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1、定義：機(jī)械振動在介質(zhì)中傳播就形成機(jī)械波．

3、單擺的綜合應(yīng)用

[例7](1998年全國)圖中兩單擺擺長相同，平衡時兩擺球剛好觸．現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩球分開各自做簡諧運(yùn)動．以m_A、m_B分別表示擺球A、B的質(zhì)量，則(　　 )

　　 A．如果m_A＞m_B，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)

　　 B．如果m_A＜m_B，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)

　　 C．無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)

　　 D．無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè)

解析：由于兩球線長相等,所以兩球做單擺運(yùn)動的周期必然相等.兩球相碰后有這幾種可能:①碰后兩球速度方向相反,這樣兩球各自到達(dá)最高點(diǎn)再返回到平衡位置所用的時間相等,故兩球只能在平衡位置相遇;②碰后兩球向同一方向運(yùn)動,則每個球都先到達(dá)最大位移處然后返回平衡位置,所用的時間也都是半個周期,兩球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球靜止,而另一球運(yùn)動,則該球先到最大位移又返回到平衡位置,所用時間還是半個周期,在平衡位置相遇.

　　 因此，不管m_A＞m_B，還是m_A＜m_B 還是m_A＝m_B ，無論擺球質(zhì)量之比為多少，下一次碰撞都只能發(fā)生在平衡位置，也就是說不可能發(fā)生在平衡位置的右側(cè)或左側(cè)，所以選項(xiàng)C、D正確．

拓展:兩球的碰撞是否是彈性碰撞?

[例8]如圖所示，兩個完全相同的彈性小球1,2，分別掛在長L和L/4的細(xì)線上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接觸，把第一個小球向右拉開一個不大的距離后由靜止釋放，經(jīng)過多長時間兩球發(fā)生第10次碰撞？

解析:因?qū)⒌?個小球拉開一個不大的距離，故擺動過程應(yīng)符合單擺的周期公式有，,系統(tǒng)振動周期為，在同一個T內(nèi)共發(fā)生兩次碰撞，球1從最大位移處由靜止釋放后．經(jīng)發(fā)生10次碰撞，且第10次碰后球1又?jǐn)[支最大位移處.

[例9]一單擺的擺長為L，擺球的質(zhì)量為m，原來靜止，在一個水平?jīng)_量I作用下開始擺動．此后，每當(dāng)擺球經(jīng)過平衡位置時，便給它一個與其速度方向一致的沖量I，求擺球經(jīng)過多長時間后其擺線與豎直方向間的夾角可以達(dá)到α？(α≤5⁰，不計(jì)阻力，所施沖量時間極短)

解析：設(shè)擺球經(jīng)過平衡位置的次數(shù)為n，則擺球達(dá)最大偏角α?xí)r需用時間t=(n-l)十 …………①

由動量定理和機(jī)械能守恒定律得：nI＝mv………②　　　 ½mv²=mgl(1－cosα)………③

單擺周期……… ④　　 聯(lián)立①－④式得：

[例10]如圖所示，AB為半徑R=7.50 m的光滑的圓弧形導(dǎo)軌，BC為長s＝0.90m的光滑水平導(dǎo)軌，在B點(diǎn)與圓弧導(dǎo)軌相切,BC離地高度h＝1.80 m，一質(zhì)量m₁＝0.10 kg的小球置于邊緣C點(diǎn)，另一質(zhì)量m₂＝0. 20 kg的小球置于B點(diǎn)，現(xiàn)給小球m₁一個瞬時沖量使它獲得大小為0.90 m/s的水平向右速度，當(dāng)m₁運(yùn)動到B時與m₂發(fā)生彈性正碰，g取10 m/s²，求：

(1)兩球落地的時間差Δt；

　(2)兩球落地點(diǎn)之間的距離Δs.

解析:(1 )m₁與m₂發(fā)生彈性正碰，則設(shè)碰后m₁和m₂速度分別為v₁^/和v₂^/，有

得v₁＝一0.3 m/s,v'₂=0. 6 m/s

可見m₁以0. 3 m/s速度反彈，從B到C,t=s/v₁^/=3s, m₂以0. 6 m/s速度沖上圓弧軌道，可證明m₂運(yùn)動可近似為簡諧運(yùn)動，在圓弧上運(yùn)動時間為＝2.72 s,再從B到C, t₂ =s/v₂^/=1.5s則△t＝t₂+T/2一t₁=1.22 s. (2)利用平拋運(yùn)動知識不難求得△s＝0.18 m.

