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2025年同步解析與測評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊人教版

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【例1】(1)若正數(shù)$a,b$滿足$3a + 4b=ab$，則$a + b$的最小值為（
C
）
A.$6 + 2\sqrt{3}$
B.$7 + 2\sqrt{3}$
C.$7 + 4\sqrt{3}$
D.$7 - 4\sqrt{3}$
答案：C
解析：由$3a + 4b=ab$得$\frac{3}+\frac{4}{a}=1$，則$a + b=(a + b)\left(\frac{4}{a}+\frac{3}\right)=7+\frac{4b}{a}+\frac{3a}\geq7 + 2\sqrt{\frac{4b}{a}\cdot\frac{3a}}=7 + 4\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}=\frac{3a}$時(shí)等號(hào)成立，選C。
(2)多選題下列命題中正確的是（
CD
）
A.任意非零實(shí)數(shù)$a,b$，都有$\frac{a}+\frac{a}\geq2$
B.當(dāng)$x＞1$時(shí)，$x+\frac{1}{x - 1}$的最小值是2
C.當(dāng)$0＜x＜10$時(shí)，$\sqrt{x(10 - x)}$的最大值是5
D.若正數(shù)$x,y$滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=3$，則$2x + y$的最小值為3
答案：CD
解析：A.當(dāng)$a,b$異號(hào)時(shí)，$\frac{a}+\frac{a}\leq - 2$，不成立；
B.$x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1=3$，最小值是3，不成立；
C.$\sqrt{x(10 - x)}\leq\frac{x + 10 - x}{2}=5$，當(dāng)且僅當(dāng)$x = 10 - x$，即$x = 5$時(shí)等號(hào)成立，成立；
D.$2x + y=\frac{1}{3}(2x + y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(5+\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}\right)\geq\frac{1}{3}\left(5 + 2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{2y}{x}}\right)=3$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即$x = y = 1$時(shí)等號(hào)成立，成立，選CD。
【例2】若當(dāng)$x＞1$時(shí)，不等式$x+\frac{1}{x - 1}\geq a$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的最大值為
3
。
答案：3
解析：$x+\frac{1}{x - 1}=x - 1+\frac{1}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1=3$，當(dāng)且僅當(dāng)$x - 1=\frac{1}{x - 1}$，即$x = 2$時(shí)等號(hào)成立，所以$a\leq3$，$a$的最大值為3。
1.若$0＜x＜\frac{1}{4}$，則$x(1 - 4x)$取最大值時(shí)$x$的值是（
C
）
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{10}$
答案：C
解析：$x(1 - 4x)=\frac{1}{4}×4x(1 - 4x)\leq\frac{1}{4}×\left(\frac{4x + 1 - 4x}{2}\right)^{2}=\frac{1}{16}$，當(dāng)且僅當(dāng)$4x=1 - 4x$，即$x=\frac{1}{8}$時(shí)等號(hào)成立，選C。
2.若對任意的正數(shù)$a,b$，滿足$a + 3b - 1=0$，則$\frac{3}{a}+\frac{1}$的最小值為
12
。
答案：12
解析：由$a + 3b=1$得$\frac{3}{a}+\frac{1}=(a + 3b)\left(\frac{3}{a}+\frac{1}\right)=6+\frac{9b}{a}+\frac{a}\geq6 + 2\sqrt{\frac{9b}{a}\cdot\frac{a}}=12$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{9b}{a}=\frac{a}$，即$a = 3b=\frac{1}{2}$時(shí)等號(hào)成立，最小值為12。
3.若兩個(gè)正數(shù)$x,y$滿足$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，并且$x + 2y＞2m - 1$恒成立，則實(shí)數(shù)$m$的取值范圍是
$(-\infty,\frac 92)$
。
答案：$(-\infty,\frac 92)$
解析：$x + 2y=(x + 2y)\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)=4+\frac{4y}{x}+\frac{x}{y}\geq4 + 2\sqrt{\frac{4y}{x}\cdot\frac{x}{y}}=8$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4y}{x}=\frac{x}{y}$，即$x = 2y = 4$時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?x + 2y＞2m - 1$恒成立，所以$8＞2m - 1$，解得$m＜\frac{9}{2}$，即$m\in(-\infty,\frac{9}{2})$，
【例3】某單位用木料制作的框架
示意圖如圖所示，框架的下部是邊
長分別為$x$，$y$（單位：m）的矩形，$y$
上部是等腰直角三角形.要求框架
圍成的總面積為$8m^{2}$，則$x$，$y$分別為多少時(shí)
用料最?。?/div>
答案：
1. 首先，根據(jù)面積公式列出方程：
已知框架下部是矩形（面積為$xy$），上部是等腰直角三角形（面積為$\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{4}$），且總面積$S = xy+\frac{x^{2}}{4}=8$。
由此可得$y=\frac{8 - \frac{x^{2}}{4}}{x}=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
2. 然后，計(jì)算框架用料總長度$L$的表達(dá)式：
框架用料總長度$L = 2x + 2y+2×\frac{\sqrt{2}x}{2}$。
將$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$代入上式得：
$L = 2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x$。
展開式子：$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
3. 接著，利用基本不等式求$L$的最小值：
根據(jù)基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0,b\gt0$，當(dāng)且僅當(dāng)$a = b$時(shí)等號(hào)成立），對于$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$，這里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b = \frac{16}{x}$。
則$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
先計(jì)算$2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$：
$2\sqrt{16(\frac{3}{2}+\sqrt{2})}=2×4\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}=8\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2}}=8(\sqrt{2}+1)$。
當(dāng)且僅當(dāng)$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$時(shí)取等號(hào)。
解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$：
即$x^{2}=\frac{16}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}=\frac{16( \frac{3}{2}-\sqrt{2})}{(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})}$。
因?yàn)?(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，所以$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$。
則$x^{2}=16×2( \frac{3}{2}-\sqrt{2}) = 16(3 - 2\sqrt{2})=(4\sqrt{2}-4)^{2}$，又$x\gt0$，所以$x = 4\sqrt{2}-4$。
當(dāng)$x = 4\sqrt{2}-4$時(shí)，$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$，把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$：
$y=\frac{8}{4\sqrt{2}-4}-\frac{4\sqrt{2}-4}{4}$。
對$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}$分母有理化，$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{(4\sqrt{2}-4)(4\sqrt{2}+4)}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{32 - 16}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{16}=2\sqrt{2}+2$，$\frac{4\sqrt{2}-4}{4}=\sqrt{2}-1$。
所以$y = 2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+3$。
解：設(shè)框架用料總長度為$L$。
由$xy+\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=8$，得$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
$L = 2x + 2y+\sqrt{2}x=2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
根據(jù)基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)$，這里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b=\frac{16}{x}$，則$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
因?yàn)?2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}=8(\sqrt{2}+1)$，當(dāng)且僅當(dāng)$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$時(shí)取等號(hào)。
解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$得$x = 4\sqrt{2}-4$。
把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$得$y=\sqrt{2}+3$。
所以當(dāng)$x=(4\sqrt{2}-4)m$，$y = (\sqrt{2}+3)m$時(shí)，用料最省。