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4．已知振幅A和周期T，求振動質(zhì)點在Δt時間內(nèi)的路程和位移．

　　 求振動質(zhì)點在Δt時間內(nèi)的路程和位移，由于牽涉質(zhì)點的初始狀態(tài)，需用正弦函數(shù)較復(fù)雜．但Δt若為半周期T/2的整數(shù)倍則很容易．

　　 在半周期內(nèi)質(zhì)點的路程為 2A．若Δt= n·T/2， n＝ 1、2、3……，則路程s=2A·n，其中n=．

當(dāng)質(zhì)點的初始位移(相對平衡位置)為x₁＝x₀時，經(jīng)T/2的奇數(shù)倍時x₂=－x₀，經(jīng)T/2的偶數(shù)倍時x₂＝x₀．

[例11]如圖所示,在xOy平面內(nèi)有一沿x軸正方向傳播的簡諧振動橫波,波速為1m/s,振幅為4cm,頻率為2.5Hz,在t=0時刻,P點位于其平衡位置上方最大位移處,則距P點為0.2m的Q點

A、在0.1s時的位移是4cm;

B、在0.1s時的速度最大;

C、在0.1s時的速度向下;

D、在0到0.1s的時間內(nèi)路程是4cm;

解析:,P與Q相距λ/2,先畫出若干個波長的波形,經(jīng)過0.1s也就是T/4后,Q點將回到平衡位置,且向上運動,B項正確;在0到0.1s時間內(nèi)通過的路程為振幅,即4cm,D項正確

拓展:若求經(jīng)Δt=2.5s時Q的路程和Q的位移,如何求?

試題展示

　　　　　　 專題：振動圖像與波的圖像及多解問題

知識簡析

3．已知波速V和波形，畫出再經(jīng)Δt時間波形圖的方法．

(1)平移法：先算出經(jīng)Δt時間波傳播的距離上Δx＝V·Δt，再把波形沿波的傳播方向平移動Δx即可．因為波動圖象的重復(fù)性，若知波長λ，則波形平移nλ時波形不變，當(dāng)Δx=nλ十x時，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可

(2)特殊點法：(若知周期T則更簡單)

在波形上找兩特殊點，如過平衡位置的點和與它相鄰的峰(谷)點，先確定這兩點的振動方向，再看Δt＝nT+t，由于經(jīng)nT波形不變，所以也采取去整nT留零t的方法，分別做出兩特殊點經(jīng) t后的位置，然后按正弦規(guī)律畫出新波形．

[例7]圖是某時刻一列橫波在空間傳播的波形圖線。已知波是沿x軸正方向傳播，波速為4m/s，試計算并畫出經(jīng)過此時之后1.25s的空間波形圖。

解析:由波形圖已知λ=0.08m,由T=λ/v=0.08/4=0.02s,經(jīng)過t=1.25s,即相當(dāng)于1.25/0.02=62.5個周期,而每經(jīng)過一個周期,波就向前傳播一個波長。經(jīng)過62.5個周期，波向前傳播了62.5個波長。據(jù)波的周期性，當(dāng)經(jīng)過振動周期的整數(shù)倍時，波只是向前傳播了整數(shù)倍個波長，而原有波形不會發(fā)生改變,所以可以先畫出經(jīng)過1/2周期后的波形，如圖。再將此圖向前擴(kuò)展62個波長即為題目要求，波形如圖。

[例8]如圖是一列向右傳播的簡諧橫波在某時刻的波形圖。已知波速v=0.5m/s，畫出該時刻7s前及7s后的瞬時波形圖。

解析：λ=2m，v=0.5m/s，=4 s.所以⑴波在7s內(nèi)傳播的距離為x=vt=3.5m=7λ/4,⑵質(zhì)點振動時間為7T/4。

方法1　 波形平移法：現(xiàn)有波形向右平移可得7s后的波形；

現(xiàn)有波形向左平移λ可得7s前的波形。

由上得到圖中7s后的瞬時波形圖(粗實線)和7s前的瞬時波形圖(虛線)。

方法2　 特殊質(zhì)點振動法：根據(jù)波動方向和振動方向的關(guān)系，確定兩個特殊點(如平衡點和峰點)在3T/4前和3T/4后的位置進(jìn)而確定波形。請讀者試著自行分析畫出波形。

[例9]一列簡諧橫波向右傳播，波速為v。沿波傳播方向上有相距為L的P、Q兩質(zhì)點，如圖15所示。某時刻P、Q兩質(zhì)點都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰，經(jīng)過時間t，Q質(zhì)點第一次運動到波谷。則t的可能值(　 )

