里的P=Fv實際上是Fvcosθ、θ為F、v夾角．
2．P＝Fv當v為平均值時為平均功率，當v為即時值時為即時功率．
1．P＝W／t 所求的是這段時間內(nèi)平均功率．
4、做功求解的典型情況
①注意力、沖量、功的區(qū)別
除了它們的物理定義、單位以及是標量還是矢量以外，從動力學觀點來看：(1)力和物體的運動狀態(tài)的變化存在著瞬時因果關系，即力是產(chǎn)生加速度的原因，有力才有加速度，力變加速度變，它們之間的因果規(guī)律用牛頓第二定律來表達．(2)力的沖量反映的是力持續(xù)在一段時間的作用效果的累積量．其結果是要引起物體動量的改變，它們之間的因果規(guī)律用動量定理來表達．(3)功是力持續(xù)作用在一段空間位移上的作用效果的累積量，是標量．其結果是要引起物體動能的改變，它們之間的因果規(guī)律用動能定理來表達．
[例4]如圖所示，質(zhì)量相等的兩物體沿相同高度不同傾角的兩光滑斜面由靜止滑下，到達底端的過程中，兩情況(
)
A．重力沖量相等
B．重力做功相等
C．物體受合外力沖量相等
D．物體受合外力做功相等
解析： A．重力沖量大小不相等，由于所用時間不同，因而不相等；B．重力做功相等，重力做功特點是只與始末位置而跟路徑無關；C．物體所受合外力沖量大小相等，都為m
，由于∠θ≠∠α，所以方向不同；D．物體所受合外力做功相等，都為mgh．答案：BD
②作用力和反作用力的做功
作用力與反作用力同時存在，作用力做功時，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功，也可能做負功，不要以為作用力與反作用力大小相等、方向相反，就一定有作用力、反作用力的功數(shù)值相等，一正一負．所以作用力與反作用力做功不一定相等，但沖量的大小相等．
[例5]以下說法正確的是( )
A．摩擦力可以對物體做正功 B．摩擦力可以使物體的速度發(fā)生變化，但對物體不做功
C．作用力與反作用力做功一定相等 D．一對平衡力做功之和為零
解析：A．摩擦力可以對物體做正功，只要摩擦力的方向與物體運動方向相同，摩擦力就做正功．摩擦力可以改變物體的速度，對物體有一個沖量作用，但物體在力的方向上沒有位移，因而不做功，如隨圓板一起轉動的物體．由此可以認識到：力對物體有沖量，但不一定對物體做功，相反只要力對物體做功，一定會有沖量．又可進一步認識：力使物體動量發(fā)生變化，其動能不一定變化；但力使物體動能發(fā)生變化時，其動量一定發(fā)生變化．c．作用力與反作用力做功不一定相等，如一炸彈炸成質(zhì)量為m與 2 m的兩塊，根據(jù)動量守恒mv1=2mv2， 則v1=2v2，作用力和反作用力做功為W1=½m(2v2)2與W2=½mv22，所以不相等�？烧J識到：作用力和反作用力產(chǎn)生的沖量總是大小相等，但做功可能不相等．D．一對平衡力合力為零，所以二力合力做功為零．答案：ABD
③摩擦力的做功
A、靜摩擦力做功的特點
(1)靜摩擦力可以做正功，也可以做負功，還可以不做功。
(2)在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的相互轉移(靜摩擦力起著傳遞機械能的作用)，而沒有機械能轉化為其他形式的能．
(3)相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對靜摩擦力所做功的代數(shù)和總為零。
B．滑動摩擦力做功的特點
如圖所示，上面不光滑的長木板，放在光滑的水平地面上，一小木塊以速度V0從木板的左端滑上木板，當木塊和木板相對靜止時，木板相對地面滑動了S，小木塊相對木板滑動了d，則由動能定理知：
滑動摩擦力對木塊所做功為： W木塊=一f(d+S)……①
滑動摩擦力對木板所做功為： W木板=fs……②
所以，木塊動能增量為： ΔEK木塊=一f(d+s)……③
木板動能增量為： ΔEK木板=fs………④
由③④得：ΔEK木塊+ΔEK木板=一fd………⑤
