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2.研究反沖運(yùn)動(dòng)的目的是找反沖速度的規(guī)律，求反沖速度的關(guān)鍵是確定相互作用的物體系統(tǒng)和其中各物體對地的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

規(guī)律方法　 1、人船模型及其應(yīng)用

[例1]如圖所示，長為l、質(zhì)量為M的小船停在靜水中，一個(gè)質(zhì)量為m的人站在船頭，若不計(jì)水的阻力，當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中，船和人對地面的位移各是多少？

解析:當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中,人和船組成的系統(tǒng)在水平方向上不受力的作用,故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒,設(shè)某時(shí)刻人對地的速度為v₂,船對地的速度為v_1,則mv₂－Mv₁=0,即v₂/v₁=M/m.

在人從船頭走到船尾的過程中每一時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)量均守恒,故mv₂t－Mv₁t=0,即ms₂－Ms₁=0,而s₁+s₂=L

所以

　思考：(1)人的位移為什么不是船長？

　　 (2)若開始時(shí)人船一起以某一速度勻速運(yùn)動(dòng)，則還滿足s₂/s₁=M/m嗎？

[例2]載人氣球原靜止于高h(yuǎn)的高空，氣球質(zhì)量為M，人的質(zhì)量為m．若人沿繩梯滑至地面，則繩梯至少為多長？

解析：氣球和人原靜止于空中，說明系統(tǒng)所受合力為零，故人下滑過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，人著地時(shí)，繩梯至少應(yīng)觸及地面，因?yàn)槿讼禄�過程中，人和氣球任意時(shí)刻的動(dòng)量大小都相等，所以整個(gè)過程中系統(tǒng)平均動(dòng)量守恒．若設(shè)繩梯長為l，人沿繩梯滑至地面的時(shí)間為 t，由圖4-15可看出，氣球?qū)Φ匾苿?dòng)的平均速度為(l－h(huán))/t，人對地移動(dòng)的平均速度為－h(huán)/t(以向上為正方向)．由動(dòng)量守恒定律，有

　　 M(l－h(huán))/t－m h/t=0．解得 l=h．　　 答案：h

說明：(1)當(dāng)問題符合動(dòng)量守恒定律的條件，而又僅涉及位移而不涉及速度時(shí)，通�？捎闷骄鶆�(dòng)量求解．

(2)畫出反映位移關(guān)系的草圖，對求解此類題目會(huì)有很大的幫助．

(3)解此類的題目，注意速度必須相對同一參照物．

[例3]如圖所示，一質(zhì)量為m_l的半圓槽體A，A槽內(nèi)外皆光滑，將A置于光滑水平面上，槽半徑為R.現(xiàn)有一質(zhì)量為m₂的光滑小球B由靜止沿槽頂滑下，設(shè)A和B均為彈性體，且不計(jì)空氣阻力，求槽體A向一側(cè)滑動(dòng)的最大距離．

解析:系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒,當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到糟的最右端時(shí),糟向左運(yùn)動(dòng)的最大距離設(shè)為s₁,則m₁s₁=m₂s₂,又因?yàn)閟₁+s₂=2R,所以

思考：(1)在槽、小球運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒嗎？

　　 (2)當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到槽的最右端時(shí)，槽是否靜止？小球能否運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)？

　　 (3)s₁+S₂為什么等于2R,而不是πR?

[例4]某人在一只靜止的小船上練習(xí)射擊，船、人連同槍(不包括子彈)及靶的總質(zhì)量為M,槍內(nèi)有n顆子彈，每顆子彈的質(zhì)量為m，槍口到靶的距離為L，子彈水平射出槍口相對于地的速度為v₀，在發(fā)射后一

發(fā)子彈時(shí)，前一發(fā)子彈已射入靶中，在射完n顆子彈時(shí)，小船后退的距離為()

解析:設(shè)n顆子彈發(fā)射的總時(shí)間為t,取n顆子彈為整體,由動(dòng)量守恒得nmv₀=Mv₁,即nmv₀t=Mv₁t;

設(shè)子彈相對于地面移動(dòng)的距離為s₁,小船后退的距離為s₂,則有: s₁=v₀t, s₂= v₁t;且s₁+s₂=L

解得:.答案C

[例5]如圖所示，質(zhì)量為m、半徑為R的小球，放在半徑為2R,質(zhì)量為2m的大空心球內(nèi)．大球開始靜止在光滑的水平面上，當(dāng)小球從圖示位置無初速度地沿大球壁滾到最低點(diǎn)時(shí)，大球移動(dòng)的距離是多少?

