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(四)鞏固練習(xí)：

1．函數(shù)的值域?yàn)?u>　 　　．

2．若函數(shù)在上的最大值與最小值之差為2，則　　 ．

(二)(配方法)，

∴的值域?yàn)?sub>．

改題：求函數(shù)，的值域．

解：(利用函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)在上單調(diào)增，

∴當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最小值為；當(dāng)時(shí)，原函數(shù)有最大值為．

∴函數(shù)，的值域?yàn)?sub>．

(2)求復(fù)合函數(shù)的值域：設(shè)()，則原函數(shù)可化為．

又∵，∴，故，

∴的值域?yàn)?sub>．

(3)(法一)反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域?yàn)?sub>，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(法二)分離變量法：，

∵，∴，

∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(4)換元法(代數(shù)換元法)：設(shè)，則，

∴原函數(shù)可化為，∴，

∴原函數(shù)值域?yàn)?sub>．

說明：總結(jié)型值域，變形：或

(5)三角換元法：∵，∴設(shè)，

則

∵，∴，∴，∴，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(6)數(shù)形結(jié)合法：，∴，∴函數(shù)值域?yàn)?sub>．

(7)判別式法：∵恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)?sub>．

由得：　　 ①

①當(dāng)即時(shí)，①即，∴

②當(dāng)即時(shí)，∵時(shí)方程恒有實(shí)根，

∴，∴且，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(8)，

∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．∴，∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(9)(法一)方程法：原函數(shù)可化為：，

∴(其中)，

∴，∴，∴，∴，

∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>．

(法二)數(shù)形結(jié)合法：可看作求點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的連線的斜率的范圍，解略．

例2．若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：原方程可化為，

令，則，，又∵在區(qū)間上是減函數(shù)，

∴，即，

故實(shí)數(shù)的取值范圍為：．

例3．某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2003年度進(jìn)行一系列的促銷活動(dòng)．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷量萬件與年促銷費(fèi)用萬元之間滿足：與成反比例；如果不搞促銷活動(dòng)，化妝品的年銷量只能是1萬件．

已知2003年，生產(chǎn)化妝品的固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元．當(dāng)將每件化妝品的售價(jià)定為“年平均每件成本的150%”與“年平均每件所占促銷費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年產(chǎn)銷量相等．

(1)將2003年的年利潤(rùn)萬元表示為年促銷費(fèi)萬元的函數(shù)；

(2)該企業(yè)2003年的促銷費(fèi)投入多少萬元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？

(注：利潤(rùn)＝收入－生產(chǎn)成本－促銷費(fèi))

解：(1)由題設(shè)知：，且時(shí)，，∴，即，

∴年生產(chǎn)成本為萬元，年收入為．

∴年利潤(rùn)，

∴．

(2)由(1)得，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值．

∴當(dāng)促銷費(fèi)定為萬元時(shí)，年該化妝品企業(yè)獲得最大利潤(rùn)．

(三)例題分析：

例1．求下列函數(shù)的值域：

(1)；　　 (2)；　　 (3)；

(4)；　 (5)；　　　 (6)；

(7)；　 (8)； (9)．

解：(1)(一)公式法(略)

(二)主要方法(范例分析以后由學(xué)生歸納)：

求函數(shù)的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判別式法，基本不等式法，逆求法(反函數(shù)法)，換元法，圖像法，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求函數(shù)的值域等．

(一)主要知識(shí)：

1．函數(shù)的值域的定義；2．確定函數(shù)的值域的原則；3．求函數(shù)的值域的方法．

(四)鞏固練習(xí)：

1．已知的定義域?yàn)?sub>，則的定義域?yàn)?u>．

2．函數(shù)的定義域?yàn)?u>．

(三)例題分析：

例1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，則

　　　 　　　　　　　　　( 　)

解法要點(diǎn)：，，

令且，故．

例2．(1)已知，求；

(2)已知，求；

(3)已知是一次函數(shù)，且滿足，求；

(4)已知滿足，求．

解：(1)∵，

∴(或)．

(2)令()，則，∴，∴．

(3)設(shè)，

則，

∴，，∴．

(4)　 ①，　　　 把①中的換成，得　　 ②，

①②得，∴．

注：第(1)題用配湊法；第(2)題用換元法；第(3)題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第(4)題用方程組法．

例3．設(shè)函數(shù)，

(1)求函數(shù)的定義域；

解：(1)由，解得　　 ①

當(dāng)時(shí)，①不等式解集為；當(dāng)時(shí)，①不等式解集為，

∴的定義域?yàn)?sub>．

(二)主要方法：

1．求函數(shù)解析式的題型有：

(1)已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；

(2)已知求或已知求：換元法、配湊法；

(3)已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；

(4)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；

(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等．

2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：

(1)給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；

(2)實(shí)際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；

(3)已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：

①掌握基本初等函數(shù)(尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的定義域；

②若已知的定義域，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由解出．

(一)主要知識(shí)：1．函數(shù)解析式的求解；2．函數(shù)定義域的求解．

(四)鞏固練習(xí)：

1．給定映射，點(diǎn)的原象是　　　

2．下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的函數(shù)是　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　)

3．設(shè)函數(shù)，則＝．