A．1個　　 B．2個　　　　

　C．3個　　D．4個

解析：由題意：“某時刻P、Q兩質(zhì)點都處于平衡位置，且P、Q間僅有一個波峰”，符合這一條件的波形圖有4個，如圖所示。顯然，Q質(zhì)點第一次運動到波谷所需的時間t的可能值有4個。故D選項正確。

[例10]一列簡諧橫波在傳播方向上相距為3米的兩個質(zhì)點P和Q的振動圖象分別用圖中的實線和虛線表示，若P點離振源較Q點近，則該波的波長值可能為多少？若Q點離振源較P點近，則該波的波長值又可能為多少？

　 分析：由圖可知，T= 4s，P近，波由P向Q傳，P先振動，Q后振動，Dt=Kt+3T/4，所以，S_PQ=kl+3l/4，則　 k=0，1，2L

　 若Q近，波由Q向P傳，Q先振動，P后振動，Dt=Kt+T/4，所以，S_PQ=kl+l/4，則　　 　　k=0，1，2L

(1)波的圖象

①坐標(biāo)軸：取質(zhì)點平衡位置的連線作為x軸，表示質(zhì)點分布的順序；取過波源質(zhì)點的振動方向作為Y軸表示質(zhì)點位移．

②意義：在波的傳播方向上，介質(zhì)中質(zhì)點在某一時刻相對各自平衡位置的位移．

③形狀：正弦(或余弦)圖線．

因而畫波的圖象．要畫出波的圖象通常需要知道波長λ、振幅A、波的傳播方向(或波源的方位)、橫軸上某質(zhì)點在該時刻的振動狀態(tài)(包括位移和振動方向)這四個要素．

(2)簡諧波圖象的應(yīng)用

①從圖象上直接讀出波長和振幅．

②可確定任一質(zhì)點在該時刻的位移．

③可確定任一質(zhì)點在該時刻的加速度的方向．

④若已知波的傳播方向，可確定各質(zhì)點在該時刻的振動方向．若已知某質(zhì)點的振動方向，可確定波的傳播方向．

⑤若已知波的傳播方向，可畫出在Δt前后的波形．沿傳播方向平移Δs=vΔt.

規(guī)律方法　　　　　 1、機(jī)械波的理解

[例2]地震震動以波的形式傳播，地震波有縱波和橫波之分。

(1)圖中是某一地震波的傳播圖，其振幅為A，波長為λ，某一時刻某質(zhì)點的坐標(biāo)為(λ，0)經(jīng)1/4周期該質(zhì)點的坐標(biāo)是多少？該波是縱波還是橫波。

A．縱波(5λ/4．0)　　 B．橫波(λ，－A)

C．縱波(λ，A)　　　 D．橫波(5λ/4．A)

(2)若 a、b兩處與c地分別相距300 km和200 km。當(dāng) C處地下15 km處發(fā)生地震，則

A．C處居民會感到先上下顛簸，后水平搖動　　　　 B．地震波是橫波

C．地震波傳到a地時，方向均垂直地面　　　　　　 D．a(chǎn)、b兩處烈度可能不同

解析:(1)由題圖知，該地震波為橫波，即傳播方向與振動方向垂直。

某質(zhì)點的坐標(biāo)(λ，0)即為圖中a點，經(jīng)1/4周期，a點回到平衡位置下面的最大位移處，即位移大小等于振幅，坐標(biāo)為(λ，－A)，(水平方向質(zhì)點并不隨波逐流)�！� 故答案為B

(2)由于地震波有橫波、縱波之分，二者同時發(fā)生，傳播速度不同而異，傳到a、b兩處，由于距離，烈度也當(dāng)然不同�！　� 故答案為A、D。

[例3]1999年9月臺灣南投地區(qū)發(fā)生了里氏7．4級大地震，已知地震中的縱彼和橫波在地表附近的傳播速度為 9．1km／s和3．7km／s，在某地的觀測站中，記錄了南投地震的縱波和橫渡到達(dá)該地的時間差5．4S．

(1)求這個觀測站距南投的距離．

(2)觀測站首先觀察到的是上下振動還是左右晃動？

解析：(1)設(shè)觀測站距南投的距離為S，則　 －=t，s=t=34km

(2)因為縱波先到觀測點，因而先觀察到的是左右晃動。

2、質(zhì)點振動方向和波的傳播方向的判定

(1)在波形圖中，由波的傳播方向確定媒質(zhì)中某個質(zhì)點(設(shè)為質(zhì)點A)的振動方向(即振動時的速度方向)：逆著波的傳播方向，在質(zhì)點 A的附近找一個相鄰的質(zhì)點B．若質(zhì)點B的位置在質(zhì)點A的負(fù)方向處，則A質(zhì)點應(yīng)向負(fù)方向運動，反之。則向正方向運動如圖中所示，圖中的質(zhì)點A應(yīng)向y軸的正方向運動(質(zhì)點B先于質(zhì)點A振動．A要跟隨B振動)．