解析:設(shè)小球相對于地面移動(dòng)的距離為s₁,大球相對于地面移動(dòng)的距離為s₂.下落時(shí)間為t,則由動(dòng)量守恒定律得;解得

[例6]如圖所示，長20 m的木板AB的一端固定一豎立的木樁，木樁與木板的總質(zhì)量為10kg，將木板放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0. 2的粗糙水平面上，一質(zhì)量為40kg的人從靜止開始以a₁=4 m/s²的加速度從B端向A端跑去，到達(dá)A端后在極短時(shí)間內(nèi)抱住木樁(木樁的粗細(xì)不計(jì))，求：

(1)人剛到達(dá)A端時(shí)木板移動(dòng)的距離．

　(2)人抱住木樁后木板向哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)的最大距離是多少？(g取10 m/s²)

解析:(1)由于人與木板組成的系統(tǒng)在水平方向上受的合力不為零,故不遵守動(dòng)量守恒.設(shè)人對地的位移為s₁,木板對地的速度為s₂,木板移動(dòng)的加速度為a₂,人與木板的摩擦力為F,由牛頓定律得:

F=Ma₁=160N;

設(shè)人從B端運(yùn)動(dòng)到A端所用的時(shí)間為t,則s₁=½a₁t, s₂=½a₂t; s₁+s₂=20m

由以上各式解得t=2.0s,s₂=12m

(2)解法一:設(shè)人運(yùn)動(dòng)到A端時(shí)速度為v₁,木板移動(dòng)的速度為v₂,則v₁=a₁t=8.0m/s, v₂=a₂t=12.0m/s,

由于人抱住木樁的時(shí)間極短,在水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒,取人的方向?yàn)檎�方�?則Mv₁－mv₂=(M+m)v,得v=4.0m/s.由此斷定人抱住木樁后,木板將向左運(yùn)動(dòng).由動(dòng)能定理得(M+m)μgs=½(M+m)v²解得s=4.0m.

解法二:對木板受力分析,木板受到地面的摩擦力向左,故產(chǎn)生向左的沖量,因此,人抱住木樁后,系統(tǒng)將向左運(yùn)動(dòng).由系統(tǒng)動(dòng)量定理得(M+m)μgt=(M+m)v,解得v=4.0m/s

由動(dòng)能定理得(M+m)μgs=½(M+m)v²解得s=4.0m.

1、指在系統(tǒng)內(nèi)力作用下，系統(tǒng)內(nèi)一部分物體向某發(fā)生動(dòng)量變化時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其余部分物體向相反方向發(fā)生動(dòng)量變化的現(xiàn)象

2、人船模型的應(yīng)用條件是：兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)(當(dāng)有多個(gè)物體組成系統(tǒng)時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為兩個(gè)物體組成的系統(tǒng))動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的合動(dòng)量為零．

1．若系統(tǒng)在整個(gè)過程中任意兩時(shí)刻的總動(dòng)量相等，則這一系統(tǒng)在全過程中的平均動(dòng)量也必定守恒。在此類問題中，凡涉及位移問題時(shí)，我們常用“系統(tǒng)平均動(dòng)量守恒”予以解決。如果系統(tǒng)是由兩個(gè)物體組成的，合外力為零，且相互作用前均靜止。相互作用后運(yùn)動(dòng)，則由0=m₁+m₂得推論0＝m₁s₁+m₂s₂，但使用時(shí)要明確s₁、s₂必須是相對地面的位移。

