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當(dāng)人造天體具有較大的動(dòng)能時(shí)，它將上升到較高的軌道運(yùn)動(dòng)，而在較高軌道上運(yùn)動(dòng)的人造天體卻具有較小的動(dòng)能。反之，如果人造天體在運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過(guò)程中，因引力對(duì)其做正功，故導(dǎo)致其動(dòng)能將增大。

同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機(jī)械能不同。其中衛(wèi)星的動(dòng)能為，由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢(shì)能不能再用E_k=mgh計(jì)算，而要用到公式(以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，M為地球質(zhì)量，m為衛(wèi)星質(zhì)量，r為衛(wèi)星軌道半徑。由于從無(wú)窮遠(yuǎn)向地球移動(dòng)過(guò)程中萬(wàn)有引力做正功，所以系統(tǒng)勢(shì)能減小，為負(fù)。)因此機(jī)械能為。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機(jī)械能越大，發(fā)射越困難。

(1)衛(wèi)星進(jìn)入軌道前加速過(guò)程，衛(wèi)星上物體超重．

　(2)衛(wèi)星進(jìn)入軌道后正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，衛(wèi)星上物體完全失重．

　　 衛(wèi)星飛行速度及周期僅由距地高度決定與質(zhì)量無(wú)關(guān)。

設(shè)衛(wèi)星距地面高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星飛行速度為v，則由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力可得v=[GM/(R+h)]^½。知道了衛(wèi)星距離地面的高度，就可確定衛(wèi)星飛行時(shí)的速度大小。

不同高度處人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度及周期見(jiàn)下表：

　　 ⑴近地衛(wèi)星。

　　 近地衛(wèi)星的軌道半徑r可以近似地認(rèn)為等于地球半徑R，由式②可得其線速度大小為v₁=7.9×10³m/s；由式③可得其周期為T=5.06×10³s=84min。由②、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。

　　 神舟號(hào)飛船的運(yùn)行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，周期約90min。

　　 ⑵同步衛(wèi)星。

“同步”的含義就是和地球保持相對(duì)靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，即T=24h。由式G=m= m(r+h)可得，同步衛(wèi)星離地面高度為　 h＝－r＝3·58×10⁷ m即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×10⁴km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運(yùn)轉(zhuǎn)方向必須跟地球自轉(zhuǎn)方向一致即由西向東。如果僅與地球自轉(zhuǎn)周期相同而不定點(diǎn)于赤道上空，該衛(wèi)星就不能與地面保持相對(duì)靜止。因?yàn)樾l(wèi)星軌道所在平面必然和地球繞日公轉(zhuǎn)軌道平面重合，同步衛(wèi)星的線速度　 v==3.07×10³m/s　

通訊衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球的電視轉(zhuǎn)播，從圖可知，如果能發(fā)射三顆相對(duì)地面靜止的衛(wèi)星(即同步衛(wèi)星)并相互聯(lián)網(wǎng)，即可覆蓋全球的每個(gè)角落。由于通訊衛(wèi)星都必須位于赤道上空3.6×10⁷m處，各衛(wèi)星之間又不能相距太近，所以，通訊衛(wèi)星的總數(shù)是有限的。設(shè)想在赤道所在平面內(nèi)，以地球中心為圓心隔5⁰放置一顆通訊衛(wèi)星，全球通訊衛(wèi)星的總數(shù)應(yīng)為72個(gè)。

方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

G=m，v=。當(dāng)h↑，v↓，所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運(yùn)行的最大速度。其大小為r＞＞h(地面附近)時(shí)，=7．9×10³m/s

方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

．當(dāng)r＞＞h時(shí)．g_h≈g　　 所以v₁＝=7．9×10³m/s

第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度．

①　　　 第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v₁=7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大速度。

②　　 第二宇宙速度(脫離速度)：v₂=11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。

③　　 第三宇宙速度(逃逸速度)：v₃=16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度。

　　 原理：天體對(duì)它的衛(wèi)星(或行星)的引力就是衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．