⑤式表明木塊和木板組成的系統(tǒng)的機械能的減少量等于滑動摩擦力與木塊相對木板的位移的乘積。這部分減少的能量轉化為內(nèi)能。
故滑動摩擦力做功有以下特點：
1)滑動摩擦力可以對物體做正功，也可以對物體做負功，當然也可以不做功。
2)一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉化有兩個方面：一是相互摩擦的物體之間機械能的轉移；二是機械能轉化為內(nèi)能。轉化為內(nèi)能的量值等于滑動摩擦力與相對位移的乘積。
3)滑動摩擦力、空氣摩擦阻力等，在曲線運動或往返運動時等于力和路程(不是位移)的乘積
[例6]如圖所示，半徑為R的孔徑均勻的圓形彎管水平放置，小球在管內(nèi)以足夠大的初速度v0在水平面內(nèi)做圓周運動，小球與管壁間的動摩擦因數(shù)為μ，設從開始運動的一周內(nèi)小球從A到B和從B到A的過程中摩擦力對小球做功分別為W1和W2，在這一周內(nèi)摩擦力做的總功為W3，則下列關系式正確的是( )
A．W1＞W(wǎng)2 B．W1＝W2 C． W3＝ 0 D． W3＝W1+W2
解析：求某一力對物體所做的功值有多種思路，對于恒力(大小、方向均不變的力)做功的情況，通常由w＝Fscosα求解．對于變力(特別是方向發(fā)生變化的力)做功的情況，一般由功能轉換關系求解．對于后一種思路，一定要正確判斷哪些力做功，在外力做功的過程中，物體(或系統(tǒng))的能量如何發(fā)生變化，變化了多少．
小球在水平彎管內(nèi)運動，滑動摩擦力始終與速度方向相反，做負功，而小球在水平面內(nèi)的圓周運動的向心力是由外管壁對小球的彈力N提供的，由于轉動半徑R始終不變，摩擦力對小球做負功，小球運動的速率逐漸減小，向心力減小即N減小，而f＝μN，滑動摩擦力f也減小，即由下列關系：
N=Fn=mv2/R m，R不變，v減小，則N減小，
f＝μN N減小，則f減小
W=－fπR f減小，則W減小
所以W1＞W(wǎng)2
W1．W2都為負功，因此W3＝W1+W2．答案：AD
[例7]如圖所示，PQ是固定在水平桌面上的固定擋板，質(zhì)量為m的小木塊N從靠近P以一定的初速度向Q運動，已知物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ，P與Q相距為s，物塊與Q板碰撞n次后，最后靜止于 PQ的中點，則整個過程摩擦力所做的功為多少？(n為自然數(shù))
解析：物塊與Q板碰撞n次后，最后停在PQ中點，會有兩種可能，一種可能是與Q板碰后向P板運動至中點而停止，設與Q板碰撞n次，則物體運動的路程為(2n一
)s，摩擦力所做的功為Wf1=μmg(2n一)s
第二種可能是物塊與Q板碰后再與P板碰撞向Q板運動至中點而停止，在這種情況下，物體運動的路程為(2n+)s ，摩擦力所做的功為
Wf2= μmg(2n+)s，兩種情況下，摩擦力對物體均做負功。
擴展與研究：兩類不同的力，一類是與勢能相關的力，如重力、彈簧的彈力、電場力等，它們的功與路程無關系，只與位移有關。另一類是滑動摩擦力，空氣阻力等，這類力做功與物體的運動路徑有關。在上例中，滑動摩擦力是一個變力，方向在變化，可轉化為恒力做功，同時滑動摩擦力做功要看物體運動的路程，這是摩擦力做功的特點，必須牢記。
點評：求功的思路共有四條:(1)由功的定義．恒力做功；(2)由能量關系求解；(3)由功率的定義；(4)由動能定理求解．
試題展示
功率
3、變力做功問題
①W＝F·scosα是用來計算恒力的功，若是變力，求變力的功只有通過將變力轉化為恒力，再用W＝Fscosα計算．
②有兩類不同的力：一類是與勢能相關聯(lián)的力，比如重力、彈簧的彈力以及電場力等，它們的功與路徑無關，只與位移有關或者說只與始末點的位置有關；另一類是滑動摩擦力、空氣阻力等，在曲線運動或往返運動時，這類力(大小不變)的功等于力和路程(不是位移)的積．
③根據(jù)功和能關系求變力的功．如根據(jù)勢能的變化求對應的力做的功，根據(jù)動能定理求變力做的功，等等．
④根據(jù)功率恒定，求變力的功，W=Pt.
