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1．(2010·葫蘆島模擬)下列各組離子在指定環(huán)境下能大量共存的是(　　 )。

　 A．pH＝1的溶液中：Na⁺、S²^－、K⁺、MnO₄^－

　 B．pH＝7的溶液中：Al³⁺、Cl^－、SO₄²^－、HCO₃^－

　 C．pH＞7的溶液中：Na⁺、AlO₂^－、SO₄²^－、K⁺

　 D．pH＝0的溶液中：Na⁺、K⁺、Fe²⁺、ClO^－

[解析]選C。pH＝1的溶液呈強(qiáng)酸性，故S²^－不能存在，且在酸性條件下，MnO₄^－具有強(qiáng)氧化性也能氧化S²^－；Al³⁺與HCO₃^－相互促進(jìn)水解而不能大量共存；pH＝0時(shí)，溶液呈強(qiáng)酸性，ClO^－具有強(qiáng)氧化性，能把Fe²⁺氧化成Fe³⁺。

試題詳情

⒈　一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有下面的關(guān)系：F＝2V－4

證明：∵　，V+F－E＝2

∴V+F－＝2　∴F＝2V－4

⒉　設(shè)一個(gè)凸多面體有V個(gè)頂點(diǎn)，

求證：它的各面多邊形的內(nèi)角和為(V-2)·360°

解：設(shè)此多面體的上底面有V上個(gè)頂點(diǎn)，下底面有V下個(gè)頂點(diǎn)

將其下底面剪掉，抻成平面圖形則

V上·360°+(V下－2)·180°+(V下－2)·180°

＝(V上+V下－2)·360°

＝(V－2)360°

⒊　有沒(méi)有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體？說(shuō)明理由

證明：∵V+F－E＝2　，　∴V+F＝7+2＝9

∵多面體的頂點(diǎn)數(shù)V≥4，面數(shù)F≥4

∴只有兩種情況V＝4，F(xiàn)＝5或V＝5，F(xiàn)＝4

但是有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有四個(gè)面，不可能是5個(gè)面，

有四個(gè)面的多面體是四面體，也只有四個(gè)頂點(diǎn)，不可能有5個(gè)頂點(diǎn)，

∴沒(méi)有棱數(shù)是7的簡(jiǎn)單多面體

⒋　是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個(gè)面，且每一個(gè)面都有奇數(shù)條邊

證明：設(shè)有一個(gè)多面體，有F(奇數(shù))個(gè)面，并且每個(gè)面的邊數(shù)

也都是奇數(shù)，則

但是上式左端是奇數(shù)個(gè)“奇數(shù)相加”，結(jié)果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這是不可能的

∴不存在這樣的多面體

試題詳情

例1 由歐拉定理證明：正多面體只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種

證明：設(shè)正多面體的每個(gè)面的邊數(shù)為，每個(gè)頂點(diǎn)連有條棱，

令這個(gè)多面體的面數(shù)為，每個(gè)面有條邊，故共有條邊，由于每條邊都是兩個(gè)面的公共邊，故多面體棱數(shù)　 (1)

　令這個(gè)多面體有個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)頂點(diǎn)處有條棱，故共有條棱由于每條棱有兩個(gè)頂點(diǎn)，故多面體棱數(shù)　 (2)

由(1)(2)得：，代入歐拉公式：．

∴　　　 (3)，

∵又，，但，不能同時(shí)大于，

(若，，則有，即這是不可能的)

∴，中至少有一個(gè)等于．令，則，

∴，∴，∴．

同樣若可得．

例2．歐拉定理在研究化學(xué)分子結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用：

1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家是由60個(gè)原子構(gòu)成的分子，它是形如足球的多面體這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，以每一個(gè)頂點(diǎn)為一端點(diǎn)都有三條棱，面的形狀只有五邊形和六邊形，計(jì)算分子中五邊形和六邊形的數(shù)目

解：設(shè)分子中有五邊形個(gè)，六邊形個(gè)

分子這個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)，由歐拉定理得：　 (1)，

另一方面棱數(shù)可由多邊形的邊數(shù)和來(lái)表示，得　 (2)，由(1)(2)得：，

∴分子中五邊形有12個(gè)，六邊形有20個(gè)

例3．一個(gè)正多面體各個(gè)面的內(nèi)角和為，求它的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)

解：由題意設(shè)每一個(gè)面的邊數(shù)為,則，

∴，

∵，∴,

將其代入歐拉公式,得,設(shè)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為,

則，得,即(1),

∵，∴,又，

∴的可能取值為，,,

當(dāng)或時(shí)(1)中無(wú)整數(shù)解；

當(dāng),由(1)得,

∴, ∴，

綜上可知:，，.

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4．歐拉示性數(shù)：在歐拉公式中令，叫歐拉示性數(shù)

說(shuō)明：(1)簡(jiǎn)單多面體的歐拉示性數(shù)．

(2)帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)．例如：長(zhǎng)方體挖去一個(gè)洞連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體

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3．歐拉定理(歐拉公式)：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)有關(guān)系式：

．

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2．五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：

正多面體	頂點(diǎn)數(shù)	面數(shù)	棱數(shù)
正四面體	4	4	6
正六面體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30
正二十面體	12	20	30

試題詳情

1．簡(jiǎn)單多面體：考慮一個(gè)多面體，例如正六面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)(不破裂)變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面如圖：象這樣，表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡(jiǎn)單多面體