　　 G=mr，由此可得：M=；ρ===(R為行星的半徑)

由上式可知，只要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r及運(yùn)行周期T，就可以算出天體的質(zhì)量M．若知道行星的半徑則可得行星的密度

規(guī)律方法　 1、萬(wàn)有引力定律的基本應(yīng)用

[例1]如圖所示，在一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后，對(duì)位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？

分析 　把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，即可得解．

解 　完整的均質(zhì)球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力

這個(gè)引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F₁與半徑為R/2的小球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力F₂之和，即F=F₁+F₂．因半徑為R/2的小球質(zhì)量M^/為，

則

所以挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力

說(shuō)明　 (1)有部分同學(xué)認(rèn)為，如果先設(shè)法求出挖去球穴后的重心位置，然后把剩余部分的質(zhì)量集中于這個(gè)重心上，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式求解．這是不正確的．萬(wàn)有引力存在于宇宙間任何兩個(gè)物體之間，但計(jì)算萬(wàn)有引力的簡(jiǎn)單公式卻只能適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體，挖去球穴后的剩余部分已不再是均勻球了，不能直接使用這個(gè)公式計(jì)算引力．

(2)如果題中的球穴挖在大球的正中央，根據(jù)同樣道理可得剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力

上式表明，一個(gè)均質(zhì)球殼對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)的引力跟把球殼的質(zhì)量(7M/8)集中于球心時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力一樣．

[例2]某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a＝½g隨火箭加速上升的過(guò)程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為90 N時(shí)，求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？(地球半徑R＝6.4×10³km,g取10m/s²)

解析：設(shè)此時(shí)火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上物體受到的支持力為N,物體受到的重力為mg^/，據(jù)牛頓第二定律．N－mg^/=ma……①

在h高處mg^/＝……②　　 在地球表面處mg=……③

把②③代入①得　　　　 ∴=1.92×10⁴　 km.

說(shuō)明:在本問(wèn)題中，牢記基本思路,一是萬(wàn)有引力提供向心力，二是重力約等于萬(wàn)有引力．

[例3]有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來(lái)確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T₀。當(dāng)氣球停在某一高度時(shí)，測(cè)得該單擺周期為T(mén)。求該氣球此時(shí)離海平面的高度h。把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體。

解析：根據(jù)單擺周期公式：其中l(wèi)是單擺長(zhǎng)度，g₀和g分別是兩地點(diǎn)的重力加速度。根據(jù)萬(wàn)有引力公式得其中G是引力常數(shù)，M是地球質(zhì)量。

由以上各式解得

[例4]登月火箭關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，周期是120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計(jì)算月球的質(zhì)量和平均密度．

解析：設(shè)月球半徑為R，月球質(zhì)量為M，月球密度為ρ，登月火箭軌道離月球表面為h，運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，火箭質(zhì)量為m，由GMm/r²=m4π²r/T²得M=4π²r³/(GT²)，ρ=M/V，其中V=4π²R³/3，則F_向=mω²r=m4π²(R+h)/T²，F(xiàn)_引=GMm/(R+h)²，火箭沿軌道運(yùn)行時(shí)有F_引=F_向，即GMm/(R+h)²= m4π²(R+h)/T²

故M=4π²(R+h)³/(GT²)²=7.2×10²²kg,ρ=3M/4πR³=3.26×10³kg/m³

[例5]已知火星上大氣壓是地球的1/200．火星直徑約為球直徑的一半，地球平均密度ρ_地=5.5×10³kg/m³，火星平均密度ρ_火=4×10³kg/m³．試求火星上大氣質(zhì)量與地球大氣質(zhì)量之比．

分析 　包圍天體的大氣被吸向天體的力．就是作用在整個(gè)天體表面(把它看成平面時(shí))的大氣壓力．利用萬(wàn)有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比，即可算出它們的大氣質(zhì)量之比．