⑤求出變力F對位移的平均力來計算，當變力F是位移s的線性函數(shù)時，平均力
．
⑥作出變力F隨位移，變化的圖象，圖象與位移軸所圍均“面積”即為變力做的功．
[例]面積很大的水池，水深為H，水面上浮著一正方體木塊，木塊邊長為a。，密度為水密度的½，質(zhì)量為m,開始時，木塊靜止，如圖所示，現(xiàn)用力F將木塊緩慢地壓到水池底，不計摩擦，求：
(1)從木塊剛好完全沒人水中到停止在池底的過程中，池水勢能的改變量．
(2)從開始到木塊剛好完全沒入水中的過程中，力F所做的功．
解析:(1)木塊剛好沒入水中到到達池底的過程中,相當于有相同體積的水從池底到達水面,因木塊的密度為水的冗長度的½,故相同體積的水的質(zhì)量為2m,,故池水勢能的改變量為ΔEP=2mg(H－a);
(2)因水池面積很大,可忽略因木塊壓入而引起的水深的變化,木塊剛好完全沒入水中時,圖中原來劃線區(qū)域的水被排開,相當于這部分水平鋪于水面,這部分水的質(zhì)量為m,其勢能的改變量為:
木塊勢能的改變量為:
根據(jù)動能定理,力F做的功為:W=ΔE水+ΔE木=¼mga.
(2)又解：從開始到木塊完全沒入水中的過程，力F所做的功為變力功．也可畫出Fs圖象，做功在數(shù)值上等于Fs圖線與位移S軸所圍圖形的面積的數(shù)值，在壓下木塊過程中，力F與位移s成正比，從開始到完全沒入水中，力F的位移為½a，作出F-s圖象如圖,,據(jù)圖象可求得做功W=½×½amg=¼mga..
2、多個力的總功求解
①用平行四邊形定則求出合外力，再根據(jù)w＝F合scosα計算功．注意α應是合外力與位移s間的夾角．
②分別求各個外力的功：W1＝F1 scosα1， W2=F2scosα2……再求各個外力功的代數(shù)和．
[例]物體靜止在光滑水平面上，先對物體施一水平右的恒力Fl，經(jīng)ts后撤去F1，立即再對它施一水平向左的恒力F2，又經(jīng)ts后物體回到原出發(fā)點，在這一點過程中，F(xiàn)l、F2分別對物體做的功W1、W2間的關系是()
A. W1 = W2 ；B. W2＝2 W1； C. W2＝3W1；D. W2=5 W1 ；
[解析]認為F1和F2使物體在兩段物理過程中經(jīng)過的位移、時間都相等，故認為W1 = W2而誤選A;
而認為后一段過程中多運動了一段距離而誤選B。這都反映了學生缺乏一種物理思想：那就是如何架起兩段物理過程的橋梁？很顯然，這兩段物理過程的聯(lián)系點是“第一段過程的末速度正是第二段過程的初速度”。由于本題雖可求出返回時的速度，但如果不注意加速度定義式中ΔV的矢量性，必然會出現(xiàn)錯誤，錯誤得到其結果v2＝0，而誤選A,其原因就是物體的運動有折返。
解法1：如圖,A到B作用力為F1，BCD作用力為F2,由牛頓第二定律F=ma，及勻減速直線運動的位移公式S=vot－½at2,勻加速直線運動的速度公式v0=at，設向右為正，AB=S，可得：
一S＝v0t－½a2t2=(a1t)t－½a2t2，S=0+½a1t2；∴－½a1t2=a1t2－½a2t2；即
∴F2=3 F1
A 到 B過程F1做正功，BCB/過程F2的功抵消，B/到D過程F2做正功，即W1＝F1 S, W2=F2S，∴W2＝3W1,
解法2：設F2的方向為正方向，F(xiàn)1作用過程位移為S，F(xiàn)1對物體做正功，由動能定理：F1S=½mv12。
在F2作用的過程中，F(xiàn)2的位移為一S，與F2同向，物體回到出發(fā)點時速度為v2，由動能定理得：F2S=½mv22－½mv12。