5．解方程。如解出兩個(gè)答案或帶有負(fù)號(hào)要說明其意義。

[例7]將質(zhì)量為m；的鉛球以大小為v₀、仰角為θ的初速度拋入一個(gè)裝著砂子的總質(zhì)量為M的靜止砂車中如圖所示。砂車與地面間的摩擦力不計(jì)，球與砂車的共同速度等于多少？

　　 解析：把鉛球和砂車看成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)在整個(gè)過程中不受水平方向的外力，則水平方向動(dòng)量守恒．所以：

　　　 m v₀cosθ＝(M+m)v，所以v= m v₀cosθ/(M+m)

答案：m v₀cosθ/(M+m)

說明：某方向合外力為零，該方向動(dòng)量守恒．

[例8]有N個(gè)人，每人的質(zhì)量均為m，站在質(zhì)量為M的靜止在光滑水平地面上的平板車上，他們從平板車的后端以相對于車身為u的水平速度向后跳下，車就朝前方向運(yùn)動(dòng)，求：

　 (1)如果所有的人同時(shí)跳下，平板車獲得的速度多大？

　 (2)如果一次只跳一個(gè)人，平板車獲得的速度多大？

解答：他們同時(shí)跳下，則nm(u－v)－Mv=0，∴v=u

他們相繼跳下，則0=[M+(n－1)m]v₁+m(v₁－u)；

[M+(n－1)m]v₁=[M+(n－2)m]v₂+m(v₂－u)；

[M+(n－2)m]v₂=[M+(n－3)m]v₃+m(v₃－u)；…………

[M+m]v_n-1=Mv_n+m(v_n－u)

∴v₁=mu/(M+nm)；v₂－v₁=mu/[M+(n－1)m]；v₃－v₂=mu/[M+(n－2)m]；……

v_n－vn－₁=mu/[M+m]；

v_n=mu[+++………+]；即v_n＞v

[例9]一玩具車攜帶若干質(zhì)量為m的彈丸,車和彈丸的總質(zhì)量為M,在半徑為R的光滑軌道上以速率v₀做勻速圓周運(yùn)動(dòng),若小車每轉(zhuǎn)一周便沿運(yùn)動(dòng)方向相對地面以恒定速度u發(fā)射一枚彈丸,求:

(1)　　 至少發(fā)射多少顆彈丸后,小車開始反向運(yùn)動(dòng)?

(2)　　 寫出小車反向運(yùn)動(dòng)前發(fā)射相鄰兩枚彈丸的時(shí)間間隔的表達(dá)式.

解析:(1)設(shè)發(fā)射第一枚彈丸后,玩具車的速度為v₁,由切線方向動(dòng)量守恒得:

(M－m)v₁+mu=Mv₀　 得

第二枚彈丸發(fā)射后,則(M－2m)v₂+mu=(M－m)v₁　 得

………

則第n枚彈丸發(fā)射后,小車的速度為

小車開始反向運(yùn)動(dòng)時(shí),v_n≤0,則

(2)發(fā)射相鄰兩枚彈丸的時(shí)間間隔就是發(fā)射第k(k<n)枚彈丸后小車的周期,即:

[例10]如圖所示，一排人站在沿X軸的水平軌道旁．原點(diǎn)O兩側(cè)的人序號(hào)都記為n(n＝1、2、3、……)每人只有一個(gè)沙袋，X＞0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為m＝14 kg， x＜0一側(cè)的每個(gè)沙袋質(zhì)量為 m^/=10 kg．一質(zhì)量為M=48 kg的小車以某初速度從原點(diǎn)出發(fā)向正X方向滑行，不計(jì)軌道阻力．當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時(shí)，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等手扔袋之前的瞬間車速大小的2n倍(n是此人的序號(hào)數(shù))．

