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5．(2005年遼寧卷)如圖所示，已知為坐標(biāo)原點，為軸上一動點，過點作直線交拋物線于兩點，，試問：當(dāng)為何值時，取得最小值，并求出這個最小值。

例6．給定雙曲線.

(1)過點的直線與所給的雙曲線交于，求線段的中點的軌跡方程；

(2)過點能否作直線，使與所給的雙曲線交于，且是線段的中點？若存在，求出直線方程.如果不存在，請說明理由。

［剖析］本題是探索性問題，考查方程思想，韋達(dá)定理及解析幾何中的“設(shè)而不求”的思想。

［解］(1)解法一：設(shè)，

(i)若存在，則由可得，

②①

①

①②，得，代入②，得

有

(ii)當(dāng)不存在時，有，則也合符合上式。

綜合(i)(ii)可知點的軌跡方程為.

解法二：設(shè)，則，

兩式相減，得

當(dāng)，時，，即；

當(dāng)時，也滿足.

故點的軌跡方程為.

(2)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線存在，設(shè)

可得

，

直線的方程為，即

由于方程組無解，故滿足條件的直線不存在。

［警示］探索性試題常見的題型有兩類：一類是給出問題對象的一些特殊關(guān)系，要求解題者探索出一般規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性；通常要求對已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律。第二類是只給出條件，要求解題者論證在此條件下，會不會出現(xiàn)某個結(jié)論，這類問題常以適合某種條件下的結(jié)論“存在”、“不存在”與“是否存在”等詞語表述.解決這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若推出相符的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若推導(dǎo)出矛盾，則否定了存在性。

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

4.直線l經(jīng)過點(1，1)，若拋物線y²=x上存在兩點關(guān)于直線l對稱，求直線l斜率的取值范圍.

例5．設(shè)橢圓方程為，過點M(0，1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點，點P滿足，點N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求：

　 (1)動點P的軌跡方程；

　 (2)的最小值與最大值.

［剖析］本題分成了兩個小問題，第一個小問題是求軌跡問題，可借助于求軌跡的方法處理；對于第二小問，結(jié)合題目的特點可以借助函數(shù)的單調(diào)性來加以解決。

［解］(1)解法一：直線l過點M(0，1)設(shè)其斜率為k，則l的方程為

記、由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo)、是方程組

②

①

　　　　的解. 將①代入②并化簡得，，所以

于是

設(shè)點P的坐標(biāo)為則消去參數(shù)k得　　 ③

當(dāng)k不存在時，A、B中點為坐標(biāo)原點(0，0)，也滿足方程③，所以點P的軌跡方

程為

解法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為，因、在橢圓上，所以

　 ④　　　　　⑤

④-⑤得，所以

當(dāng)時，有　　　 ⑥

并且　　 ⑦　將⑦代入⑥并整理得　　⑧

當(dāng)時，點A、B的坐標(biāo)為(0，2)、(0，－2)，這時點P的坐標(biāo)為(0，0)

也滿足⑧，所以點P的軌跡方程為

(2)解：由點P的軌跡方程知所以

故當(dāng)，取得最小值，最小值為時，取得最大值，

最大值為

［警示］本題主要考查圓錐曲線的最值問題，此類問題的求解策略主要有兩種：(1)幾何法：若題目條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)某一曲線的幾何特征及意義，則可以考慮結(jié)合圖形來加以解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可以首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常用的方法有配方法、判別式法及函數(shù)的單調(diào)性法等。

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

3.對于每個正整數(shù)，是拋物線上的點，過焦點的直線交拋物線于另一點

(1)求證：；

(2)取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點.

試證：.

例4．已知橢圓，試確定的取值范圍，便得橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱。

［剖析］直接設(shè)出這兩個不同點的坐標(biāo)，由點的坐標(biāo)適合橢圓方程、經(jīng)過這兩點的直線斜率的表示、這兩點的中點在橢圓內(nèi)幾個已知條件，列出關(guān)系式，聯(lián)立求解范圍；也可以把這兩個不同的點所確定直線的方程設(shè)出來與橢圓方程聯(lián)立，運用一元二次方程判斷式及韋達(dá)定理分析求解。

⑤

④

③

②

①

［解］解法一：設(shè)是橢圓上關(guān)于直線的兩個對稱點，則

⑥

由①②③得，

聯(lián)立④⑥得代入⑤，得

.

解法二：把對稱點視為直線垂直平分弦之兩端.設(shè)是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，則所在的直線方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去得.

此方程有二個實根，，解之得：(*)

由韋達(dá)定理，得，弦中點縱坐標(biāo)是.

