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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊人教版

2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊人教版

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2.已知集合$M$，$N$滿足$M\cup N = \{1,2,3,4,5,6\}$，$M\cap N = \{1,3\}$，則集合$M$，$N$可能是（
BD
）
A.$M = \{1,3,5\}$，$N = \{2,4,6\}$
B.$M = \{1,3,5,6\}$，$N = \{1,2,3,4\}$
C.$M = \{1,3,4\}$，$N = \{1,3,6\}$
D.$M = \{1,2,3,5\}$，$N = \{1,3,4,6\}$
答案：BD
解析：A選項$M\cup N = \{1,2,3,4,5,6\}$，但$M\cap N=\varnothing$，不符合；B選項$M\cup N = \{1,2,3,4,5,6\}$，$M\cap N = \{1,3\}$，符合；C選項$M\cup N = \{1,3,4,6\}$，不包含2,5，不符合；D選項$M\cup N = \{1,2,3,4,5,6\}$，$M\cap N = \{1,3\}$，符合。
3.若集合$A = \{ x | -2 ＜ x ＜ 1 \}$，$B = \{ x | x ＜ -1$或$x ＞ 3\}$，則$A\cap B=$（
A
）
A.$\{ x | -2 ＜ x ＜ -1 \}$
B.$\{ x | -2 ＜ x ＜ 3 \}$
C.$\{ x | -1 ＜ x ＜ 1 \}$
D.$\{ x | 1 ＜ x ＜ 3 \}$
答案：A
解析：$A$是$-2 ＜ x ＜ 1$，$B$是$x ＜ -1$或$x ＞ 3$，交集為$-2 ＜ x ＜ -1$，即$\{ x | -2 ＜ x ＜ -1 \}$。
【例3】已知集合$A = \{ x | 1\leqslant x\leqslant 2 \}$，集合$B = \{ x | x\geqslant a \}$，若$A\cup B = B$，則實數(shù)$a$的取值范圍是
$a\leqslant1$
。
答案：$a\leqslant1$
解析：因為$A\cup B = B$，所以$A\subseteq B$。$A$中最小元素為1，所以$a\leqslant1$。
4.若將本例中的條件“$A\cup B = B$”改為“$A\cap B=\varnothing$”，則$a$的取值范圍是
$a ＞ 2$
。
答案：$a ＞ 2$
解析：$A = \{ x | 1\leqslant x\leqslant 2 \}$，$B = \{ x | x\geqslant a \}$，要使$A\cap B=\varnothing$，則$a ＞ 2$。
5. 回類練 已知集合$A = \{ x|m - 2\leqslant x\leqslant m + 1\}$，$B = \{ x|3\lt x\lt7\}$。
(1)當$m = 3$時，求$A\cap B$；
(2)若$A\cap B = A$，求$m$的取值范圍。

答案：1. （1）當$m = 3$時：首先求集合$A$：已知$A=\{x|m - 2\leq x\leq m + 1\}$，把$m = 3$代入，得$A=\{x|3 - 2\leq x\leq 3+1\}$，即$A=\{x|1\leq x\leq 4\}$。然后求$A\cap B$：又$B = \{x|3\lt x\lt 7\}$，根據(jù)交集定義$A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}$。所以$A\cap B=\{x|3\lt x\leq 4\}$。2. （2）因為$A\cap B = A$：所以$A\subseteq B$。則有$\begin{cases}m - 2\gt 3\\m + 1\lt 7\end{cases}$。解不等式$m - 2\gt 3$：移項得$m\gt 3 + 2$，即$m\gt 5$。解不等式$m + 1\lt 7$：移項得$m\lt 7 - 1$，即$m\lt 6$。綜上，（1）$A\cap B=\{x|3\lt x\leq 4\}$；（2）$m$的取值范圍是$\{m|5\lt m\lt 6\}$。
6. 拔高練 已知集合$A = \{ x|x^{2}+5x = 0\}$，$B=\{ x|x^{2}+2(m + 1)x + m^{2}-3 = 0\}$。
(1) 當$m = 0$時，寫出$A\cup B$的子集；
(2) 若$A\cap B = B$，求實數(shù)$m$的取值范圍。

答案：
1. 首先求解集合$A$：
對于方程$x^{2}+5x = 0$，因式分解得$x(x + 5)=0$。
解得$x = 0$或$x=-5$，所以$A=\{-5,0\}$。
2. （1）當$m = 0$時：
對于集合$B$，方程$x^{2}+2(m + 1)x+m^{2}-3 = 0$變?yōu)?x^{2}+2x - 3 = 0$。
因式分解得$(x + 3)(x - 1)=0$。
解得$x=-3$或$x = 1$，所以$B=\{-3,1\}$。
則$A\cup B=\{-5,-3,0,1\}$。
3. （2）因為$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$。
①當$B=\varnothing$時：
對于一元二次方程$x^{2}+2(m + 1)x+m^{2}-3 = 0$，其判別式$\Delta=[2(m + 1)]^{2}-4(m^{2}-3)\lt0$。
展開$\Delta$：$\Delta = 4(m^{2}+2m + 1)-4m^{2}+12\lt0$。
即$4m^{2}+8m + 4-4m^{2}+12\lt0$。
化簡得$8m+16\lt0$，解得$m\lt - 2$。
②當$B$是單元素集時：
$\Delta=[2(m + 1)]^{2}-4(m^{2}-3)=0$。
展開得$4m^{2}+8m + 4-4m^{2}+12 = 0$，即$8m+16 = 0$，解得$m=-2$。
此時方程為$x^{2}-2x + 1 = 0$，即$(x - 1)^{2}=0$，$x = 1$，$B=\{1\}$，不滿足$B\subseteq A$。
③當$B=\{-5,0\}$時：
由韋達定理$\left\{\begin{array}{l}-2(m + 1)=-5 + 0\\m^{2}-3=-5×0\end{array}\right.$。
對于$-2(m + 1)=-5$，解得$m=\frac{3}{2}$；對于$m^{2}-3 = 0$，解得$m=\pm\sqrt{3}$，方程組無解。
綜上，（1）$A\cup B=\{-5,-3,0,1\}$；（2）實數(shù)$m$的取值范圍是$m\lt - 2$。