7．對動能定理中的位移與速度必須相對同一參照物．
6．動能定理的表達式是在物體受恒力作用且做直線運動的情況下得出的．但它也適用于變?yōu)榧拔矬w作曲線運動的情況．即動能定理對恒力、變力做功都適用；直線運動與曲線運動也均適用．
5．力的獨立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律的分量表達式．但動能定理是標(biāo)量式．功和動能都是標(biāo)量，不能利用矢量法則分解．故動能定理無分量式．在處理一些問題時，可在某一方向應(yīng)用動能定理．
4．各力位移相同時，可求合外力做的功，各力位移不同時，分別求力做功，然后求代數(shù)和．
3、動能定理適用單個物體，對于物體系統(tǒng)尤其是具有相對運動的物體系統(tǒng)不能盲目的應(yīng)用動能定理．由于此時內(nèi)力的功也可引起物體動能向其他形式能(比如內(nèi)能)的轉(zhuǎn)化．在動能定理中．總功指各外力對物體做功的代數(shù)和．這里我們所說的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場力等．
2．“增量”是末動能減初動能．ΔEK＞0表示動能增加，ΔEK＜0表示動能減�。�
做功可以改變物體的能量．所有外力對物體做的總功等于物體動能的增量． W1+W2+W3+……＝½mvt2－½mv02
1．反映了物體動能的變化與引起變化的原因--力對物體所做功之間的因果關(guān)系．可以理解為外力對物體做功等于物體動能增加，物體克服外力做功等于物體動能的減�。哉κ羌犹枺摴κ菧p號。
4、實際問題中的功率
[例8]推動節(jié)水工程的轉(zhuǎn)動噴水“龍頭”。如圖所示，龍頭距地面h，其噴灌半徑可達10h，每分鐘噴水質(zhì)量為m，所用水從地面下H的井中抽取，設(shè)水以相同的速率噴出，水泵的效率為η，水泵的功率P至少多大？
解析:水泵對水做功，用來增大水的重力勢能和動能．
設(shè)水噴出時速度為v，則h=½gt2,10h=vt;解得
每分鐘內(nèi)水泵對水做的功W＝mg(H+h)+½mv2=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴
[例9]一傳送帶裝置示意如圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板形成，未畫出)，經(jīng)過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切�，F(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經(jīng)傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投上后，在到達B之前已經(jīng)相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(忽略經(jīng)BC段時的微小滑動)。己知在一段相當(dāng)長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目為N，這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機的平均輸出功率P。
[解析]以地面為參考(下同)，設(shè)傳送帶的運動速度為v0，在水平段運輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設(shè)這段路程為S，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有：S＝½at2……①
v0＝at………②。在這段時間內(nèi)，傳送帶運動的路程為：S0= v0t……③，由以上可得S0＝2S……④。用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為：W1=fS=½mv02……⑤；傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功：W0=Fs0=2·½mv02……⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量：Q=½mv02……⑦
可見，在小箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與發(fā)熱量相等。
T時間內(nèi)，電動機輸出的功為：W=PT……⑧
此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發(fā)熱,即W=½Nmv02十Nmgh+NQ……⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L，所以：v0T＝NL……⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩得
。
散
動能 動能定理
知識簡析一、動能
如果一個物體能對外做功，我們就說這個物體具有能量．物體由于運動而具有的能． Ek＝½mv2，其大小與參照系的選取有關(guān)．動能是描述物體運動狀態(tài)的物理量．是相對量。
3、汽車起動問題分析
