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12．(2010·寧波模擬)某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求

AB至少長2.8 m，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD

的長小0.5 m，∠BCD＝60°，已知建造支架的材料每米

的價(jià)格一定，問怎樣設(shè)計(jì)AB，CD的長，可使建造這個(gè)

支架的成本最低？

解：設(shè)BC＝am(a≥1.4)，CD＝bm，連接BD.

則在△CDB中，(b－)²＝b²+a²－2abcos60°.

∴b＝.

∴b+2a＝+2a.

設(shè)t＝a－1，t≥－1＝0.4，

則b+2a＝+2(t+1)＝3t++4≥7，

等號(hào)成立時(shí)t＝0.5＞0.4，a＝1.5，b＝4.

答：當(dāng)AB＝3 m，CD＝4 m時(shí)，建造這個(gè)支架的成本最低．

11．如圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，

在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時(shí)θ的值．

解：因?yàn)?i>CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∴∠OCP＝120°.

在△POC中，由正弦定理得

＝，∴＝，所以CP＝sinθ.

又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．

因此△POC的面積為

S(θ)＝CP·OCsin120°＝·sinθ·sin(60°－θ)×

＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ)

＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)．

所以當(dāng)θ＝30°時(shí)，S(θ)取得最大值為.

10．線段AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽車以80 km/h的速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛，則運(yùn)動(dòng)開始________h后，兩車的距離最小．解析：如圖所示：設(shè)t h后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD=80t，BE=50t.

因?yàn)?i>AB=200，所以BD=200-80t，

問題就是求DE最小時(shí)t的值．

由余弦定理：DE²=BD²+BE²-2BD·BEcos60°

=(200-80t)²+2500t²-(200-80t)·50t

=12900t²-42000t+40000.

當(dāng)t=時(shí)DE最�。�

答案：

9.有一山坡，坡角為30°，若某人在斜坡的平面上沿著一條與山坡底線成30°角的小路前進(jìn)一段路后，升高了100米，則此人行走的路程為　　　　　　　　　　　　 (　)

A．300 m 　　　　B．400 m　　　　 C．200 m　　　 　D．200 m

解析：如圖，AD為山坡底線，AB為行走路線，BC垂直水平面．

則BC=100，∠BDC=30°，∠BAD=30°，

∴BD=200，AB=2BD=400 米．

答案：B

8．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新的三角形的形狀為　　 (　)

A．銳角三角形 　　　B．直角三角形　　 C．鈍角三角形　 　D．由增加的長度決定

解析：設(shè)增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c²＝a²+b²，a+b>c新的三角形的三邊長為a+x、b+x、c+x，知c+x為最大邊，其對應(yīng)角最大．

而(a+x)²+(b+x)²－(c+x)²＝x²+2(a+b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，則為銳角，那么它為銳角三角形．

答案：A

7.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A．120°　 　　B．105°　　 C．90°　　 　D．75°

解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°+C)＝(sinC+cosC)，

即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0,180°)，

∴C＝120°.

答案：A

6．某人在山頂觀察地面上相距2 500 m的A、B兩個(gè)目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57°，俯角為30°，同時(shí)測得B在南偏東78°，俯角是45°，求山高(設(shè)A、B與山底在同一平面上，計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m)．

解：畫出示意圖(如圖所示)

設(shè)山高PQ=h，則△APQ、△BPQ均為直角三角形，

在圖(1)中，∠PAQ=30°，∠PBQ=45°.

∴AQ=，BQ==h.

在圖(2)中，

∠AQB=57°+78°=135°，AB=2 500，

所以由余弦定理得：

AB²=AQ²+BQ²-2AQ·BQcos∠AQB，

即2 500²=(h)²+h²-2h·h·cos135°=(4+)h²，

∴h=≈984.4(m)．

答：山高約984.4 m.

5．在一個(gè)塔底的水平面上某點(diǎn)測得該塔頂?shù)难鼋菫?i style='mso-bidi-font-style:normal'>θ，由此點(diǎn)向塔底沿直線行走了30 m，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔底前進(jìn)10 m，又測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔的高度為________．

解析：如圖，依題意有PB=BA=30，PC=BC=.在三角形BPC中，由余弦定理可得

cos2θ=

=，所以2θ=30°，4θ=60°，在三角形PCD中，

可得PD=PC·sin4θ=10·=15(m)．

答案：15 m