由牛頓第二定律得
．∴v2＝2v1，∴W2＝3W1
拓展：若該物體回到出發(fā)點時的動能為32J，則Fl、F2分別對物體做的功W1、W2是多少？
由動能定理得：ΔEK= W1+W2=32J，W1/W2= F1/F2，∴W1=8J；W2=24J。
①F：當F是恒力時，我們可用公式W＝Fscosθ運算；當F大小不變而方向變化時，分段求力做的功；當F的方向不變而大小變化時，不能用W＝Fscosθ公式運算(因數(shù)學知識的原因)，我們只能用動能定理求力做的功．
②S：是力的作用點通過的位移，用物體通過的位移來表述時，在許多問題上學生往往會產(chǎn)生一些錯覺，在后面的練習中會認識到這一點，另外位移S應當弄清是相對哪一個參照物的位移
③功是過程量：即做功必定對應一個過程(位移)，應明確是哪個力在哪一過程中的功．
④什么力做功：在研究問題時，必須弄明白是什么力做的功．如圖所示，在力F作用下物體勻速通過位移S則力做功FScosθ，重力做功為零，支持力做功為零，摩擦力做功－Fscosθ，合外力做功為零．
[例1]如圖所示，在恒力F的作用下，物體通過的位移為S，則力F做的功為
解析：力F做功W＝2Fs．此情況物體雖然通過位移為S．但力的作用點通過的位移為2S，所以力做功為2FS． 答案：2Fs
[例2]如圖所示，質(zhì)量為m的物體，靜止在傾角為α的粗糙的斜面體上，當兩者一起向右勻速直線運動，位移為S時，斜面對物體m的彈力做的功是多少？物體m所受重力做的功是多少？摩擦力做功多少？斜面對物體m做功多少？
解析：物體m受力如圖所示，m有沿斜面下滑的趨勢，f為靜摩擦力，位移S的方向同速度v的方向．彈力N對m做的功W1＝N·scos(900+α)＝－ mgscosαsinα，
重力G對m做的功W2＝G·s cos900=0．摩擦力f對m做的功W3=fscosα=mgscosαsinα．斜面對m的作用力即N和f的合力，方向豎直向上，大小等于mg(m處于平衡狀態(tài))，則：
w＝F合scos900＝mgscos900＝o
答案：－ mgscosαsinα，0， mgscosαsinα，0
點評：求功，必須清楚地知道是哪個力的功，應正確地畫出力、位移，再求力的功．
[例3]如圖所示，把A、B兩球由圖示位置同時由靜止釋放(繩開始時拉直)，則在兩球向左下擺動時．下列說法正確的是
A、 繩子OA對A球做正功
B、 繩子AB對B球不做功
C、 繩子AB對A球做負功
D、 繩子AB對B球做正功
解析：由于O點不動，A球繞O點做圓周運動，OA對球A不做功。對于AB段，我們可以想象，當擺角較小時．可以看成兩個擺長不等的單擺，由單擺的周期公式就可以看出，A擺將先回到平衡位置．B擺將落后于A擺，AB繩對A球做負功，對B球做正功。答案：CD
擴展與研究：一個力對物體做不做功，是正功還是負功，判斷的方法是：①看力與位移之間夾角，或者看力與速度方向之間的夾角：為銳角時，力對物體做正功，在上例中AB的拉力與B球的速度方向就是銳角；為鈍角時，力對物體做負功，上例中AB的拉力與A球的速度方向就是鈍角。為直角時，力對物體不做功，上例中OA與A球的拉力與A球速度方向就是直角。②看物體間是否有能量轉化。若有能量轉化，則必定有力做功。此法常用于相連的物體做曲線運動的情況。
規(guī)律方法 1、功的計算方法
1.由公式W=Fs cosα求解
兩種處理辦法：
