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1.函數(shù)與方程的緊密聯(lián)系，體現(xiàn)在函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根的聯(lián)系上.

教科書P₁₁₂復(fù)習(xí)參考題A組1-6題.

[例1] 作出函數(shù)y=x³與y=3x－1的圖象，并寫出方程x³=3x－1的近似解.(精確到0.1)

解：函數(shù)y=x³與y=3x－1的圖象如下圖所示.在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等.

因此，這三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程x³=3x－1的解.

由圖象可以知道，方程x³=3x－1的解分別在區(qū)間(－2，－1)、(0，1)和(1，2)內(nèi)，那么，對(duì)于區(qū)間(－2，－1)、(0，1)和(1，2)分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為x₁≈－1.8，x₂≈0.4，x₃≈1.5.

[例2] 分別就a=2，a=和a=畫出函數(shù)y=a^x，y=log_ax的圖象，并求方程a^x=log_ax的解的個(gè)數(shù).

思路分析：可通過(guò)多種途徑展示畫函數(shù)圖象的方法.

解：利用Excel、圖形計(jì)算器或其他畫圖軟件，可以畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示.

根據(jù)圖象，我們可以知道，當(dāng)a=2，a=和a=時(shí)，方程a^x=log_ax解的個(gè)數(shù)分別為0，2，1.

[例3] 根據(jù)上海市人大十一屆三次會(huì)議上的政府工作報(bào)告，1999年上海完成GDP(國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值)4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長(zhǎng)9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增長(zhǎng)率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長(zhǎng)，則要使本市人均GDP達(dá)到或超過(guò)1999年的2倍，至少需________年.(按：1999年本市常住人口總數(shù)約為1300萬(wàn))

思路分析：抓住人均GDP這條線索，建立不等式.

解：設(shè)需n年，由題意得≥，

化簡(jiǎn)得≥2，解得n＞8.

答：至少需9年.

(二)方法總結(jié)

1.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根，因此，求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題通常可轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的方程的根的問(wèn)題.

2.一元二次方程根的討論在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，求解此類問(wèn)題常有三種途徑：

(1)利用求根公式；

(2)利用二次函數(shù)的圖象；

(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系.

無(wú)論利用哪種方法，根的判別式都不容忽視，只是由于二次函數(shù)圖象的不間斷性，有些問(wèn)題中的判別式已隱含在問(wèn)題的處理之中.

3.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：

已知函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)x₀的近似值x，使它與零點(diǎn)的誤差不超過(guò)正數(shù)ε，即使得|x－x₀|≤ε.

(1)在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間［a，b］D，使f(a)與f(b)異號(hào)，即f(a)·f(b)＜0.

令a₀=a，b₀=b.

(2)取區(qū)間［a₀，b₀］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為

x₀=a₀+(b₀－a₀)=(a₀+b₀).

計(jì)算f(x₀)和f(a₀).

判斷：①如果f(x₀)=0，則x₀就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；

②如果f(a₀)·f(x₀)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［a₀，x₀］內(nèi)，令a₁=a₀，b₁=x₀；

③如果f(a₀)·f(x₀)＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x₀，b₀］內(nèi)，令a₁=x₀，b₁=b.

(3)取區(qū)間［a₁，b₁］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)為

x₁=a₁+(b₁－a₁)=(a₁+b₁).

計(jì)算f(x₁)和f(a₁).

判斷：①如果f(x₁)=0，則x₁就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；

②如果f(a₁)·f(x₁)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［a₁，x₁］上，令a₂=a₁，b₂=x₁.

③如果f(a₁)·f(x₁)＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間［x₁，b₁］上，令a₂=x₁，b₂=b₁.

……

實(shí)施上述步驟，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間［a_n，b_n］上，當(dāng)|a_n－b_n|＜2ε時(shí)，區(qū)間［a_n，b_n］的中點(diǎn)x_n=(a_n+b_n).

就是函數(shù)y=f(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)y=f(x)的近似零點(diǎn)與真正零點(diǎn)的誤差不超過(guò)ε.

4.對(duì)于直線y=kx+b(k≥0)，指數(shù)函數(shù)y=m·a^x(m＞0，a＞1)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log_bx(b＞1)，

(1)通過(guò)實(shí)例結(jié)合圖象初步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快.

(2)通過(guò)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)得出多組數(shù)據(jù)結(jié)合函數(shù)圖象(圖象可借助于現(xiàn)代信息技術(shù)手段畫出)進(jìn)一步體會(huì)：

直線上升，其增長(zhǎng)量固定不變；

指數(shù)增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量成倍增加，增長(zhǎng)速度是直線上升所無(wú)法企及的.隨著自變量的不斷增大，直線上升與指數(shù)增長(zhǎng)的差距越來(lái)越大，當(dāng)自變量很大時(shí)，這種差距大得驚人，所以“指數(shù)增長(zhǎng)”可以用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容.

對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)速度平緩，當(dāng)自變量不斷增大時(shí)，其增長(zhǎng)速度小于直線上升.

5.在區(qū)間(0，+∞)上，盡管函數(shù)y=a^x(a＞1)，y=log_ax(a＞1)，y=xⁿ(n＞0)都是增函數(shù)，但是它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)‘檔次’上，隨著x的增大，y=a^x(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)y=xⁿ(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y=log_ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.因此，總會(huì)存在一個(gè)x₀，當(dāng)x＞x₀時(shí)，a^x＞xⁿ＞log_ax.

6.實(shí)際問(wèn)題的建模方法.

(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意.

(2)從問(wèn)題出發(fā)，抓準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)引入變量或建立直角坐標(biāo)系.運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，建立函數(shù)關(guān)系式.

(3)研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出解答.

必須說(shuō)明的是：

(1)通過(guò)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，目的是通過(guò)例題培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和分析問(wèn)題的能力.

(2)把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，從數(shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題所得出的關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述，即為數(shù)學(xué)模型.

7.建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程：

(一)第三章知識(shí)點(diǎn)

1.函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)的性質(zhì).

2.二分法，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟.

3.幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型(直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng))，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長(zhǎng)速度的比較.

4.函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程.

(六)還原劑還原金屬氧化物( 見(jiàn)上圖⑾ )

(五)堿溶液和金屬氧化物反應(yīng)(　 見(jiàn)上圖⑩　 )

　　 ⑩堿溶液+非金屬氧化物→鹽+水

(四)非金屬氧化物制取酸(見(jiàn)上圖⑨　 CO₂ 、SO₂ 、SO₃分別和水反應(yīng))

�、岱墙饘傺趸�物+水→酸

(三)金屬氧化物制堿的反應(yīng)(見(jiàn)上圖⑧　 Na₂O、K₂O、BaO、CaO分別和水反應(yīng)　)

⑧金屬氧化物+水→堿

(二)金屬和酸、鹽溶液的置換反應(yīng)(見(jiàn)上圖⑥⑦)

�、藿饘�+酸→鹽+氫氣

　⑦金屬+鹽→金屬+鹽