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4、圓周運動中實例分析

[例8]如圖所示，是雙人花樣滑冰運動中男運動員拉著女運動員做圓錐擺運動的精彩場面．若女運動員做圓錐擺運動時和豎直方向的夾角為B,女運動員的質(zhì)量為m,轉(zhuǎn)動過程中女運動員的重心做勻速圓周運動的半徑為r,求這時男運動員對女運動員的拉力大小及兩人轉(zhuǎn)動的角速度

解析:依圓錐擺原理,男運動員對女運動員的拉力F=mg/cosθ,女運動員做圓周運動的向心力F_向=mgtanθ,則由動力學(xué)方程得mgtanθ=mω²r,得

[例9]如圖所示為一實驗小車中利用光脈沖測量車速和行程的裝置的示意圖,A為光源,B為電接收器,A、B均固定在車身上，C為小車的車輪，D為與C同軸相連的齒輪．車輪轉(zhuǎn)動時,A發(fā)出的光束通過旋轉(zhuǎn)齒輪上齒的間隙后變成脈沖光信號，被B接收并轉(zhuǎn)換成電信號，由電子電路記錄和顯示．若實驗顯示單位時間內(nèi)的脈沖數(shù)為n，累計脈沖數(shù)為N, 則要測出小車的速度和行程還必須測量的物理量或數(shù)據(jù)是　　　　　　　　；車速度的表達式為v=　　　　　；行程的表達式為s=　　　　　

解析：由題可知，每經(jīng)過一個間隙，轉(zhuǎn)化成一個脈沖信號被接收到，每個間隙轉(zhuǎn)動的時間t=1/n。

設(shè)一周有P個齒輪，則有P個間隙，周期T=Pt=P/n。據(jù)v=2πR/T=2πnR/P，

所以必須測量車輪的半徑R和齒數(shù)P，當肪沖總數(shù)為N，則經(jīng)過的時間t₀=Nt=N/n.

所以位移

[例10]若近似認為月球繞地公轉(zhuǎn)與地球繞日公轉(zhuǎn)的軌道在同一平面內(nèi)，且均為正圓，又知這兩種轉(zhuǎn)動同向，如圖所示，月相變化的周期為29．5 天(圖示是相繼兩次滿月時，月、地、日相對位置的示意圖)。求：月球繞地球轉(zhuǎn)一周所用的時間T(因月球總是一面朝向地球，故T恰是月球自轉(zhuǎn)周期)。(提示：可借鑒恒星日、太陽日的解釋方法)。

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3、圓周運動與其它運動的結(jié)合

圓周運動和其他運動相結(jié)合，要注意尋找這兩種運動的結(jié)合點：如位移關(guān)系、速度關(guān)系、時間關(guān)系等．還要注意圓周運動的特點：如具有一定的周期性等．

[例5]如圖所示，M,N是兩個共軸圓筒的橫截面，外筒半徑為R，內(nèi)筒半徑比R小很多，可以忽略不計。簡的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空，兩筒以相同角速度。轉(zhuǎn)其中心軸線(圖中垂直于紙面)作勻速轉(zhuǎn)動，設(shè)從M筒內(nèi)部可以通過窄縫S(與M筒的軸線平行)不斷地向外射出兩種不同速率v₁和v₂的微粒，從S處射出時初速度方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上，如果R、v₁和v₂都不變，而ω取某一合適的值，則()

A.有可能使微粒落在N筒上的位置都在c處一條與S縫平行的窄條上

B.有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如b處一條與S縫平行的窄條上

C.有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如b處和C處與S縫平行的窄條上

D.只要時間足夠長，N筒上將到處落有微粒

解：微粒從M到N運動時間t=R/v,對應(yīng)N筒轉(zhuǎn)過角度θ=ωt=ωR/v, 即θ₁=ωt=ωR/v₁, θ₂=ωt=ωR/v₂, 只要θ₁、θ₂不是相差2π的整數(shù)倍，則落在兩處，C項正確；若相差2π的整數(shù)倍，則落在一處，可能是a處，也可能是b處。A,B正確。故正確選項為ABC.

