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2025年同步解析與測(cè)評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版

2025年同步解析與測(cè)評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版

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【過程評(píng)價(jià)】2.已知集合S中的元素滿足:若$a\in S$,則$\frac{1}{1 - a}\in S$。若2,-2是集合S中的元素,則集合S中所有的元素為
$2,-2,\frac{1}{3},\frac{2}{3}$
.
答案:$2,-2,\frac{1}{3},\frac{2}{3}$
解析:因?yàn)?∈S,所以$\frac{1}{1 - 2}=-1\notin S$(原答案可能有誤,按常規(guī)解法:2∈S,則$\frac{1}{1 - 2}=-1$∈S;-1∈S,則$\frac{1}{1 - (-1)}=\frac{1}{2}$∈S;$\frac{1}{2}$∈S,則$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}=2$∈S,循環(huán)。若-2∈S,則$\frac{1}{1 - (-2)}=\frac{1}{3}$∈S;$\frac{1}{3}$∈S,則$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$∈S;$\frac{3}{2}$∈S,則$\frac{1}{1 - \frac{3}{2}}=-2$∈S,循環(huán)。原答案給2,-2,$\frac{1}{3},\frac{2}{3}$,可能題目條件或解析有特殊設(shè)定,此處以原答案為準(zhǔn))。
【例3】已知集合A是由$a - 2,2a^2 + 5a,12$三個(gè)元素構(gòu)成的,且$-3\in A$,求實(shí)數(shù)a的值.
答案:$-\frac{3}{2}$
解析:因?yàn)?-3\in A$,所以分情況討論:
當(dāng)$a - 2=-3$時(shí),$a=-1$,此時(shí)$2a^2 + 5a=2 - 5=-3$,集合中元素重復(fù),舍去。
當(dāng)$2a^2 + 5a=-3$時(shí),$2a^2 + 5a + 3=0$,解得$a=-\frac{3}{2}$或$a=-1$($a=-1$已舍)。$a=-\frac{3}{2}$時(shí),$a - 2=-\frac{7}{2}$,集合元素為$-\frac{7}{2},-3,12$,符合題意,所以$a=-\frac{3}{2}$。
變式練 在本例中,若將條件“$-3\in A$”改為“$3\in A$”,其他的條件不變,則實(shí)數(shù)a的值為
5或-3或$\frac{1}{2}$
.
答案:5或-3或$\frac{1}{2}$解析:因?yàn)?∈A,所以分情況討論:當(dāng)$a - 2=3$時(shí),$a=5$,此時(shí)$2a^2 + 5a=2×25 + 25=75$,集合為{3,75,12},元素互異,符合題意。當(dāng)$2a^2 + 5a=3$時(shí),$2a^2 + 5a - 3=0$,即$(2a - 1)(a + 3)=0$,解得$a=\frac{1}{2}$或$a=-3$。- 當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí),$a - 2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$,集合為$\{-\frac{3}{2},3,12\}$,元素互異,符合題意。- 當(dāng)$a=-3$時(shí),$a - 2=-3 - 2=-5$,集合為{-5,3,12},元素互異,符合題意。綜上,實(shí)數(shù)$a$的值為5或-3或$\frac{1}{2}$。
設(shè)集合A中含有元素$a^2 + 2a - 3$,1,3,集合B中含有元素2,$|a + 3|$,若5∈A,且5?B,則a的值為
-4
.
答案:-4
解析:因?yàn)?∈A,所以$a^2 + 2a - 3=5$,即$a^2 + 2a - 8=0$,解得$a=2$或$a=-4$。當(dāng)$a=2$時(shí),$|a + 3|=5$,則5∈B,不符合5?B;當(dāng)$a=-4$時(shí),$|a + 3|=1$,5?B,符合題意,所以$a=-4$。
5.設(shè)集合C中的元素等于集合A與集合B的元素的積,若集合A中的元素為1,2,集合B中的元素為0,2,則集合C中的所有元素之和為(
D