①W等于力F乘以物體在力F方向上的分位移scosα,即將物體的位移分解為沿F方向上和垂直F方向上的兩個分位移s1和s2，則F做的功W＝F s1＝Fscosα.
②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosα乘以物體的位移s，即將力F分解為沿s方向和垂直s方向的兩個分力F1和F2，則F做功W=F1s＝Fcosαs.
注意：這種方法只能用來計算恒力做功(軌跡可以是直線也可以是曲線)
[例]如圖所示，帶有光滑斜面的物體B放在水平地面上，斜面底端有一重G=2 N的金屬塊A，斜面高
，傾角α＝600，用一水平推力F推A，在將A從底端推到頂端的過程中,A和B都做勻速運動，且B運動距離L=30 cm，求此過程中力F所做的功和金屬塊克服斜面支持力所做的功．
解析：此題應先求出兩個力的大小，再由公式W＝Fscosa求解，如圖所示．
由物體平衡條件： F＝Gtanα＝2tan600＝
N，
斜面的水平寬度l=hcotα
由勾股定理得金屬塊A的位移
，
F與s的夾角設為α2，則
，α2=300
力F做功：W1=Fscosα2=
或. W1=Fscosα2=F(l+L)
FN與s的夾角α1=900+(α一α2)＝900+(600一300)＝1200
故克服支持力N所做的功
WN=一FNscos1200
2、人造天體的發(fā)射與變軌
[例3]一組太空人乘坐大空穿梭機，去修理位于離地球表面 6．0×105m的圓形軌道上的哈勃太空望遠鏡H．機組人員使穿梭機S進入與H相同的軌道并關閉推動火箭，而望遠鏡則在穿梭機前方數(shù)公里處，如圖所示，設G為引力常數(shù)，而ME為地球質(zhì)量．(已知：地球半徑為 6．4×106m)
(1)在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重是多少？
(2)①計算軌道上的重力加速度的值．
②計算穿梭機在軌道上的速率和周期．
(3)①證明穿梭機的總機械能跟
成正比，r為它的軌道半徑．
［注：若力 F與位移r之間有如下的關系：F=K／r2(其中K為常數(shù))，則當r由∞處變?yōu)?，F(xiàn)做功的大小可用以下規(guī)律進行計算： W＝ K／r(設∞處的勢能為0)］．
②穿梭機須首先螺旋進入半徑較小的軌道，才有較大的角速度以超前望遠鏡．用上題的結果判所穿梭機要進入較低軌道時應增加還是減少其原有速率，解釋你的答案．
[解析]：(1)在穿梭機內(nèi)，一質(zhì)量為70kg的太空人的視重為0．
(2)①因為mg/＝G［MEm/(R+h)2］，所以 g/=GME／(R+h)2，其中R＝6．4×106m， h＝6．0×105m．g/=8．2m／s2
②地球對穿梭機的萬有引力提供向心力．
有：GMEm/(R+h)2＝mv2/(R+h)=m(2π/T)2(R十h)，
所以v=
=7．6×103m／s
T＝
＝5．8×103s．
(3)①因為萬有引力 F ＝GMEm/r2滿足F＝k(1／r2)(其中 k＝GMEm為常數(shù))，由“注”可知，當穿梭機與地球之間的距離由∞處變到r時，萬有引力對其所做的功w＝k/r=GMEm/r，又因為：萬有引力對穿梭機做多少功，其重力勢能就減小多少，若設∞處的勢能為零，則穿梭機在半徑為r的軌道上時。其重力勢能為E=一GMEm/r，則穿梭機此時的總機械能E總=EP十Ek=一GMEm/r十½mv2．代入(2)中的v值，得：
E總=一GMEm/r十½m(GME/r)＝一(GMEm/2)(1／r)
故穿梭機的總機械能跟一1／r成正比，得證．