解　 設(shè)火星和地球上的大氣質(zhì)量、重力加速度分別為m_火、g_火、m_地、g_地，火星和地球上的大氣壓分別為據(jù)萬(wàn)有引力公式，火星和地球上的重力加速度分別為

綜合上述三式得

[例6]一個(gè)宇航員在半徑為R的星球上以初速度v₀豎直上拋一物體，經(jīng)ts后物體落回宇航員手中．為了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時(shí)的速度至少為多少？

解析：物體拋出后，受恒定的星球引力作用，做勻減速運(yùn)動(dòng)，遵循著在地面上豎直上拋時(shí)的同樣規(guī)律．設(shè)星球?qū)ξ矬w產(chǎn)生的“重力加速度”為g_x，則由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的公式得為使物體拋出后不再落回星球表面，應(yīng)使它所受到的星球引力正好等于物體所需的向心力，即成為衛(wèi)星發(fā)射了出去。_，這個(gè)速度即是這個(gè)星球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度。

[例7]在“勇氣”號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過(guò)多次彈跳才停下來(lái)。

假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小，計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道半徑為r，周期為T(mén)。火星可視為半徑為r₀的均勻球體。

分析：第一次落到火星表面彈起在豎直方向相當(dāng)于豎直上拋，在最高點(diǎn)由于只有水平速度故將做平拋運(yùn)動(dòng)，第二次落到火星表面時(shí)速度應(yīng)按平拋處理。無(wú)論是豎直上拋還是平拋的計(jì)算，均要知道火星表面的重力加速度g^/。利用火星的一個(gè)衛(wèi)星的相關(guān)數(shù)據(jù)可以求出g^/。

解：設(shè)火星的一個(gè)衛(wèi)星質(zhì)量為m，任一物體的質(zhì)量為m^/，在火星表面的重力加速度為g^/，火星的質(zhì)量為M。

任一物體在火星表面有:……①　　　 火星的衛(wèi)星應(yīng)滿足：……②

第一次落到火星表面彈起在豎直方向滿足：v₁²＝2g^/h……③

第二次落到火星表面時(shí)速度應(yīng)按平拋處理：……④

由以上4式可解得

2、討論天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本思路

基本方法：把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬(wàn)有引力提供。

[例8]2000年1月26日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點(diǎn)位置與東經(jīng)98⁰的經(jīng)線在同一平面內(nèi)．若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似為東經(jīng)98⁰和北緯α＝40⁰，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T,地球表面重力加速度g(視為常數(shù))和光速c，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間(要求用題給的已知量的符號(hào)表示)．

解析：設(shè)m為衛(wèi)星質(zhì)量，M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地球中心的距離，ω為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律有，式中G為萬(wàn)有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，有ω=2π/T；因，得GM=gR²．

設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為L(zhǎng)，如圖所示，由余弦定律得：

所求的時(shí)間為t＝L/c．

由以上各式得

[例9]在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱(chēng)為雙星。它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果雙星間距為L(zhǎng)，質(zhì)量分別為M1和M2，試計(jì)算：(1)雙星的軌道半徑；(2)雙星的運(yùn)行周期；(3)雙星的線速度。

解析：因?yàn)殡p星受到同樣大小的萬(wàn)有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點(diǎn)。

(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律

可得：

(2)同理，還有

所以，周期為

(3)根據(jù)線速度公式，

[例10]興趣小組成員共同協(xié)作，完成了下面的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：①當(dāng)飛船停留在距X星球一定高度的P點(diǎn)時(shí)，正對(duì)著X星球發(fā)射一個(gè)激光脈沖，經(jīng)時(shí)間t₁后收到反射回來(lái)的信號(hào)，此時(shí)觀察X星球的視角為θ，如圖所示．②當(dāng)飛船在X星球表面著陸后，把一個(gè)彈射器固定在星球表面上，豎直向上彈射一個(gè)小球，經(jīng)測(cè)定小球從彈射到落回的時(shí)間為t₂.