　 (1)空車出發(fā)后，車上堆積了幾個(gè)沙袋時(shí)車就反向滑行？

　 (2)車上最終有大小沙袋共多少個(gè)？

解答：①小車朝正X方向滑行的過程中，第(n－1)個(gè)沙袋扔到車上后的車速為v_n－1，第n個(gè)沙袋扔到車上后的車速為v_n，由動(dòng)量守恒[M+(n－1)m] v_n－1－2nm v_n－1=(M+nm)v_n

v_n= v_n－1………①

小車反向運(yùn)動(dòng)的條件是v_n－1＞0， v_n＜0，即M－nm＞0，M－(n+1)m＜0，代入數(shù)據(jù)得

n＜M/m=48/14，n＞M/m－1=34/14，n應(yīng)為整數(shù)，故n=3，即車上堆積3個(gè)沙袋后車就反向滑行

②車自反向滑行直到接近x＜一側(cè)第1人所在位置時(shí)，車速保持不變，而車的質(zhì)量為M+3m，若在朝負(fù)x方向滑行過程中，第(n-1)個(gè)沙袋扔到車上后，車速為v_n-1^/，第n個(gè)沙袋扔到車上后車速為v_n^/，現(xiàn)取向左方向?yàn)檎�方向，則由動(dòng)量守恒得：

[M+3m+(n-1)m^/] v_n-1^/－2nm^/ v_n-1^/=(M+3m+nm^/)v_n^/

v_n^/= v_n-1^/，車不再向左滑行的條件是v_n-1^/＞0，v_n^/＜0，

即(M+3m－nm^/)＞0，(M+3m－(n+1)m^/)≤0

即n＜=9，n≥－1=8，即8≤n＜9，

在n=8時(shí)，車停止滑行，故最終有11個(gè)沙袋。

試題展示

　　　　　　 專題：人船模型與反沖運(yùn)動(dòng)

知識(shí)簡析　 一、人船模型

4．規(guī)定正方向，列方程。

3．分析系統(tǒng)初、末狀態(tài)各質(zhì)點(diǎn)的速度，明確系統(tǒng)初、末狀態(tài)的動(dòng)量。

2．分析系統(tǒng)所受外力、內(nèi)力，判定系統(tǒng)動(dòng)量是否守恒。

1．明確研究對象和力的作用時(shí)間，即要明確要對哪個(gè)系統(tǒng)，對哪個(gè)過程應(yīng)用動(dòng)量守恒定律。

(1)動(dòng)量守恒定律是說系統(tǒng)內(nèi)部物體間的相互作用只能改變每個(gè)物體的動(dòng)量，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化過程中的任一時(shí)刻，單個(gè)物體的動(dòng)量可以不同，但系統(tǒng)的總動(dòng)量相同。

(2)應(yīng)用此定律時(shí)我們應(yīng)該選擇地面或相對地面靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體做參照物，不能選擇相對地面作加速運(yùn)動(dòng)的物體為參照物。

(3)動(dòng)量是矢量，系統(tǒng)的總動(dòng)量不變是說系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)物體的動(dòng)量的矢量和不變。等號(hào)的含義是說等號(hào)的兩邊不但大小相同，而且方向相同。

　 [例2]放在光滑水平面上的A、B兩小車中間夾了一壓縮的輕質(zhì)彈簧，用兩手分別控制小車處于靜止?fàn)顟B(tài)，下面說法中正確的是

　 A．兩手同時(shí)放開后，兩車的總動(dòng)量為零

　 B．先放開右手，后放開左手，而車的總動(dòng)量向右

　 C．先放開左手，后放開右手，兩車的總動(dòng)量向右

　 D．兩手同時(shí)放開，同車的總動(dòng)量守恒；兩手放開有先后，兩車總動(dòng)量不守恒

　 解析：根據(jù)動(dòng)量守恒定律的適用條件，兩手同時(shí)放開，則兩車水平方向不受外力作用，總動(dòng)量守恒；否則，兩車總動(dòng)量不守恒，若后放開左手，則左手對小車有向右的沖量作用，從而兩車的總動(dòng)量向右；反之，則向左．因而，選項(xiàng)ABD正確．