(1)當(dāng)以恒定功率運動時，做加速度越來越小的變加速直線運動，a=
－
，當(dāng)F牽＝f時，加速度a＝0，此時的速度為最大速度．所以vm=p/f，以后機車做勻速直線運動。
(2)欲使汽車從靜止開始做勻加速直線運動，一開始不能用額定功率，功率必須隨著速度增加而增加，使P/v=F恒定；這種運動持續(xù)一段時間后．汽車又做加速度越來越小的加速運動，最后達到最大速度vm，所以求勻加速直線運動的時間不可用t=vm/a，必須用v=P額/F ，而t=v/a， 由此得：t= P額/Fa
[例7]質(zhì)量為lkg的機械與平面間摩擦力f=2N，其額定功率為12 W，要使它以a＝lm／s2的加速度做勻加速直線運動，問做這種運動的最長時間為多少？
錯解：vm＝P/f＝6m／s， t=vm/a=6s
解析：以上做法錯在何處，我們進行如下的分析：要使a＝lm／s2，必須F＝f+ma＝3N
要使F=3N速度最大為v=P/F=4m／s 所以做勻加速直線運動的時間為t=v/a=4s
這里可做這樣的檢驗：當(dāng)速度大于4m／s 時，不妨設(shè)為5 m／s ；F=P/v=2．4N，則加速度a=(F－f)/m=0．4 m／s2，顯然不是勻加速直線運動了，所以一旦速度大于4m／s 時，由于功率不再增加，加速度則變小，做的是加速度越來越小的加速直線運動，直到加速度為零，之后做勻速運動．答案：4 s
點評(1)此類問題關(guān)鍵是發(fā)動機的功率是否達到額定功率，若在額定功率下起動，則一定是交加速運動，因為牽引力隨速度的增大而減�。蠼鈺r不能用勻變速運動的規(guī)律來解．具體變化過程可用如下示意圖表示．
(2)特別注意勻加速起動時，牽引力恒定．當(dāng)功率隨速度增至預(yù)定功率時的速度(勻加速結(jié)束時的速度)，并不是車行的最大速度．此后，車仍要在額定功率下做加速度減小的加速運動．(這階段類同于額定功率起動)直至a=0時速度達到最大．具體變化過程可用如下示意圖
[例]一輛汽車在平直的公路上以速度v0開始加速行駛，經(jīng)過一段時間t，前進了距離s，此時恰好達到其最大速度Vm.設(shè)此過程中汽車發(fā)動機始終以額定功率P工作，汽車所受的阻力恒定為F，則在這段時間里，發(fā)動機所做的功為( )
A、 Fvmt；B、Pt；C、½mvm2+Fs－½mv02；D、
；
解析：汽車在恒定功率作用做變牽引力的加速運動，所以發(fā)動機做功為變力做功，根據(jù)P=W/t可求得W=Pt，而P=F/v=Fvm，所以W= Fvm t；根據(jù)能量守恒：W+½mv02=½mvm2+Fs
所以W=½mvm2+Fs－½mv02；答案：ABC
思考：為何用
得到
不正確？錯在哪里？
[例]質(zhì)量為m = 4000kg的卡車，額定輸出功率為P=60 kW。當(dāng)它從靜止出發(fā)沿坡路前進時，每行駛100 m，升高5m，所受阻力大小為車重的0.1倍，取g=10 m/s2 .
試求：(1)卡車能否保持牽引力為8000 N不變在坡路上行駛？
(2)卡車在坡路上行駛時能達到的最大速度為多大？這時牽引力為多大？
(3)如果卡車用4000 N牽引力以12m/s的初速度上坡，到達坡頂時，速度為4 m/s,那么卡車在這一段路程中的最大功率為多少？平均功率是多少？
分析:汽車能否保持牽引力為8000 N上坡要考慮兩點：第一，牽引力是否大于阻力？第二，汽車若一直加速，其功率是否將超過額定功率，依P=Fv解。本題考查了汽車牽引力恒定時功率的計算。不少同學(xué)在得到F > f + mgsinθ后，立即做出結(jié)論：汽車可以保持牽引力8000 N不變上坡；而沒有考慮到汽車由于加速，速度不斷增大，其功率不斷增大，如果坡路足夠長，這種運動方式是不允許的。
解：分析汽車上坡過程中受力情況如圖所示：牽引力F,重力mg＝4×104N，f＝kmg＝4×103
N，支持力N，依題意sinθ＝5/100。
(1)汽車上坡時，若F＝8000N,而f+mgsinθ＝4×103+4×104×1/20＝6×103 N,即F> f +mgsinθ,汽車將加速上坡，速度不斷增大，其輸出功率P=Fv也不斷增大，長時間后，將超出其額定輸出功率，所以，汽車不能保持牽引力為8000N不變上坡。
(2)汽車上坡時，速度越來越大，必須不斷減小牽引力以保證輸出功率不超過額定輸出功率，當(dāng)牽引力F= f + mgsinθ=6×103 N時，汽車加速度為零，速度增大到最大，設(shè)為vm，則P＝Fv＝(f+mgsinθ)·vm；
F= f + mgsinθ=6×103
N
(3)若牽引力F=4000N，汽車上坡時，速度不斷減小，所以最初的功率即為最大，P=Fv=4000×12=48×103w。整個過程中平均功率為
=32×103W
規(guī)律方法 1、功率的計算方法
[例1]如圖所示，質(zhì)量為lkg的物體與平面間摩擦系數(shù)μ=0．l(g取10m／s2)，在2 N水平拉力作用下由靜止開始運動了2s，求這段時間內(nèi)拉力、摩擦力、重力、支持力的平均功率及2s末的即時功率各為多少？
解析：a=
=1m／s2．s＝½at2＝2m． v＝at＝2m/s
外力 F做功功率．平均值為：p1＝W/t=Fs/t=2W 2s末即時功率為：P1/=Fv＝4 W
摩擦力做功功率．平均值：P2=fs/t=1W 2 s末即時功率為：P2/=fv= 2 W
重力與支持力N由P=Fvcosθ知：功率都為0．
