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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學必修第一冊人教版

2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學必修第一冊人教版

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【例3】已知全集$U = R$，集合$A=\{x|2\lt x\lt9\}$，$B = \{x|-2 - x\leqslant0\leqslant5 - x\}$。
(1)求$A\cap B$，$B\cup(\complement_{U}A)$；
(2)若集合$C = \{x|a\leqslant x\leqslant2 - a\}$，且$C\cup B = B$，求實數(shù)$a$的取值范圍。

答案：
1. 首先求解集合$B$：
對于$B = \{x|-2\leq x\leq0\}\cup\{x|5 - x\geq0\}$，解$5 - x\geq0$得$x\leq5$，所以$B=\{x|-2\leq x\leq5\}$。
已知$A = \{x|2\lt x\lt9\}$，$\complement_{U}A=\{x|x\leq2或x\geq9\}$。
2. 然后求$A\cap B$和$B\cup(\complement_{U}A)$：
（1）求$A\cap B$：
根據(jù)交集的定義$A\cap B=\{x|x\in A且x\in B\}$，因為$A = \{x|2\lt x\lt9\}$，$B=\{x|-2\leq x\leq5\}$，所以$A\cap B=\{x|2\lt x\leq5\}$。
求$B\cup(\complement_{U}A)$：
根據(jù)并集的定義$B\cup(\complement_{U}A)=\{x|x\in B或x\in\complement_{U}A\}$，$B=\{x|-2\leq x\leq5\}$，$\complement_{U}A=\{x|x\leq2或x\geq9\}$，所以$B\cup(\complement_{U}A)=\{x|x\leq5或x\geq9\}$。
3. 最后求$a$的取值范圍：
（2）已知$C = \{x|a\leq x\leq2 - a\}$，且$C\cup B = B$，則$C\subseteq B$。
當$C=\varnothing$時，$a\gt2 - a$，即$2a\gt2$，解得$a\gt1$。
當$C\neq\varnothing$時，$\begin{cases}a\leq2 - a\\a\geq - 2\\2 - a\leq5\end{cases}$。
由$a\leq2 - a$得$2a\leq2$，即$a\leq1$；由$a\geq - 2$；由$2 - a\leq5$得$-a\leq3$，即$a\geq - 3$。
綜合得$-2\leq a\leq1$。
綜上，$a$的取值范圍是$\{a|a\geq - 2\}$。
綜上，（1）$A\cap B=\boldsymbol{\{x|2\lt x\leq5\}}$，$B\cup(\complement_{U}A)=\boldsymbol{\{x|x\leq5或x\geq9\}}$；（2）$a$的取值范圍是$\boldsymbol{\{a|a\geq - 2\}}$。
4.若將本例第(2)小題中的條件“$C\cup (\complement_U B)=\mathbf{R}$”改為“$C\cap (\complement_U B) = C$”，求實數(shù)$a$的取值范圍。
答案：解析：$C\cap (\complement_U B) = C$即$C\subseteq \complement_U B$，$\complement_U B = \{ x | x < -2$或$x > 5 \}$。若集合$C\neq\varnothing$，則$2 - a < -2$，解得$a > 4$；若集合$C=\varnothing$，則$a > 2 - a$，即$a > 1$，此時也滿足$C\subseteq \complement_U B$。綜上，$a > 4$。正確答案為$a > 4$。
5.若集合$A = \{ x | x\leqslant a \}$，$B = \{ x | 1\leqslant x\leqslant 2 \}$，且$A\cup (\complement_U B)=\mathbf{R}$，則實數(shù)$a$的取值范圍是
$a\geqslant 2$
。
答案：$a\geqslant 2$
解析：$\complement_U B = \{ x | x ＜ 1$或$x ＞ 2 \}$，$A\cup (\complement_U B)=\mathbf{R}$，則$a\geqslant 2$。
6. $已知全集U = R,集合P=\{x|x\leqslant0,或x\geqslant6\},M = \{x|a\lt x\lt2a + 4\}.$
(1)求集合$\complement_{U}P$；
(2)若$M\cap(\complement_{U}P)=M$,求實數(shù)$a$的取值范圍.

答案：
1. 求$\complement_{U}P$：
已知$P = \{x|x\lt0$，或$x\geq6\}$，$U = R$。
根據(jù)補集的定義$\complement_{U}P=\{x|0\leq x\lt6\}$。
2. 求實數(shù)$a$的取值范圍：
因為$M\cap(\complement_{U}P)=M$，所以$M\subseteq\complement_{U}P$。
分兩種情況討論：
當$M = \varnothing$時，滿足$M\subseteq\complement_{U}P$。
對于$M=\{x|a\lt x\lt2a + 4\}$，由$a\geq2a + 4$，解不等式$a-2a\geq4$，即$-a\geq4$，得$a\leq - 4$。
當$M\neq\varnothing$時，即$a\lt2a + 4$（$a\gt - 4$），且$M\subseteq\complement_{U}P=\{x|0\leq x\lt6\}$，則$\begin{cases}a\geq0\\2a + 4\leq6\end{cases}$。
解不等式$2a+4\leq6$，移項得$2a\leq6 - 4$，即$2a\leq2$，解得$a\leq1$。
結(jié)合$a\gt - 4$，所以$0\leq a\leq1$。
綜上，實數(shù)$a$的取值范圍是$\{a|a\leq - 4$或$0\leq a\leq1\}$。
綜上，（1）$\complement_{U}P=\{x|0\leq x\lt6\}$；（2）$a$的取值范圍是$\{a|a\leq - 4$或$0\leq a\leq1\}$。