新課標同步單元練習八年級數(shù)學北師大版深圳專版
注：當前書本只展示部分頁碼答案，查看完整答案請下載作業(yè)精靈APP。練習冊新課標同步單元練習八年級數(shù)學北師大版深圳專版答案主要是用來給同學們做完題方便對答案用的，請勿直接抄襲。
1. 我們知道，二次根式乘除法有如下性質(zhì)：$\sqrt{a}\cdot\sqrt=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}=\sqrt{\frac{a}}(a\geq0,b＞0)$，那么二次根式加法是否具有類似性質(zhì)呢？請同學們根據(jù)下列問題開啟探索之旅：
(1)請你舉些例子比較$\sqrt{a}+\sqrt$與$\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$的大小，并提出猜想；（至少舉 3 例）
(2)請利用學過的知識說明你的猜想。
答案：(1)例子：當$a = 1$，$b = 1$時，$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$，$\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}\approx1.414$，$2＞\sqrt{2}$；當$a = 2$，$b = 2$時，$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\approx2.828$，$\sqrt{2 + 2}=2$，$2\sqrt{2}＞2$；當$a = 0$，$b = 0$時，$\sqrt{0}+\sqrt{0}=0$，$\sqrt{0 + 0}=0$，$0 = 0$。猜想：$\sqrt{a}+\sqrt\geq\sqrt{a + b}(a\geq0,b\geq0)$，當且僅當$a = 0$或$b = 0$時等號成立。
(2)證明：$(\sqrt{a}+\sqrt)^{2}=a + 2\sqrt{ab}+b$，$(\sqrt{a + b})^{2}=a + b$，因為$a\geq0$，$b\geq0$，所以$2\sqrt{ab}\geq0$，則$(\sqrt{a}+\sqrt)^{2}\geq(\sqrt{a + b})^{2}$，即$\sqrt{a}+\sqrt\geq\sqrt{a + b}$。
2. 鵬鵬在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，例如，$3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2}$，于是鵬鵬進行了以下探索：設(shè)$p + q\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^{2}$（其中$p$，$q$，$m$，$n$均為正整數(shù)），則有$p + q\sqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mn\sqrt{2}$（有理數(shù)和無理數(shù)分別對應相等），所以$p = m^{2}+2n^{2}$，$q = 2mn$，這樣鵬鵬就找到了一種把式子$p + q\sqrt{2}$化為平方式的方法。請你仿照鵬鵬的方法解決下列問題：
(1)當$a$，$b$，$c$，$d$均為正整數(shù)時，若$a + b\sqrt{3}=(c + d\sqrt{3})^{2}$，用含$c$，$d$的式子分別表示$a$，$b$，$a=$________，$b=$________；
(2)若$x + 4\sqrt{7}=(m + n\sqrt{7})^{2}$，當$x$，$m$，$n$均為正整數(shù)時，求$x$的值；
(3)化簡：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$。
答案：(1)$c^{2}+3d^{2}$，$2cd$
解析：$(c + d\sqrt{3})^{2}=c^{2}+2cd\sqrt{3}+3d^{2}$，則$a = c^{2}+3d^{2}$，$b = 2cd$。
(2)11 或 29
解析：$(m + n\sqrt{7})^{2}=m^{2}+2mn\sqrt{7}+7n^{2}$，則$2mn = 4$，$mn = 2$，$m$，$n$為正整數(shù)，$m = 1$，$n = 2$時，$x = 1^{2}+7×2^{2}=1 + 28 = 29$；$m = 2$，$n = 1$時，$x = 2^{2}+7×1^{2}=4 + 7 = 11$
(3)$\sqrt{5}-2$
解析：$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^{2}}=\sqrt{5}-2$（因為$\sqrt{5}＞2$）。
