2025年同步解析與測(cè)評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版
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【基礎(chǔ)鞏固】1.下列對(duì)象能構(gòu)成集合的是（
D
）
A.高一年級(jí)全體較胖的學(xué)生
B.$\sin30°,\sin45°,\cos60°,1$
C.所有很大的數(shù)
D.平面內(nèi)到$\triangle ABC$三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)
答案：D
解析：A“較胖”無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn)，不能構(gòu)成集合；B$\sin30°=\cos60°=\frac{1}{2}$，元素重復(fù)，集合元素互異，但對(duì)象本身能構(gòu)成集合，只是元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，原答案選D；C“很大”無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn)，不能構(gòu)成集合；D平面內(nèi)到三角形三頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是外心，唯一確定，能構(gòu)成集合，選D。
【基礎(chǔ)鞏固】2.若以集合A中的四個(gè)元素a,b,c,d為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是（
A
）
A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形
答案：A
解析：集合元素互異，所以a,b,c,d互不相等。梯形四邊可以互不相等；平行四邊形對(duì)邊相等，至少有兩組相等元素；菱形四邊相等，四個(gè)元素相同；矩形對(duì)邊相等，至少兩組相等元素，所以選A。
【基礎(chǔ)鞏固】3.若集合A中的元素滿(mǎn)足$x - 1\leq\sqrt{3}$，且$x\in\mathbb{R}$，則下列各式正確的是（
D
）
A.3∈A，且-3?A
B.3∈A，且-3∈A
C.3?A，且-3?A
D.3?A，且-3∈A
答案：D
解析：由$x - 1\leq\sqrt{3}$得$x\leq1 + \sqrt{3}\approx2.732$。3＞2.732，所以3?A；-3≤2.732，所以-3∈A，選D。
【基礎(chǔ)鞏固】4.下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是（
B
）
①$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$；②$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$；③0∈$\mathbb{N}^*$；④$|-4|\notin\mathbb{N}^*$.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：①$\pi$是實(shí)數(shù)，所以$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$，正確；②$\sqrt{3}$是無(wú)理數(shù)，所以$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$，正確；③$\mathbb{N}^*$是正整數(shù)集，0?$\mathbb{N}^*$，錯(cuò)誤；④$|-4|=4\in\mathbb{N}^*$，錯(cuò)誤。正確個(gè)數(shù)為2，選B。
【基礎(chǔ)鞏固】5.已知集合A中含有元素1,4,a，且實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足$a^2\in A$，求實(shí)數(shù)a的值.
答案：-1或0或±2
解析：因?yàn)?a^2∈A$，集合A={1,4,a}，所以$a^2=1$或$a^2=4$或$a^2=a$。
- 當(dāng)$a^2=1$時(shí)，$a=±1$。若$a=1$，集合A={1,4,1}，元素重復(fù)，舍去；若$a=-1$，集合A={1,4,-1}，元素互異，符合題意。
- 當(dāng)$a^2=4$時(shí)，$a=±2$，此時(shí)集合A={1,4,2}或{1,4,-2}，元素均互異，符合題意。
- 當(dāng)$a^2=a$時(shí)，$a=0$或$a=1$。若$a=1$，元素重復(fù)，舍去；若$a=0$，集合A={1,4,0}，元素互異，符合題意。
綜上，實(shí)數(shù)$a$的值為-1或0或±2。
【拓展提高】6.若集合A中含有元素2,m - 3,m，且0∈A，則實(shí)數(shù)m=（
B
）
A.0 B.0或3 C.3 D.1
答案：B
解析：因?yàn)?∈A，所以m - 3=0或m=0。m - 3=0時(shí)，m=3，集合A={2,0,3}；m=0時(shí)，集合A={2,-3,0}，均符合元素互異，所以m=0或3，選B。
【拓展提高】7.下列關(guān)系正確的是（
ACD
）
A.$\frac{1}{2}\in\mathbb{R}$
B.$|-3|\notin\mathbb{N}$
C.$-\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$
D.$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}$
答案：ACD
解析：A$\frac{1}{2}$是實(shí)數(shù)，正確；B$|-3|=3\in\mathbb{N}$，錯(cuò)誤；C$-\sqrt{3}$是無(wú)理數(shù)，正確；D自然數(shù)集是有理數(shù)集子集，正確，所以選ACD。
【拓展提高】8.由實(shí)數(shù)x,-x,|x|,$\sqrt{x^2}$,$-\sqrt[3]{x^3}$所構(gòu)成的集合中最多含有
2
個(gè)元素.
答案：2
解析：$\sqrt{x^2}=|x|$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$。當(dāng)x＞0時(shí)，x,-x,|x|=x，$\sqrt{x^2}=x$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$，集合為{x,-x}，2個(gè)元素；當(dāng)x=0時(shí)，均為0，1個(gè)元素；當(dāng)x＜0時(shí)，x,-x=-x,|x|=-x，集合為{x,-x}，2個(gè)元素，所以最多2個(gè)元素。
【拓展提高】9.已知集合A中含有元素$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$，若1∈A，則a的值為
0
，$a^{2000}$的值為
0
.
答案：0；0
解析：因?yàn)?∈A，集合A={$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$}，所以分情況討論：
- 當(dāng)$a + 2=1$時(shí)，$a=-1$，則$(a + 1)^2=0$，$a^2 + 3a + 3=1 - 3 + 3=1$，集合為{1,0,1}，元素重復(fù)，舍去。
- 當(dāng)$(a + 1)^2=1$時(shí)，$a + 1=±1$，即$a=0$或$a=-2$。
若$a=0$，則$a + 2=2$，$a^2 + 3a + 3=3$，集合為{2,1,3}，元素互異，符合題意。
若$a=-2$，則$a + 2=0$，$a^2 + 3a + 3=4 - 6 + 3=1$，集合為{0,1,1}，元素重復(fù)，舍去。
- 當(dāng)$a^2 + 3a + 3=1$時(shí)，$a^2 + 3a + 2=0$，即$(a + 1)(a + 2)=0$，解得$a=-1$或$a=-2$，均已舍去。
綜上，$a=0$，則$a^{2000}=0^{2000}=0$。
10.集合$A$是由形如$m+\sqrt{3}n(m\in Z,n\in Z)$的數(shù)構(gòu)成的，試分別判斷$a = -\sqrt{3}$，$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$，
$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$與集合$A$的關(guān)系.
答案：解：
- 對(duì)于$a = -\sqrt{3}$：
可寫(xiě)成$a = 0 + ( - 1)×\sqrt{3}$，其中$m = 0\in Z$，$n=-1\in Z$，所以$a\in A$。
- 對(duì)于$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$：
對(duì)其化簡(jiǎn)$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{3+\sqrt{3}}{9 - 3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{3}$。
因?yàn)?\frac{1}{2}\notin Z$，$\frac{1}{6}\notin Z$，所以$b\notin A$。
- 對(duì)于$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$：
根據(jù)完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，這里$a = 1$，$b = 2\sqrt{3}$，則$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}=1-4\sqrt{3}+12=13+( - 4)\sqrt{3}$。
其中$m = 13\in Z$，$n=-4\in Z$，所以$c\in A$。
綜上，$a\in A$，$b\notin A$，$c\in A$。