[例11]如圖所示，a、b、Co 質(zhì)量相等的三個彈性小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，a、b分別懸掛在L₁=1.0m，L₂=0.25 m的輕質(zhì)細(xì)線上，它們剛好與光滑水平面接觸而不互相擠壓，ab相距10cm。若c從a和b的連線中點(diǎn)處以v₀=5 cm/s的速度向右運(yùn)動，則c將與b和a反復(fù)碰撞而往復(fù)運(yùn)動。

　　 已知碰撞前后小球c均沿同一直線運(yùn)動，碰撞時間極短，且碰撞過程中沒有機(jī)械能損失，碰撞后a和b的擺動均可視為簡諧振動。以c球開始運(yùn)動作為時間零點(diǎn)，以向右為正方向，試在圖中畫也在l0s內(nèi)C、b兩球運(yùn)動的位移-時間圖像，兩圖像均以各自的初位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。(運(yùn)算中可認(rèn)為)

[答案]如圖

[例12]有幾個登山運(yùn)動員登上一無名高峰，但不知此峰的高度，他們想迅速估測出高峰的海拔高度，但是他們只帶了一些輕質(zhì)繩子、小刀、小鋼卷尺、可當(dāng)作秒表用的手表和一些食品，附近還有石子、樹木等，其中一個人根據(jù)物理知識很快就測出了海拔高度，請寫出測量方法，需記錄的數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出計(jì)算高峰的海拔高度的計(jì)算式．

解析:用細(xì)線和小石塊做一個單擺，量出擺線長L₁，并測出單擺周期T₁.設(shè)小石塊重心到細(xì)線與小石塊的連接處的距離為d，則改變擺線長為L₂,測出周期T₂，則可得當(dāng)?shù)刂亓�加速度�?sub>又由，得

[例13]在長方形桌面上放有：秒表、細(xì)繩、鐵架臺、天平、彈簧秤、鉤碼，怎樣從中選取器材可較為準(zhǔn)確地測出桌面面積S？并寫出面積表達(dá)式．

[解析]用細(xì)繩量桌面長，并用此繩(包括到鉤碼重心)、鉤碼、鐵架臺做成單擺，由秒表測出其振動周期T₁；同理量桌面寬，做單擺，測出周期T₂． 答案：S=

試題展示

　　　　　　 波的性質(zhì)與波的圖像

知識簡析　 一、機(jī)械波

2、擺鐘問題

單擺的一個重要應(yīng)用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。在計(jì)算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比(n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)……)，再由頻率公式可以得到：

[例6]有一擺鐘的擺長為l_l時，在某一標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)快amin。若擺長為l₂時，在同一標(biāo)準(zhǔn)時間內(nèi)慢bmin。，求為使其準(zhǔn)確，擺長應(yīng)為多長？(可把鐘擺視為擺角很小的單擺)。

[解析]設(shè)該標(biāo)準(zhǔn)時間為ts，準(zhǔn)確擺鐘擺長為lm，走時快的鐘周期為T₁s，走慢時的周期為T₂s，準(zhǔn)確的鐘周期為T₃。不管走時準(zhǔn)確與否，鐘擺每完成一次全振動，鐘面上顯示時間都是Ts。

(法一)由各擺鐘在ts內(nèi)鐘面上顯示的時間求解，　

　　　 對快鐘： t+60a=T；　　　 對慢鐘： t- 60a=T

　　 聯(lián)立解，可得==　　　 最后可得L=。

(法二)由各擺鐘在ts內(nèi)的振動次數(shù)關(guān)系求解：

設(shè)快鐘的 t s內(nèi)全振動次數(shù)為 n_l，慢鐘為 n₂，準(zhǔn)確的鐘為n。顯然，快鐘比準(zhǔn)確的鐘多振動了60a/T次，慢鐘比準(zhǔn)確的鐘少振動60b/T次，故：

　　 對快鐘：n_l＝t/T₁＝n+60a/T＝t/T+60a/T

　　 對慢鐘：n₂＝t/T₂＝n－60b/T＝t/T－60b/T

　　 聯(lián)解①②式，并利用單擺周期公式T＝2同樣可得L=

點(diǎn)竅：對走時不準(zhǔn)的擺鐘問題，解題時應(yīng)抓住：由于擺鐘的機(jī)械構(gòu)造所決定，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準(zhǔn)確的擺鐘的周期T。

5.共振

(1)當(dāng)驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，物體的振幅最大的現(xiàn)象叫做共振．

　(2)條件：驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率．

(3)共振曲線．如圖所示．

[例3]行駛著的火車車輪，每接觸到兩根鋼軌相接處的縫隙時，就受到一次撞擊使車廂在支著它的彈簧上面振動起來．已知車廂的固有同期是0．58s，每根鋼軌的長是12．6 m，當(dāng)車廂上、下振動得最厲害時，火車的車速等于　　　　　　　 m／s．

　　 解析：該題應(yīng)用共振的條件來求解．火車行駛時，每當(dāng)通過鐵軌的接縫處就會受到一次沖擊力，該力即為策動力．當(dāng)策動周期T_策和彈簧與車廂的國有周期相等時，即發(fā)生共振，即　　 T_策＝T_固＝ 0．58 s ………①　 T_策=t=L/v……②　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 將①代入②解得v=L/0．58=21．7 m／s　　 答案：21．7m／s

規(guī)律方法1、單擺的等效問題

①等效擺長：如圖所示，當(dāng)小球垂直紙面方向運(yùn)動時，擺長為CO．

②等效重力加速度：當(dāng)單擺在某裝置內(nèi)向上運(yùn)動加速度為a時，T＝2π；當(dāng)向上減速時T=2π，影響回復(fù)力的等效加速度可以這樣求，擺球在平衡位置靜止時，擺線的張力T與擺球質(zhì)量的比值．