[例3]在質(zhì)量為M的小車中掛有一單擺，擺球的質(zhì)量為m₀，小車和單擺以恒定的速度v沿光滑水平地面運(yùn)動(dòng)，與位于正對面的質(zhì)量為m的靜止木塊發(fā)生碰撞，碰撞的時(shí)間極短，在此碰撞過程中，下列哪些情況說法是可能發(fā)生的(　　　 )

　　 A．小車、木塊、擺球的速度都發(fā)生變化，分別變?yōu)?v_l、v₂、v₃，滿足(M+m₀)v=Mv_l十mv₂十m₀v₃

　　 B．?dāng)[球的速度不變，小車和木塊的速度變化為v_l和v₂，滿足Mv=Mv_l十mv₂。

　　 C．?dāng)[球的速度不變，小車和木塊的速度都變?yōu)関_l，滿足Mv＝(M+m)v_l

　　 D．小車和擺球的速度都變?yōu)関_l，木塊的速度變?yōu)関₂，滿足(M十m₀)v=(M十m₀)v_l十mv₂

分析：小車M與質(zhì)量為m的靜止木塊發(fā)生碰撞的時(shí)間極短，說明在碰撞過程中，懸掛擺球的細(xì)線來不及擺開一個(gè)明顯的角度，因而擺球在水平方向尚未受到力的作用，其水平方向的動(dòng)量未發(fā)生變化，亦即在小車與木塊碰撞的過程中，只有小車與木塊在水平方向發(fā)生相互作用。

解析：在小車M和本塊發(fā)生碰撞的瞬間，擺球并沒有直接與木塊發(fā)生力的作用，它與小車一起以共同速度V勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺線沿豎直方向，擺線對球的效力和球的重力都與速度方向垂直，因而擺球未受到水平力作用，球的速度不變，可以判定A、D項(xiàng)錯(cuò)誤，小車和木塊碰撞過程，水平方向無外力作用，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，而題目對碰撞后，小車與木塊是否分開或連在一起，沒有加以說明，所以兩種情況都可能發(fā)生，即B、C選項(xiàng)正確。

[例4]如圖所示，在光滑水平面上有A、B兩小球沿同一條直線向右運(yùn)動(dòng)，并發(fā)生對心碰撞．設(shè)向右為正方向，碰前A、B兩球動(dòng)量分別是p_A＝10kgm/s，p_B=15 kgm/s，碰后動(dòng)量變化可能是(　　 )

　　 A．Δp_A＝5 kg·m／s　　 Δp_B＝5 kg·m／s

　　 B．Δp_A =－5 kg·m／s　　 Δp_B ＝ 5 kg·m／s

　　 C．Δp_A =5 kg·m／s　　 Δp_B=－5 kg·in／s·

　　 D．Δp_A ＝－20kg·m／s　 Δp_B＝20 kg·m／s

　　　 解析：A．此結(jié)果動(dòng)量不守恒；B．可能；C．B的動(dòng)量不可能減少，因?yàn)槭茿碰B；D．要出現(xiàn)Δp_A ＝－20kg·m／s只有B不動(dòng)或向左運(yùn)動(dòng)才有可能出現(xiàn)這個(gè)結(jié)果．答案：B

規(guī)律方法　　 1、動(dòng)量守恒定律的“四性”

在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律處理問題時(shí),要注意“四性”

①矢量性：動(dòng)量守恒定律是一個(gè)矢量式，，對于一維的運(yùn)動(dòng)情況，應(yīng)選取統(tǒng)一的正方向，凡與正方向相同的動(dòng)量為正，相反的為負(fù)。若方向未知可設(shè)與正方向相同而列方程，由解得的結(jié)果的正負(fù)判定未知量的方向。

②瞬時(shí)性：動(dòng)量是一個(gè)狀態(tài)量，即瞬時(shí)值，動(dòng)量守恒指的是系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)量恒定，列方程m₁v_l+m₂v₂＝m₁v^/_l+m₂v^/₂時(shí)，等號(hào)左側(cè)是作用前各物體的動(dòng)量和，等號(hào)右邊是作用后各物體的動(dòng)量和，不同時(shí)刻的動(dòng)量不能相加。