因為E總跟一1／r成正比，故進入低軌道時總機械能要減小，故必須減速，使總機械能減小，當速度減小后，在引力場的作用下進行低軌道運行，因引力做正功，動能增加，低軌道環(huán)繞速度vr/大于原軌道環(huán)繞速度vr，又因為v＝ωr，vr/＞vr，r/＜r，則ωr/＞ωr，從而獲得較大的角速度，則可能趕上哈勃太空望遠鏡．
[例4] 如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q)，到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號將它們排列起來______。
解析：根據(jù)題意有v2>v1、v4>v3,而v1、v4是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的線速度，由式②知v1>v4,故結論為v2>v1>v4>v3。衛(wèi)星沿橢圓軌道由P→Q運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3。]
衛(wèi)星的回收實際上是衛(wèi)星發(fā)射過程的逆過程。
[例5]在空中飛行了十多年的“和平號”航天站已失去動力，由于受大氣阻力作用其繞地球轉動半徑將逐漸減小，最后在大氣層中墜毀，在此過程中下列說法正確的是( )
A．航天站的速度將加大 B．航天站繞地球旋轉的周期加大
C．航天站的向心加速度加大 D．航天站的角速度將增大
[解析]由GMm/r2=mv2/r=mrω2=mr(2π/T)2=ma
得v=
， ω＝
． T＝2π
可知r減小，v增大，ω增大，T減小，a增大．A、C、 D正確．
[例6]“神舟三號”順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要進行多次“軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩(wěn)定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是
A.動能、重力勢能和機械能都逐漸減小
B.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變
C.重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變
D.重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小
[由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做負功所以衛(wèi)星的機械能減小；由于重力做正功所以重力勢能減小；由式②可知衛(wèi)星動能將增大(這也說明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正)。答案選D。]
[例7]飛船發(fā)射過程是一個加速過程，在加速過程中，宇航員處于__超重狀態(tài)____狀態(tài)。人們把這種狀態(tài)下的重力與靜止在地球表面時的重力的比值稱為耐受力值，用K表示，則K=__ K=1+a/g _____(設宇航員的質(zhì)量為m，加速上升加速度為a)，選擇宇般員時，要求他在此狀態(tài)的耐受值為4≤K≤12，說明飛船發(fā)射時的加速度值的變化范圍__3g≤a≤11g _______.
