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2．復(fù)習(xí)時要突出“曲線與方程”這一重點內(nèi)容

曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復(fù)習(xí)時要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標系后，根據(jù)曲線上點適合的共同條件找出動點P(x，y)的縱坐標y和橫坐標x之間的關(guān)系式，即f(x，y)=0為曲線方程，同時還要注意曲線上點具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運用坐標法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標準形式，這時用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般可用直接法、間接代點法、參數(shù)法等求方程。二要引導(dǎo)如何將解析幾何的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關(guān)系進而轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題常化為等式解決，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練。

1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)；

題型1：求軌跡方程

例1．(1)一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。

(2)雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。

解析：(1)(法一)設(shè)動圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，

將圓方程分別配方得：，，

當與相切時，有　　　　 ①

當與相切時，有　　　　 ②

將①②兩式的兩邊分別相加，得，

即　　　　 ③

移項再兩邊分別平方得：

　　　　　 ④

兩邊再平方得：，

整理得，

所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。

(法二)由解法一可得方程，

由以上方程知，動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，所以點的軌跡是焦點為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，

∴，，∴，，

∴，

∴圓心軌跡方程為。

(2)如圖，設(shè)點坐標各為，∴在已知雙曲線方程中，∴

∴已知雙曲線兩焦點為，

∵存在，∴

由三角形重心坐標公式有，即 。

∵，∴。

已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有

即所求重心的軌跡方程為：。

點評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。

例2．(2001上海，3)設(shè)P為雙曲線y²＝1上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是　　 　　　。

解析：(1)答案：x²－4y²＝1

設(shè)P(x₀，y₀)　 ∴M(x，y)

∴　 ∴2x＝x₀，2y＝y₀

∴－4y²＝1x²－4y²＝1

　 點評：利用中間變量法(轉(zhuǎn)移法)是求軌跡問題的重要方法之一。

題型2：圓錐曲線中最值和范圍問題

例3．(1)設(shè)AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點為，則△F₁AB的面積最大為(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.

　　 (2)已知雙曲線的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是(　　 )

　　 A. 　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 2　　　　　　　 D.

　　 (3)已知A(3，2)、B(－4，0)，P是橢圓上一點，則|PA|+|PB|的最大值為(　　 )

　　 A. 10　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

　　 C. 　　　　　　　　　　　　 D.

解析：(1)如圖，由橢圓對稱性知道O為AB的中點，則△F₁OB的面積為△F₁AB面積的一半。又，△F₁OB邊OF₁上的高為，而的最大值是b，所以△F₁OB的面積最大值為。所以△F₁AB的面積最大值為cb。

點評：抓住△F₁AB中為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。

(2)解析：由雙曲線的定義，

得：，

　　 又，所以，從而

　　 由雙曲線的第二定義可得，

　　 所以。又，從而。故選B。

點評：“點P在雙曲線的右支上”是銜接兩個定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成立的條件。利用這個結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。

(3)解析：易知A(3，2)在橢圓內(nèi)，B(－4，0)是橢圓的左焦點(如圖)，則右焦點為F(4，0)。連PB，PF。由橢圓的定義知：

　　 ，

　　 所以。

　　 由平面幾何知識，

，即，

而，

　　 所以。

點評：由△PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。

例4．(1)(06全國1文，21)設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。

(2)(06上海文，21)已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.

①求該橢圓的標準方程；

②若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

③過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。

(3)(06山東文，21)已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為l。

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程。

解析：(1)依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因為Q在橢圓上，

所以，x²=a²(1－y²)， |PQ|²= a²(1－y²)+y²－2y+1=(1－a²)y²－2y+1+a²，

　　　 =(1－a²)(y－ )²－+1+a² 。

因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值，

若1<a<,則當y=－1時, |PQ|取最大值2。

(2)①由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1，

　　 又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標準方程為。

②設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標是(x₀,y₀)，

由	x=	得	x0=2x－1
y=	y0=2y－

由,點P在橢圓上,得，

∴線段PA中點M的軌跡方程是。

③當直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1。

當直線BC不垂直于x軸時,說該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－)，

則,又點A到直線BC的距離d=，

∴△ABC的面積S_△ABC=。

于是S_△ABC=。

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當k=－時,等號成立。

∴S_△ABC的最大值是。

(3)解：設(shè)橢圓方程為

(Ⅰ)由已知得∴所求橢圓方程為。

(Ⅱ)解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：，

由直線與橢圓相交于A、B兩點，，解得。

又由韋達定理得，

。

原點到直線的距離。

.

解法1：對兩邊平方整理得：

(*)，

∵，，整理得：。

　　　 又， ，從而的最大值為，

此時代入方程(*)得　 ，。

所以，所求直線方程為：。

解法2：令，則。

　　　 當且僅當即時，，此時。

　　　 所以，所求直線方程為

解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。

　　　 設(shè)直線l的方程為，

　　　 則直線l與x軸的交點，

　　　 由解法一知且，

　　　 解法1：

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　=

　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　 下同解法一.