答案：外力F平均功率和即時功率分別為2W、4W；摩擦力平均功率和即時功率分別為1W、2W；重力和支持力功率都為0．
點評：(1)明確是什么力做功功率； (2)清楚是平均功率還是即時功率．
[例2]如圖所示，質(zhì)量為m的物體沿高為h的光滑斜面滑下到達底端時重力的即時功率為多少？
錯解：由機械能守恒定律可知到達底端速度v=
，所以此時功率P＝mgv=mg：提示：這里沒有注意到mg與v的夾角，應(yīng)當(dāng)為P= mgsinθ
點評：做題時注意力跟速度的夾角．
[例3]一個小孩站在船頭，按應(yīng)當(dāng)為圖5-15兩種情況用同樣大小力拉繩，經(jīng)過相同的時間t(船未碰撞)，小孩所做的功W1、W2及在時間t內(nèi)小孩拉繩的功率 P1、P2的關(guān)系為( )
A．W1＞W(wǎng)2，P1= P2 B．W1＝W2，P1＝P2
C．W1＜W2，P1＜P2 D．W1＜W2，P1= P2
提示：兩種情況中拉力對人做的功一樣，第二種情況拉力除對人做功外，又對另一只小船也做了功，所以W2＞W(wǎng)1．由于所用時間一樣，所以P2＞P1． 答案：C
點評：應(yīng)弄清哪一個力對哪一個物體做功，其功率是什么
2、
兩種功率
[例4]長為L的細線一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為m的小球，開始時，細線被拉直，并處于水平位置，球處在0點等高的A位置，如圖所示，現(xiàn)將球由靜止釋放，它由A運動到最低點B的過程中，重力的瞬時功率變化的情況是 ( )
A.一直在增大 B.一直在減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大
解析:小球在A位置時速度為零，重力的瞬時功率為零，到達B位置時，速度達到最大
，方向水平向左，與重力夾角為900，PB＝0，由于兩個極端位置瞬時功率均為0，故可判斷C正確．
點評:物體在恒力作用下的變速運動或在變力作用下的運動，力做功的瞬時功率一般都隨時間變化，因此，在求某力在某時的瞬時功率或討論某力做功的瞬時功率隨時間的變化時，都應(yīng)根據(jù)公式P=Ftcosα來進行分析和計算．
[例5](1994年上海高考題)跳繩是一種健身運動。設(shè)某運動員的質(zhì)量是50kg，他一分鐘跳繩180次。假定在每次跳躍中，腳與地面的接觸時間占跳躍一次所需時間的2/5，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是＿。(g取10m/s2)
解析：把運動員每次跳躍轉(zhuǎn)換成質(zhì)點做豎直上拋運動模型。每次跳躍總時間
T＝60/180＝1/3s．
每次騰空的時間t=
(l一
)=0．02s。
每次騰空高度 h=½g(t/2)2=½×10×(0．02/2)2＝0．05m。
每次騰空上升時克服重力做的功 W=mgh=50×10×0．05＝25J。
把每次跳躍總時間T內(nèi)的觸地過程、下落過程舍棄，簡化成在T內(nèi)就是單一豎直上升克服重力做功的過程，故可解出 P＝W/T＝25／(1/3)=75 W。
點評：綜上所述不難發(fā)現(xiàn)，靈活地轉(zhuǎn)換物理模型是一種重要的物理思想方法。學(xué)會這種方法，就會使我們在解決物理問題時變得從容自如，巧解速解物理問題，從而提高學(xué)習(xí)的效率。
[例6]隨著生活水平的提高，伴隨著心血管病也比以前增加了．為了提高生活質(zhì)量，延長人的壽命，掌握心血管健康活動的常識就顯得十分重要，心臟在人的一生之中之所以能夠 不停地跳動而不疲倦，其原因之一在于它的活 動具有節(jié)律性，圖中是心臟每跳動一次，心房和心室的舒張、收縮情況：
(1)從圖分析，心臟在人的一生中不停地跳動，為什么不會疲倦？
(2)如果有人心率為75次／min，則每搏的輸出量為70ml，每分鐘輸出量為 ，一般情況下，長跑運動員與正常人相比，心率較慢，但 較多，所以能滿足運動時的供血．
(3)如果有人的心率為 75次／min，則心臟每跳動一次所需的時間是 ，心房、心室共同處于 期，所占的時間約為
(4)若某人的心臟每分鐘跳動75次，心臟收縮壓為135mmHg(lmmHg＝133．322Pa)收縮一次輸出血量平均為70ml，那么心臟收縮時的平均功率有多大？
解析：(1)從圖中可以看出，如果心率是75次／min，其中心房只工作(收縮)了0．1s，休息(舒張)了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可見心臟每跳動一次，心房、心室的舒張期比收縮期長，心臟有充分休息的時間，因此人的一生，心臟不停地跳動而不知疲倦．
(2)5250ml(每搏輸出量是指心臟跳動一次，心臟收縮時向動脈輸出的血量，每收縮一次輸出70ml，每分輸出量為70×75=5250ml)
經(jīng)常參加體育鍛煉的人，心肌發(fā)達，搏動有力，每搏輸出量比一般人要大．
(3)0．8s 舒張0．4s(心臟每分鐘跳動的次數(shù)叫心率)
(4)心臟收縮一次做功：W=P·ΔV
∵P=135mmHg＝1．8×104Pa ΔV＝70ml＝7×10－5m3
∴W＝1．8×104Pa×7×10－5m3＝1．26J ∴每分鐘，心臟做功W/=75×1．26=94．5J
∴心臟收縮時平均功率為
=94．5/60=1．6W
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