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(2)

(3)函數(shù)的增區(qū)間是(-∞,+∞),無單調(diào)減區(qū)間

練習(xí)：一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱，在[a+1,a+2]上單調(diào)增，則它在[a-2,a-1]上的單調(diào)性如何？在[a+1,a+2]上單調(diào)減呢？由此你能得到什么結(jié)論？（單調(diào)減，單調(diào)增，關(guān)于x=a對稱的函數(shù)在對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反）

思考：將上面練習(xí)中的直線x=a改成點(a,0),結(jié)論又如何？（關(guān)于點(a,0)對稱的函數(shù)在對稱中心兩側(cè)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同）

解：(1)x<2時，f(x)=-f(4-x)=-lg(4-x-1)=-lg(3-x)∴f(x)=

例2、函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(2,0)對稱，當(dāng)x≥2時，f(x)=lg(x-1),(1)求函數(shù)的解析式；(2)作出函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1、已知函數(shù)y=f(x)滿足：對任意x，f(2+x)=f(2-x),如果函數(shù)y=f(x)有兩個不同的零點，求此兩個零點的和

解：由已知，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，兩個不同零點也關(guān)于直線x=2對稱，設(shè)為x₁,x₂,于是2-x₁=x₂-2,x₁+x₂=4

變形1：有3個、4個、5個、n個零點，零點和各是多少呢？（6，8，10，2n）

變形2：已知條件改為“對任意x，f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0”則函數(shù)y=f(x)在[0,10]、[-10,10]、[-100,100]各有多少個零點？（3，5，3×20-19=41）

結(jié)論2：函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱f(a+x)=-f(a-x)(或表達(dá)為f(a+x)+f(a-x)=0)f(2a-x)=-f(x)（或f(2a-x)+f(x)=0）

思考1：一個函數(shù)y=f(x)的圖象能否關(guān)于直線y=b對稱？（除了函數(shù)f(x)=b外，其余不能，否則一個x對應(yīng)兩個y就不再是函數(shù)）

思考2：函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(a,b)對稱，式子滿足什么特征？（f(x)+f(2a-x)=2b或者寫成f(a-x)+f(a+x)=2b）

三、結(jié)論應(yīng)用：

結(jié)論1：一個函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱f(a-x)=f(a+x)f(2a-x)=f(x)

仿照上面過程，請你導(dǎo)出函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)對稱式子滿足的特征。

f(a-x)=f(a+x).      

   從數(shù)的形式上看，由相關(guān)點法的基本原理，設(shè)(x,f(x))是y=f(x)圖象上任意一點，它關(guān)于直線x=a的對稱點(x₁,f(x))在函數(shù)圖象上，從而f(x₁)=f(x),而x與x₁到x軸上a對應(yīng)的點的距離相等，于是a-x=x₁-a,x₁=2a-x,從而f(x₁)=f(2a-x),于是f(2a-x)=f(x)（如圖2）

從圖象觀察出的結(jié)論與實際作出的結(jié)論形式不一樣！是否一致呢？

一方面，由f(2a-x)=f(x)對任意x成立，當(dāng)然對a+x也成立，于是f[2a-(a+x)]=f(a-x)=f(a+x)；

另一方面，由f(a-x)=f(a+x)成立，f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),于是我們得到：

4、更一般的，如果一個函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a與點(a,0)對稱，函數(shù)式子有什么特征呢？引入標(biāo)題――函數(shù)圖象的對稱性

從圖象觀察，一個關(guān)于直線x=a對稱的函數(shù)y=f(x),它應(yīng)該滿足什么特征？

3、對于函數(shù)f(x)=x²-2x+3與y=的圖象各有什么對稱特征？（前者關(guān)于直線x=1對稱，后者關(guān)于點(1,0)對稱）

2、 對于一個具有奇偶性的函數(shù)y=f(x)的特征有：

名稱

函數(shù)的式子特征

函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)

f(-x)=-f(x)

關(guān)于原點對稱

偶函數(shù)

f(-x)=f(x)

關(guān)于y軸對稱