[例4]如圖所示，在光滑導(dǎo)軌上有一個滾輪A，質(zhì)量為2m，軸上系一根長為L的線，下端懸掛一個擺球B，質(zhì)量為m，設(shè)B擺小球作小幅度振動，求振動周期。

[分析]將2m的A球和m的B球組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的重心O點(diǎn)可視為單擺的懸點(diǎn)，利用水平方向動量守恒可求出等效擺長。

[解析]A和B兩物體組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力的作用，在水平方向上動量守恒，因此A和B速度之比跟質(zhì)量成反比，即v_A/v_B=m_B/m_A=1/2．因此A和B 運(yùn)動過程中平均速度/=1/2，亦即位移 S_A/S_B＝1/2。，

因?yàn)棣�OAA^/∽ΔOBB^/，則OB/OA＝2/1。

對B球來說，其擺長應(yīng)為2/3 L，因此B球的周期T＝2。

說明：據(jù)動量守恒條件，2m在A位置時，m在 B位置，當(dāng)2 m運(yùn)動到A^/時，m運(yùn)動到B^/。

[例5]如圖所示，三根細(xì)線OA, OB,OC結(jié)于O點(diǎn)，A,B端固定在同一水平面上且相距為L，使AOB成一直角三角形，∠BAO = 30⁰，已知OC繩長也為L，下端C點(diǎn)系一個可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，下面說法中正確的是

A、當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動時,周期為：

B.當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度振動時，周期為

C.當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為

D.當(dāng)小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為

解析:當(dāng)小球在紙面內(nèi)做簡諧振動時，是以0點(diǎn)為圓心,OC長L為半徑做變速圓周運(yùn)動，OA和OB繩沒有松弛，其擺長為L,所以周期是；當(dāng)小球在垂直于紙面的方向上做簡諧振動時，擺球是以O(shè)C的延長線與AB交點(diǎn)為圓心做振動,其等效的擺長為L十Lsin60⁰/2=L十L/4 ,其周期為,故選A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

拓展:若將上題中的小球改為裝滿沙子的漏斗，在漏斗擺動的過程中，讓沙子勻速的從漏斗底部漏出，則單擺的周期如何變化?(因沙子遂漸漏出，其重心的位置先下移后上升，等效擺長先增加后減小，所以周期先變長后減小)。

[例5]在圖中的幾個相同的單擺在不同的條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，判斷正確的是(　 )

　　 A、T₁＞T₂＞T₃＞T₄；　 B、T₁＜T₂=T₃＜T₄

　　 C、T₁＞T₂=T₃＞T_4、； _、 D、T₁＜T₂＜T₃＜T₄

[解析]單擺的周期與重力加速度有關(guān)．這是因?yàn)槭侵亓Φ姆至μ峁┗貜?fù)力．當(dāng)單擺處于(1)圖所示的條件下，當(dāng)擺球偏離平衡位置后，是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向分量提供回復(fù)力，回復(fù)力相對豎直放置的單擺是減小的，則運(yùn)動中的加速度減小，回到平衡位置的時間變長，周期T₁＞T₃．對于(2)圖所示的條件，帶正電的擺球在振動過程中要受到天花板上帶正電小球的斥力，但是兩球間的斥力與運(yùn)動的方向總是垂直，不影響回復(fù)力，故單擺的周期不變，T₂=T₃．在(4)圖所示的條件下，單擺與升降機(jī)一起作加速上升的運(yùn)動，也就是擺球在該升降機(jī)中是超重的，相當(dāng)于擺球的重力增大，沿?cái)[動的切向分量也增大，也就是回復(fù)力在增大，擺球回到相對平衡的位置時間變短，故周期變小，T₄＜T₃．綜上所述，只有C選項(xiàng)正確．

　點(diǎn)評：對于單擺的周期公式，在擺長不變的條件下，能影響單擺振動的周期的因素就是運(yùn)動過程中的回復(fù)力發(fā)生的變化，回復(fù)力增大，周期變小，回復(fù)力變小，周期變大．這是判斷在擺長不變時單擺周期變化的唯一

4.受迫振動

(1)振動系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動叫做受迫振動．

(2)受迫振動穩(wěn)定時，系統(tǒng)振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)．

3、阻尼振動與無阻尼振動

(1)振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動．

(2)振幅不變的振動為等幅振動，也叫做無阻尼振動．

注意：等幅振動、阻尼振動是從振幅是否變化的角度來區(qū)分的，等幅振動不一定不受阻力作用．

2、振動系統(tǒng)的機(jī)械能大小由振幅大小決定，同一系統(tǒng)振幅越大，機(jī)械能就越大．若無能量損失，簡諧運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，做等幅振動．

1、對于給定的振動系統(tǒng)，振動的動能由振動的速度決定，振動的勢能由振動的位移決定，振動的能量就是振動系統(tǒng)在某個狀態(tài)下的動能和勢能的總和．

5、小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個振動就是簡諧運(yùn)動。這時周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。