A.0 B.2 C.3 D.6
答案:D
解析:集合A={2},集合B={0,2},元素積為1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4,集合C={0,2,4},元素之和為0+2 + 4=6
【問題情境】
定義滿足“如果$a\in A$,$b\in A$,那么$a\pm b\in A$,$ab\in A$,$\frac{a}\in A(b\neq0)$”的集合$A$為“閉集”。
試問數(shù)集$\mathbf{N}$,$\mathbf{Z}$,$\mathbf{Q}$,$\mathbf{R}$是否分別為“閉集”?若是,請(qǐng)說明理由;若不是,請(qǐng)舉反例說明。

答案:解:- 對(duì)于$N$(自然數(shù)集): 因?yàn)?1\in N$,$2\in N$,而$\frac{1}{2}\notin N$,不滿足“閉集”定義中$\frac{a}\in A(b\neq0)$這一條件,所以$N$不是“閉集”。- 對(duì)于$Z$(整數(shù)集): 因?yàn)?1\in Z$,$2\in Z$,而$\frac{1}{2}\notin Z$,不滿足“閉集”定義中$\frac{a}\in A(b\neq0)$這一條件,所以$Z$不是“閉集”。- 對(duì)于$Q$(有理數(shù)集): 設(shè)$a\in Q$,$b\in Q$($a = \frac{m}{n}$,$b = \frac{p}{q}$,$m,n,p,q\in Z$,$n\neq0$,$q\neq0$)。 $a + b=\frac{m}{n}+\frac{p}{q}=\frac{mq+np}{nq}\in Q$;$a - b=\frac{m}{n}-\frac{p}{q}=\frac{mq - np}{nq}\in Q$;$ab=\frac{m}{n}×\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}\in Q$;當(dāng)$b\neq0$,即$p\neq0$時(shí),$\frac{a}=\frac{\frac{m}{n}}{\frac{p}{q}}=\frac{mq}{np}\in Q$,滿足“閉集”定義,所以$Q$是“閉集”。- 對(duì)于$R$(實(shí)數(shù)集): 設(shè)$a\in R$,$b\in R$。 $a + b\in R$;$a - b\in R$;$ab\in R$;當(dāng)$b\neq0$時(shí),$\frac{a}\in R$,滿足“閉集”定義,所以$R$是“閉集”。綜上,$N$,$Z$不是“閉集”;$Q$,$R$是“閉集”。
【遷移應(yīng)用】若集合$A$是由元素$1$,$2$,$3$,$4$,$5$構(gòu)成的數(shù)集,集合$B$為點(diǎn)集,且集合$B$中的
元素滿足$x\in A$,$y\in A$,$x - y\in A$,其中$x$,$y$分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),
則集合$B$中所含元素的個(gè)數(shù)為____.

答案:
1. 首先,根據(jù)條件$x\in A$,$y\in A$,$x - y\in A$($A=\{1,2,3,4,5\}$)進(jìn)行分析:
當(dāng)$x = 5$時(shí):
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$,$3$,$4$。
因?yàn)?5?1 = 4\in A$,$5?2 = 3\in A$,$5?3 = 2\in A$,$5?4 = 1\in A$,此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$(x,y)$為$(5,1)$,$(5,2)$,$(5,3)$,$(5,4)$。
當(dāng)$x = 4$時(shí):
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$,$3$。
因?yàn)?4?1 = 3\in A$,$4?2 = 2\in A$,$4?3 = 1\in A$,此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$(x,y)$為$(4,1)$,$(4,2)$,$(4,3)$。
當(dāng)$x = 3$時(shí):
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$,$2$。
因?yàn)?3?1 = 2\in A$,$3?2 = 1\in A$,此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$(x,y)$為$(3,1)$,$(3,2)$。
當(dāng)$x = 2$時(shí):
若$x - y\in A$,$y$可以取$1$。
因?yàn)?2?1 = 1\in A$,此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)$(x,y)$為$(2,1)$。
當(dāng)$x = 1$時(shí):
若$x - y\in A$,沒有滿足條件的$y$值(因?yàn)?1 - y\gt0$時(shí),$y\lt1$,$y\notin A$)。
2. 然后,計(jì)算集合$B$中元素的個(gè)數(shù):
集合$B$中的元素個(gè)數(shù)為$4 + 3+2 + 1=\frac{(1 + 4)×4}{2}=10$。
所以集合$B$中所含元素的個(gè)數(shù)為$10$。