又弦中點是直線與的公共點，

解方程組，得弦中點為，，即，代入(*)式，得，即.

［警示］本題把點和直線放在橢圓中考查，又運用了橢圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，常見有兩種思考方法：一是由條件聯(lián)立方程組整體分析和代換求解；二是應(yīng)用一元二次方程的判別式及韋達(dá)定理，進(jìn)行分析求解.對于圓錐曲線上存在兩點關(guān)于某一條直線對稱，求有關(guān)參數(shù)的問題，可以用參數(shù)表示弦的中點的坐標(biāo)，利用中點在曲線的內(nèi)部和在直線上等條件，建立不等式或不等式組來求出參數(shù)的范圍；或者利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判斷式大于零，建立不等式進(jìn)行求解。

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

1．　橢圓與直線相交于兩點，是的中點.若，直線的斜率為，求橢圓的方程。

例3．過點的直線與拋物線相交于兩點，求中點的軌跡方程。

［剖析］求中點的軌跡方程，可以借助于點差法與韋達(dá)定理來解決。

［解］易知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，再設(shè)，的中點坐標(biāo)為，則，則

兩式作差，得，那么，由于，得，即.

又由于，由，得或，

由于，可得或

從而所得軌跡方程為(或).

［警示］整體運算，本題可以作為一典型題目，它通過整體推理、整體代換等有效地繞過許多中間環(huán)節(jié)使運算直指結(jié)論。它既可優(yōu)化解題過程又可以給我們帶來一種賞心悅目的解題享受.本題借助于整體運算產(chǎn)生中點的軌跡方程，其過程簡練、運算簡單. 在欣賞整體運算的同時，需要注意解析的后部分，借助方程組產(chǎn)生的范圍，這是多同學(xué)容易漏掉的地方，少了它，結(jié)論的完備性就不存在了。

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

1．對于拋物線，稱滿足的點有拋物線的內(nèi)部.若點在拋物線的內(nèi)部，試求直線與拋物線的公共點的個數(shù).

例2．過點作直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，求直線所在的直線方程和線段的長度.

［剖析］由點差法可容易求解出直線方程，知道直線方程，借助弦長公式可求出線段的長度。本題采用了設(shè)而不求的方法，即設(shè)點，代入，作差，借助于直線的斜率解題方法，這種方法稱為“點差法”，是解析幾何解決直線與圓錐曲線問題的常用的技巧之一，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行訓(xùn)練.

［解］設(shè)，由得，顯然不合題意，，，，從而直線的方程為，即.

由，得，

.

［警示］本題還可以設(shè)出直線的方程代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理，求出直線的斜率.直線與橢圓相交，出現(xiàn)中點弦問題的常規(guī)處理方法有三種：(1)通過方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；(2)點差法，設(shè)出兩端點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求解；(3)中點轉(zhuǎn)移法，先設(shè)出一個端點的坐標(biāo)，再借助中點設(shè)出另一個端點的坐標(biāo)，而后消去二次項.

［變式訓(xùn)練］

試題詳情

6．已知直線與拋物線交于兩點，且過拋物線的焦點，點A的坐標(biāo)為，則線段AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離是　　　　　　　 .

[典例精析]

例1．已知直線與曲線恰有一個公共點，求實數(shù)的值。

［剖析］首先考慮曲線是否是拋物線，當(dāng)時，是直線，因此要對進(jìn)行討論，然后就時，聯(lián)立直線與拋物線組成的方程組進(jìn)行求解。

［解］聯(lián)立方程

(1)當(dāng)時，此方程組恰有組解；

(2)當(dāng)時，消去，得；

①當(dāng)，即時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?sub>，方程恰有一組解；

②若，即時，令，得，解得，此時直線與曲線相切，有且只有一個公共點.

綜上所述，當(dāng)，或時，直線與曲線恰有一個公共點。

［警示］本題設(shè)計了兩個思維陷阱，第一個就是同學(xué)們在審請的過程中往往視的情況，誤認(rèn)為對應(yīng)的曲線就是拋物線；第二個是在解答的過程中不討論二次項系數(shù)即的可能，從而漏掉兩個解.另外，在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，應(yīng)特別注意并不是直線與曲線有且只有一個公共點的充要條件.事實上，求曲線與曲線的點的個數(shù)，就是它們的方程組成的方程組解的個數(shù)。在具體解方程時，需要比較消去與消去哪個簡單，從而選擇恰當(dāng)?shù)南麉⒎绞�，還要注意只是是直線與曲線有且只有一個公共點的充分不必要條件.