　　 已知用上述彈射器在地球上做同樣實(shí)驗(yàn)時(shí)，小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，又已知地球表面重力加速度為g，萬(wàn)有引力常量為G，光速為c，地球和X星球的自轉(zhuǎn)以及它們對(duì)物體的大氣阻力均可不計(jì)，試根據(jù)以上信息，求：

(1)X星球的半徑R；(2)X星球的質(zhì)量M；(3)X星球的第一宇宙速度v；

(4)在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T.

解析：(1)由題設(shè)中圖示可知：

(R+½ct₁)sinθ＝R，∴R=

　(2)在X星球上以v₀豎直上拋t₂＝，在地球上以v₀豎直上拋：t＝，，又由，

(3)mg'＝

　(4)當(dāng)v達(dá)第一宇宙速度時(shí)，有最小周期T.　

[例11]天體運(yùn)動(dòng)的演變猜想。在研究宇宙發(fā)展演變的理論中，有一種說(shuō)法叫做“宇宙膨脹說(shuō)”，認(rèn)為引力常量在慢慢減小。根據(jù)這種理論，試分析現(xiàn)在太陽(yáng)系中地球的公轉(zhuǎn)軌道平徑、周期、速率與很久很久以前相比變化的情況。

[解析]地球在半徑為R的圓形軌道上以速率v運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，引力常數(shù)G減小了一個(gè)微小量，萬(wàn)有

引力公式。由于太陽(yáng)質(zhì)量M,地球質(zhì)量m,r均未改變，萬(wàn)有引力F_引必然隨之減小，并小于公轉(zhuǎn)軌道上該點(diǎn)所需的向心力(速度不能突變)。由于慣性，地球?qū)⒆鲭x心運(yùn)動(dòng)，即向外偏離太陽(yáng)，半徑r增大。地球在遠(yuǎn)離太陽(yáng)的過(guò)程中，在太陽(yáng)引力的作用下引起速率v減小，運(yùn)轉(zhuǎn)周期增大。由此可以判斷，在很久很久以前，太陽(yáng)系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑比現(xiàn)在小，周期比現(xiàn)在小，速率比現(xiàn)在大。

　　 由引力常量G在慢慢減小的前提可以分析出太陽(yáng)系中地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑在慢慢變大，表明宇宙在不斷地膨脹。

試題展示

散　　　　　 專(zhuān)題：人造天體的運(yùn)動(dòng)

知識(shí)簡(jiǎn)析　　 　一、衛(wèi)星的繞行角速度、周期與高度的關(guān)系

(1)由，得，∴當(dāng)h↑，v↓

(2)由G=mω²(r+h)，得ω=，∴當(dāng)h↑，ω↓

(3)由G，得T= ∴當(dāng)h↑，T↑

設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R，由mg=得g=,由此推得兩個(gè)不同天體表面重力加速度的關(guān)系為

　 重力是萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力．重力實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力．另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大．通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即m₂g＝G, g=GM/r²常用來(lái)計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即g_h=GM/(r+h)²，比較得g_h=()²·g

　 在赤道處，物體的萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力F_向和m₂g剛好在一條直線上，則有

　　 F＝F_向+m₂g，

所以m₂g=F一F_向＝G－m₂Rω_自²

因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G» m₂Rω_自²,所以m₂g= G

假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，即ω_自變大，由m₂g＝G－m₂Rω_自²知物體的重力將變小，當(dāng)G=m₂Rω_自²時(shí)，m₂g=0，此時(shí)地球上物體無(wú)重力，但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度ω_自＝，比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多.

(1)內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比．

(2)公式：F＝G,其中，稱(chēng)為為有引力恒量。

(3)適用條件：嚴(yán)格地說(shuō)公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)r應(yīng)為兩物體重心間的距離．對(duì)于均勻的球體,r是兩球心間的距離．

注意：萬(wàn)有引力定律把地面上的運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1千克的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距1米時(shí)相互作用的萬(wàn)有引力．