[例8]飛船在發(fā)射升空時，如果宇航員是站立的，則他的心血管系統(tǒng)受到何種影響？你認為宇航員采取什么資勢為好？
答：由于在發(fā)射升空過程中，人處于超衙狀態(tài)下，頭部血壓降低，足部血壓升高，使大量血液淤積在下肢靜脈中，嚴重影響靜脈血的回流，使心臟輸出血量不足，造成頭部供血不足，輕則引起視覺障礙，重則可能導致意識喪失，所以宇航員采用平躺姿勢為好。
[例9]航天飛船進入距地表3R地的軌道繞地球做圓周運動時，質(zhì)量為64kg的宇航員處于_完全失重___狀態(tài)，他的視重為__0___N。實際所受力__40___N。
[例10]若飛船要與軌道空間站對接，飛船為了追上軌道空間站( A )
A可以從較低的軌道上加速 B可以從較高的軌道上加速
C可以從與空間站同一軌道上加速 D無論在什么軌道上，只要加速都行
[例11] 我國的國土遼闊，在東西方向上分布在東經(jīng)70°到東經(jīng)135°的廣大范圍內(nèi)，所以我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星一般定點在赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)100°附近。假設某顆通信衛(wèi)星計劃定點在赤道上空東經(jīng)104°的位置。經(jīng)測量剛進入軌道時它位于赤道上空3.6萬公里，東經(jīng)103°處。為了把它調(diào)整到104°處，可以短時間啟動星上的小型發(fā)動機，通過適當調(diào)整衛(wèi)星的軌道高度，改變其周期，從而使其自動“漂移”到預定經(jīng)度。然后再短時間啟動星上的小型發(fā)動機調(diào)整衛(wèi)星的高度，實現(xiàn)最終定點。這兩次調(diào)整高度的方向應該依次是
A.向下、向上 B.向上、向下 C.向上、向上 D.向下、向下
[東經(jīng)103°在東經(jīng)104°西邊，為使衛(wèi)星向東漂移，應使它的周期變小，為此應降低其高度，所以先向下；到達東經(jīng)104°后，再向上。]
[例12]設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．求該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？
已知：返回過程中需克服火星引力做功W＝mgR(1一R/r)，返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r；不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．
解析：物體m在火星M表面附近時，有
＝mg解得GM＝gR2
設軌道艙的質(zhì)量為m0，速度大小為v，則
返回艙與軌道艙對接時，應具有的動能為Ek=½mv2
聯(lián)立解得
依題意知返回艙返回過程需克服引力做功W＝mgR(1－R/r)
返回艙返回時至少需要能量為W總=Ek + W=
說明：這是一道關于天體運動的信息題．題中有多個對象，解題時要分清研究對象，選好規(guī)律．
[例13]2003年10月15日上午9時，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“神舟五號”載人航天飛船，這是我國首次實現(xiàn)載人航天飛行，也是全世界第三個具有發(fā)射載人航天器能力的國家．“神舟五號”飛船長8. 86 m ;質(zhì)量為7990 kg.飛船在達到預定的橢圓軌道后運行的軌道傾角為42. 4 0，近地點高度200 km，遠地點高度約350 km.實行變軌后，進入離地約350 km的圓軌道上運行，飛船運動14圈后，于16日凌晨在內(nèi)蒙古成功著陸．(地球半徑Ro=-6.4×106 m，地球表面重力加速度g=10 m/s2，
·
·
＝5.48，計算結果保留三位有效數(shù)字)求：
(1)飛船變軌后在軌道上正常運行時的速度．
(2)飛船在圓軌道上運行的周期．
解析：設飛船的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M.飛船在圓軌道上運行時：
對于地面上質(zhì)量為m0的物體有：
由上兩式得飛船的運行速度為：
飛船在圓軌道上運行時的周期為：
說明：天體運動的問題，要緊扣兩條主線：萬有引力提供向心力，重力等于萬有引力．
[補例]地球赤道上的N城市想實施一個“人造月亮”計劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽光射到地球上，使這座城市在午夜時分有“日出”時的效果，若此時的N城市正值盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，自轉周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽在非常遙遠的地方．求
(1)地球同步衛(wèi)星離地心的距離
(2)懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差α。
(3)此時平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角θ
解析：(1)設地球及同步衛(wèi)星的質(zhì)量分別為M,m，則
又：g＝GM/R2，可得：
(2)過赤道平面的截面圖如圖所示，水平入射光線MA經(jīng)反射后的反射光線AN與地球相切，故∠MAN＝900
衛(wèi)星所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為OA,N城市所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為ON,
所以：α＝arccos ( R/r)
θ＝450+arcsin(R/r)
說明：本題的關鍵是理解“午夜萬分有‘日出’時的效果”的含義，并要有一定的空間想象力，且能畫出截面圖，能力要求較高．
試題展示
I．人造衛(wèi)星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論
當火箭與衛(wèi)星分離時，設衛(wèi)星的速度為v(此即為發(fā)射速度)，衛(wèi)星距離地心為r,并設此時速度與萬有引力垂直(通過地面控制可以實現(xiàn))如圖所示，則
，若衛(wèi)星以v繞地球做圓周運動，則所需要的向心力為：F向＝
�、佼擣萬=F向時，衛(wèi)星將做圓周運動．若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發(fā)射速度v＝7.9 km/s.