(2)在波形圖中．由質(zhì)點的振動方向確定波的傳播方向，若質(zhì)點C是沿Y軸負(fù)方向運動，在C質(zhì)點位置的負(fù)方向附近找一相鄰的質(zhì)點D．若質(zhì)點D在質(zhì)點C位置X軸的正方向，則波由X軸的正方向向負(fù)方向傳播：反之．則向X軸的正方向傳播．如圖所示，這列波應(yīng)向X軸的正方向傳播(質(zhì)點c要跟隨先振動的質(zhì)點D的振動)

具體方法為：①帶動法：根據(jù)波的形成，利用靠近波源的點帶動它鄰近的離波源稍遠(yuǎn)的點的道理，在被判定振動方向的點P附近(不超過λ/4)圖象上靠近波源一方找另一點P^/，若P^/在P上方，則P^/帶動P向上運動如圖，若P^/在P的下方，則P^/帶動P向下運動．

②上下坡法：沿著波的傳播方向走波形狀“山路”，從“谷”到“峰”的上坡階段上各點都是向下運動的，從“峰”到“谷”的下坡階段上各點都是向上運動的，即“上坡下，下坡上”

③微平移法：將波形沿波的傳播方向做微小移動Δx＝v·Δt＜λ/4，則可判定P點沿y方向的運動方向了．

　 反過來已知波形和波形上一點P的振動方向也可判定波的傳播方向．

[例4]如圖所示，a、b是一列橫波上的兩個質(zhì)點，它們在X軸上的距離s=30m，波沿x軸正方向傳播，當(dāng)a振動到最高點時b恰好經(jīng)過平衡位置，經(jīng)過3s，波傳播了30m，并且a經(jīng)過平衡位置，b恰好到達(dá)最高點，那么．

　　 A．這列波的速度一定是10 m／s　　 B．這列波的周期可能是0．8s

　　 C．這列波的周期可能是3s　　　　 D．這列波的波長可能是 24 m

　解析：因波向外傳播是勻速推進(jìn)的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，設(shè)這列波的振動周期為T，由題意知經(jīng)3s，a質(zhì)點由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3(n=1，2……)

　　 另由v=λ/T得波長λ=，(n＝0，1，2……)

　　 在n＝2時，對應(yīng)的波長λ＝24 m；在n＝7時，T＝0．8s．故選項A、B、D正確．答案：ABD

　點評：本題在寫出周期T的通式時即應(yīng)用了“特殊點法”，對a質(zhì)點，同波峰回到平衡位置需T／4 時間，再經(jīng)T/2又回到平衡位置……，這樣即可寫出T的通式．當(dāng)然，若考慮質(zhì)點b，也能寫出這樣的通式(同時須注意到開始時b恰好經(jīng)過平衡位置，包括向上通過平衡位置和向下通過平衡位置這兩種情況)．

[例5]一列波在媒質(zhì)中向某一方向傳播，圖所示的為此波在某一時刻的波形圖，并且此時振動還只發(fā)生在M、N之間．此列波的周期為T，Q質(zhì)點速度方向在波形圖中是向下的，下列判斷正確的是　　　　 (　　 )

A．　 波源是M，由波源起振開始計時，P質(zhì)點已經(jīng)振動的時間為T；

B．波源是N，由波源起振開始計時，P點已經(jīng)振動的時間為3 T／4

C．波源是N，由波源起振開始計時，P點已經(jīng)振動的時間為T／4。

D．波源是M，由波源起振開始計時，P點已經(jīng)振動的時間為T／4

解析:若波源是M，則由于Q點的速度方向向下，在 Q點的下向找一相鄰的質(zhì)點，這樣的質(zhì)點在Q的右側(cè)，說明了振動是由右向左傳播，N點是波源，圖示時刻的振動傳到M點，P與M點相距λ／4，則P點已經(jīng)振動了T／4．故C選項正確。

點評：本題關(guān)鍵是由質(zhì)點的運動方向確定波的傳播方向，從而確定波源的位置．

[例6]如圖所示，O為上下振動的波源，振動頻率為100Hz，它P所產(chǎn)生的橫波同時向左、向在傳播．波速為80 m／s，M、N兩質(zhì)點距波源的距離分別為OM＝17．4m，ON＝16．2m，當(dāng)波源通過平衡位置向上振動時，M、N兩質(zhì)點的位置分別為(　　　 )

A．M點在波峰，N點在波谷；　　 B．M、N兩點均在波峰

C．N點在波峰，M點在波谷；　　 D．M、N兩點均在波谷

解析:由題意可知該列波的波長為λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N兩點與波源的距離分別為OM＝17．4m＝(21+3／4)λ， ON=16．2m＝(20+l／4)A．這說明 M、N兩點為反相點，當(dāng)波源 O在平衡位置向上振動時波形圖如圖所示，圖中的P點與M點是同相點，Q點與N點是同相點，所以M在波峰，N點在波谷，A選項正確