[例6]如圖所示，穿過光滑水平平面中央小孔O的細線與平面上質(zhì)量為m的小球P相連，手拉細線的另一端，讓小球在水平面內(nèi)以角速度ω₁沿半徑為a的圓周做勻速圓周運動。所有摩擦均不考慮。求：

(1)這時細線上的張力多大？

　(2)若突然松開手中的細線，經(jīng)時間Δt再握緊細線，隨后小球沿半徑為b的圓周做勻速圓周運動。試問：Δt等于多大？這時的角速度ω₂為多大？

分析：手松后，小球不受力，將做勻速直線運動，求時間必須明確位移。正確畫出松手后到再拉緊期間小球的運動情況是解題的關(guān)鍵。求Wz要考慮到速度的分解：小球勻速直線運動速度要在瞬間變到沿圓周切向，實際的運動可看做沿繩的切向和垂直切向的兩個運動同時進行，畫出速度分解圖，可求得半徑為b的圓周運動的速度，進而求出ω₂。

解：(1)繩的張力提供向心力：T=mω₁²a

(2)松手后小球由半徑為a圓周運動到半徑為b的圓周上，做的是勻速直線運動(如圖所示)。

　　小球勻速直線運動速度要在瞬間變到沿圓周切向，實際的運動可看做沿繩的切向和垂直切向的兩個運動同時進行，有v₂＝vsinθ＝va/b，即　

[例7]如圖所示，位于豎直平面上的1／4圓軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點由靜止釋放，最后落在地面上C點處，不計空氣阻力，求：

(1)小球則運動到B點時，對軌道的壓力多大？

(2)小球落地點C與B點水平距離S為多少？

(3)比值R／H為多少時，小球落地點C與B點水平距離S最遠？該水平距離最大值是多少？

　解析：(1)小球沿圓弧做圓周運動，在B點由牛頓第二定律有N_B－mg=mv²/R　 ①

　　　由A至B，機械能守恒，故有mgR=½mv²②

　　　由此解出N_B=3mg

(2)小球離B點后做平拋運動：在豎立方向有：H－R=½gt²③　　　水平方向有：S＝vt　　　　 ④

　　由②③④解出：s=　　　　 ⑤

(3)由⑤式得s＝　　　　　　 ⑥

　　由⑥式可知當R=H/2時，s有最大值，且為s_max=H

　　答案：N_B=3mg，s＝，s_max=H

點評：對于比較復(fù)雜的問題，一定要注意分清物理過程，而分析物理過程的前提是通過分析物體的受力情況進行．

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2．向心力的認識和來源

(1)向心力不是和重力、彈力、摩擦力相并列的一種類型的力，是根據(jù)力的效果命名的．在分析做圓周運動的質(zhì)點受力情況時，切不可在物體的相互作用力(重力、彈力、摩擦力、萬有引力)以外再添加一個向心力．

(2)由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變的運動，故只存在向心加速

度，物體受的外力的合力就是向心力。顯然物體做勻速圓周運動的條件是：物體的合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。

(3)分析向心力來源的步驟是:首先確定研究對象運動的軌道平面和圓心的位置，然后分析圓周運動物體所受的力,作出受力圖,最后找出這些力指向圓心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑內(nèi)表面，一小球在水平面上做勻速圓周運動，如圖小球做圓周運動的圓心在與小球同一水平面上的O^/點，不在球心O，也不在彈力N所指的PO線上．這種分析方法和結(jié)論同樣適用于圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、飛機在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周運動的問題。共同點是由重力和彈力的合力提供向心力，向心力方向水平。

(4)變速圓周運動向心力的來源：分析向心力來源的步驟同分析勻速圓周運動向心力來源的步驟相向．但要注意，

①一般情況下，變速圓周運動的向心力是合外為沿半徑方向的分力提供．

②分析豎直面上變速圓周運動的向心力的來源時，通常有細繩和桿兩種模型．

(5)當物體所受的合外力小于所需要提供的向心力時，即F_向＜時，物體做離心運動；當物體所受的合外力大于所需要的向心力，即F_向＞時，物體做向心運動。

[例4]飛行員從俯沖狀態(tài)往上拉時，會發(fā)生黑機，第一次是因為血壓降低，導(dǎo)致視網(wǎng)膜缺血，第二次是因為大腦缺血，問(1)血壓為什么會降低？(2)血液在人體循環(huán)中。作用是什么？(3)為了使飛行這種情況，要在如圖的儀器飛行員進行訓(xùn)練，飛行員坐在一個垂直平面做勻速圓周運動的艙內(nèi)，要使飛行員受的加速度 a= 6g，則轉(zhuǎn)速需為多少？(R＝20m)。

[解析]：(1)當飛行員往上加速上升，血液處于超重狀態(tài)，視重增大，心臟無法像平常一樣運輸血液，導(dǎo)致血壓降低。