③相對性：由于動(dòng)量大小與參照系的選取有關(guān)，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律時(shí)，應(yīng)注意各物體的速度必須是相對于同一慣性參照系的速度，一般以地球?yàn)閰⒄障?/p>

④普適性：動(dòng)量守恒定律不僅適用于兩個(gè)物體所組成的系統(tǒng)，也適用于多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，不僅適用于宏觀物體組成的系統(tǒng)，也適用于微觀粒子組成的系統(tǒng)。

[例5]一輛質(zhì)量為60kg的小車上有一質(zhì)量為40kg的人(相對車靜止)一起以2m／s的速度向前運(yùn)動(dòng)，突然人相對車以 4m／s的速度向車后跳出去，則車速為多大？

下面是幾個(gè)學(xué)生的解答，請指出錯(cuò)在何處．

(1)解析；人跳出車后，車的動(dòng)量為60v，人的動(dòng)量為40(4十v)由動(dòng)量守恒定律： (60+40)×2＝60v－ 40(4+v)解得： v＝ 0．4 m/s　　　　　　　 　(沒有注意矢量性)

(2)解析：選車的方向?yàn)檎�，人跳出車后，車的�?dòng)量為60v，人的動(dòng)量一40×4，由動(dòng)量守恒定律：

　　 (60+40)×2＝60v -40×4，解得v＝6m／s　　　　　　　 　(沒有注意相對性)

(3)解析：選車的方向?yàn)檎�，人跳出車后的�?dòng)量為60v，人的動(dòng)量一40×(4一2)由動(dòng)量守恒定律得

(60+40)×2＝60v -40×(4一2)解得v=14/3m/s　　　　　　　　 (沒有注意瞬時(shí)性)

(4)解析：選地為參照物，小車運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎�，�?jù)動(dòng)量守恒定律，(60+40)×2＝60v -40(4-v)解得　　 v=3．6m/s此法正確．

　　 答案：3．6 m／s

[例6]2002年，美國《科學(xué)》雜志評(píng)出的《2001　 年世界十大科技突破》中，有一項(xiàng)是加拿大薩德伯里　 中微子觀測站的成果．該站揭示了中微子失蹤的原因，即觀測到的中微子數(shù)目比理論值少是因?yàn)椴糠种形⒆釉谶\(yùn)動(dòng)過程中轉(zhuǎn)化為一個(gè)μ子和一個(gè)τ子．　 在上述研究中有以下說法：①該研究過程中牛頓第二定律依然適用；②該研究中能的轉(zhuǎn)化和守恒定律依然適用；③若發(fā)現(xiàn)μ子和中微子的運(yùn)動(dòng)方向一致，則τ子的運(yùn)動(dòng)方向與中微子的運(yùn)動(dòng)方向也可能一致；④若發(fā)現(xiàn)μ子和中微子的運(yùn)動(dòng)方向相反，則τ子的運(yùn)動(dòng)方向與中微子的運(yùn)動(dòng)方向也可能相反．其中正確的是：

A.①②， B.①③， C.②③， D. ③④；

解析:牛頓運(yùn)動(dòng)定律適用于“低速”“宏觀”物體,而動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普適規(guī)律,在中微子轉(zhuǎn)化為μ子和τ子時(shí),動(dòng)量守恒和能量守恒定律仍然適用,當(dāng)μ子與中微子的運(yùn)動(dòng)方向一致時(shí),τ子的運(yùn)動(dòng)方向有可能與中微子的運(yùn)動(dòng)方向相同,也有可能與中微子運(yùn)動(dòng)方向相反;但μ子運(yùn)動(dòng)方向與中微子運(yùn)動(dòng)方向相反時(shí),τ子的運(yùn)動(dòng)方向與中微子的運(yùn)動(dòng)方向一定相同.答案C正確.

2、應(yīng)用動(dòng)量守恒定律的基本思路