　　　 解法2：。

下同解法一。

點評：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問題，主要是三角形的面積、弦長問題。處理韋達定理以及判別式問題啊是解題的關(guān)鍵。

題型3：證明問題和對稱問題

例5．(1)(06浙江理，19)如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)與過點A(2，0)B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=.

(Ⅰ)求橢圓方程；

(Ⅱ)設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點，M為線段AF的中點，求證：∠ATM=∠AFT。

(2)(06湖北理，20)設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

(Ⅰ)、求橢圓的方程；

(Ⅱ)、設(shè)為右準線上不同于點(4，0)的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。

(3)(06上海理，20)在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點。

①求證：“如果直線過點T(3，0)，那么＝3”是真命題；

②寫出(1)中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

解析：(1)(I)過點、的直線方程為

因為由題意得有惟一解，

即有惟一解，

所以　 ()，故

又因為 即　 所以　 從而得　

故所求的橢圓方程為

(II)由(I)得　 故從而

由，解得所以

因為又

得因此

點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

(2)(Ⅰ)依題意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.

故橢圓的方程為 .

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設(shè)M(x₀，y₀).

∵M點在橢圓上，∴y₀＝(4－x₀²).　　　　　　　　　　　 1

又點M異于頂點A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三點共線可以得

P(4，).

從而＝(x₀－2，y₀)，

＝(2，).

∴·＝2x₀－4+＝(x₀²－4+3y₀²).　　　 2

將1代入2，化簡得·＝(2－x₀).

∵2－x₀>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，

故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

解法2：由(Ⅰ)得A(－2，0)，B(2，0).設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

則－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中點Q的坐標為(，)，

依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差

－＝(－2)²+()²－[(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²]

　　　　　　　 �。�(x₁－2) (x₂－2)+y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直線AP的方程為y＝，直線BP的方程為y＝，

而點兩直線AP與BP的交點P在準線x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又點M在橢圓上，則，即　　　　 5

于是將4、5代入3，化簡后可得－＝.

從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。

點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。

(3)證明：①設(shè)過點T(3,0)的直線l交拋物線y²=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

　　 當直線l的鈄率下存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴=3。

　　 當直線l的鈄率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.

當	y2=2x	得ky2－2y－6k=0,則y1y2=－6.
y=k(x－3)

　　 又∵x₁=y, x₂=y,

∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

綜上所述, 命題“如果直線l過點T(3,0),那么=3”是真命題.

②逆命題是：設(shè)直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果=3,那么該直線過點T(3,0).該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,

直線AB的方程為Y=(X+1),而T(3,0)不在直線AB上.

點評：由拋物線y²=2x上的點A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)滿足=3,可得y₁y₂=－6。或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可證得直線AB過點(3,0)；如果y₁y₂=2, 可證得直線AB過點(－1,0),而不過點(3,0)。

例6．(1)(06北京文，19)橢圓C:的兩個焦點為F₁,F₂,點P在橢圓C上，且

　　 (Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程。

(2)(06江蘇，17)已知三點P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。

(Ⅰ)求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

解析：(1)解法一：

(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=，從而b²=a²－c²=4，所以橢圓C的方程為＝1。

(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)。

　 已知圓的方程為(x+2)²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為(－2，1).

　 從而可設(shè)直線l的方程為

　 y=k(x+2)+1,

　 代入橢圓C的方程得

　 (4+9k²)x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

　 因為A，B關(guān)于點M對稱.

　 所以

　 解得，

　 所以直線l的方程為

　 即8x-9y+25=0.

　 (經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為(x+2)²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為(－2，1).

　 設(shè)A，B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

　 ①

　 ②

由①－②得：　　　　　　　 ③

因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x₁+ x₂=－4，y₁+ y₂=2。

代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝(x+2)，

即8x－9y+25=0。

(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)

(2)①由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為(a>b>0),其半焦距c=6,∴,b²=a²-c²=9。

所以所求橢圓的標準方程為

②點P(5,2)、F₁(-6,0)、F₂(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P^，(2，5)、F₁^，(0，-6)、F₂^，(0，6)。

設(shè)所求雙曲線的標準方程為。

由題意知，半焦距c₁=6，。

,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16. 所以所求雙曲線的標準方程為。

點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。

題型4：知識交匯題

例7．(06遼寧,20)已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

(II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。

解析：(I)證明1:

整理得:

設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則

即

整理得:

故線段是圓的直徑

證明2:

整理得:

……..(1)

設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即

去分母得:

點滿足上方程,展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

證明3:

整理得:

……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

當y=p時,d有最小值,由題設(shè)得

.

解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

又因

所以圓心的軌跡方程為

設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則

因為x-2y+2=0與無公共點,

所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為

將(2)代入(3)得

解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則

圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則

又因

當時,d有最小值,由題設(shè)得

_試題詳情