點評：本題關(guān)鍵有兩點：當(dāng)波源O由平衡位置向上運動時，波源兩側(cè)的質(zhì)點的波形圖的形狀，也就是確定如圖的波形圖(O兩側(cè)相鄰的質(zhì)點均追隨O點向上運動且在O點的下方)；在O點的附近尋找M、N兩點的同相點P、Q。

　　 波速是介質(zhì)對波的傳播速度．介質(zhì)能傳播波是因為介質(zhì)中各質(zhì)點間有彈力的作用，彈力越大，相互對運動的反應(yīng)越靈教，則對波的傳播速度越大．通常情況下，固體對機(jī)械波的傳搖速度校大，氣體對機(jī)械波的傳播速度較�。畬�縱波和橫波，質(zhì)點間的相互作用的性質(zhì)有區(qū)別，那么同一物質(zhì)對縱波和對橫波的傳播速度不相同．所以，介質(zhì)對波的傳播速度由介質(zhì)決定，與振動頻率無關(guān)．

　 波長是質(zhì)點完成一次全振動所傳播的距離,所以波長的長度與波速v和周期T有關(guān)．即波長由波源和介質(zhì)共同決定．

　　 由以上分析知，波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)，頻率不會發(fā)生變化，速度和波長將發(fā)生改變．

　　 ②振源的振動在介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)傳播，離振源較遠(yuǎn)些的質(zhì)點的振動要滯后一些，這樣各質(zhì)點的振動雖然頻率相同，但步調(diào)不一致，離振源越遠(yuǎn)越滯后．沿波的傳播方向上，離波源一個波長的質(zhì)點的振動要滯后一個周期，相距一個波長的兩質(zhì)點振動步調(diào)是一致的．反之，相距1/2個波長的兩質(zhì)點的振動步調(diào)是相反的．所以與波源相距波長的整數(shù)倍的質(zhì)點與波源的振動同步(同相振動)；與波源相距為1/2波長的奇數(shù)倍的質(zhì)點與波源派的振動步調(diào)相反(反相振動．)

[例1]一簡諧橫波的波源的振動周期為1s，振幅為1crn，波速為1m／s，若振源質(zhì)點從平衡位置開始振動，且從振源質(zhì)點開始振動計時，當(dāng) t＝0．5s時(　　 )

A．距振源¼λ處的質(zhì)點的位移處于最大值　　 B．距振源¼λ處的質(zhì)點的速度處于最大值

C．距振源½λ處的質(zhì)點的位移處于最大值　　 D．距振源½λ處的質(zhì)點的速度處于最大值

　　 解析：根據(jù)題意，在0．5s 內(nèi)波傳播的距離 Δx＝vt＝0．5m．即Δx=½λ．也就是說，振動剛好傳播到½λ處，因此該處的質(zhì)點剛要開始振動，速度和位移都是零，所以選項C、D都是不對的，振源的振動傳播到距振源¼λ位置需要的時間為T/4=0。25s，所以在振源開始振動0．5 s后．¼λ處的質(zhì)點，振動了0．25 s，即1/4個周期，此時該質(zhì)點應(yīng)處于最大位移處，速度為零．　　 答案：A

3．波速：單位時間內(nèi)波向外傳播的距離。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介質(zhì)決定。

2．周期與頻率．波的頻率由振源決定，在任何介質(zhì)中傳播波的頻率不變。波從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)時，唯一不變的是頻率(或周期)，波速與波長都發(fā)生變化．

1．波長λ：兩個相鄰的，在振動過程中相對平衡位置的位移總是相等的質(zhì)點間的距離叫波長．在橫波中，兩個相鄰的波峰或相鄰的波谷之間的距離．在縱波中兩相鄰的的密部(或疏部)中央間的距離，振動在一個周期內(nèi)在介質(zhì)中傳播的距離等于波長

4.機(jī)械波的傳播過程

(1)機(jī)械波傳播的是振動形式和能量．質(zhì)點只在各自的平衡位置附近做振動，并不隨波遷移．后一質(zhì)點的振動總是落后于帶動它的前一質(zhì)點的振動。

(2)介質(zhì)中各質(zhì)點的振動周期和頻率都與波源的振動周期和頻率相同．

(3)由波源向遠(yuǎn)處的各質(zhì)點都依次重復(fù)波源的振動．

3、分類:①橫波：質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷

②縱波：質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向在一直線上．質(zhì)點分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液體和氣體不能傳播橫波。

2、產(chǎn)生條件:(1)有作機(jī)械振動的物體作為波源．(2)有能傳播機(jī)械振動的介質(zhì)．