�、诋擣萬＜F向時，衛(wèi)星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛(wèi)星動能轉化為引力勢能．(神州五號即屬于此種情況)
�、郛擣萬＞F向時，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發(fā)生在最近軌道，則v＜7.9 km/s，衛(wèi)星將墜人大氣層燒毀。
因此：星箭分離時的速度是決定衛(wèi)星運行軌道的主要條件．
2.人造衛(wèi)星如何變軌
衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術的一個重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術．
以衛(wèi)星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有引力FA＞，要使衛(wèi)星改做圓周運動，必須滿足FA＝和FA⊥v，在遠點已滿足了FA⊥v的條件，所以只需增大速度，讓速度增大到＝FA，這個任務由衛(wèi)星自帶的推進器完成．
這說明人造衛(wèi)星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛(wèi)星就不再沿橢圓軌道運動而轉到大圓軌道．“神州五號”就是通過這種技術變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術定點于同步軌道上的．
規(guī)律方法1、處理人造天體問題的基本思路
由于運行中的人造天體，萬有引力全部提供人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力，因此所有的人造地球衛(wèi)星的軌道圓心都在地心．解關于人造衛(wèi)星問題的基本思路：①視為勻速圓周運動處理；②萬有引力充當向心力；③根據(jù)已知條件選擇向心加速度的表達式便于計算；④利用代換式gR2=GM推導化簡運算過程。
注意：①人造衛(wèi)星的軌道半徑與它的高度不同．②離地面不同高度，重力加速度不同，
[例l]設人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，衛(wèi)星離地面越高，則衛(wèi)星的( )
A．速度越大 B．角速度越大 C．向心加速度越大；D．周期越長
解析：(1)v與 r的關系： G
= m
；
即
(r越大v越小)．所以答案A錯誤．(2)ω與r的關系：G=mω2r ，
，即
(r越大，ω越小)．所以答案B錯誤．(3)a與r的關系：G=ma，a=GM/r2，即a∝1/r2。衛(wèi)星繞軌道半徑 r運轉時的向心加速度與該處的重力加速度g/相等，所以 g/＝a， g/∝1/r2，(r越大．加速度越小)．所以答案C錯誤．(4)T與r的關系：G=m
r ，T=2π
即T∝
( r越大，T越大)．所以答案D正確．
因 GM＝g0R02，所以 T＝2π
，當 r=Ro時，T＝Tmin＝2π
答案：D
說明：可以看出，繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的軌道半徑r、線速度大小v和周期T是一一對應的，其中一個量確定后，另外兩個量也就唯一確定了。離地面越高的人造衛(wèi)星，線速度越小而周期越大。
[例2]設地球的半徑為R0，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g0，則以下說法錯誤的是( )
A.衛(wèi)星的線速度為
； B.衛(wèi)星的角速度為
；
C.衛(wèi)星的加速度為
；
D.衛(wèi)星的周期
；
解析：在地面：
;在高空：
；
g=¼g0；此重力加速度即為衛(wèi)星的向心加速度故C選項錯誤．
衛(wèi)星的線速度
故A選項正確．
周期
故D選項正確
角速度
故B選項正確
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