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21.(2009·東北四市模擬)如圖，正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB＝4，點(diǎn)E在CC₁上，且CE＝λCC₁.

(1)λ為何值時(shí)，A₁C⊥平面BED；

(2)若A₁C⊥平面BED，求二面角A₁－BD－E的余弦值.

解：法一：(1)連接B₁C交BE于點(diǎn)F，連接AC交BD于點(diǎn)G，

∴AC⊥BD，由垂直關(guān)系得，A₁C⊥BD，

若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥BE，

由垂直關(guān)系可得B₁C⊥BE，

∴△BCE∽△B₁BC，∴＝＝，

∴CE＝1，∴λ＝＝.

(2)連接A₁G，連接EG交A₁C于H，則A₁G⊥BD.

∵A₁C⊥平面BED，

∴∠A₁GE是二面角A₁－BD－E的平面角.

∵A₁G＝3，EG＝，A₁E＝，

∴cos∠A₁GE＝＝，

法二：(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，射線DC為y軸的正半軸，射線DD₁為z軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系D－xyz.

依題設(shè)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A₁(2,0,4)，

∵CE＝λCC₁＝4λ，∴E(0,2,4λ)，

∴＝(2,2,0)，＝(2,0,4)，

＝(－2,2，－4)，＝(0,2,4λ)，

∵·＝2×(－2)+2×2+0×(－4)＝0，

∴⊥，∴DB⊥A₁C.

若A₁C⊥平面BED，則A₁C⊥DE，∴⊥，

∴·＝(－2)×0+2×2+(－4)×4λ＝4－16λ＝0，

∴λ＝.

(2)設(shè)向量n＝(x，y，z)是平面DA₁B的一個(gè)法向量，

則n⊥，n⊥，∴2x+2y＝0,2x+4z＝0，

令z＝1，則x＝－2，y＝2，∴n＝(－2,2,1)

由(1)知平面BDE的一個(gè)法向量為＝(－2,2，－4)

∴cos〈n，〉＝＝.

即二面角A₁－BD－E的余弦值為.

.

20. (2009·西安八校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝BC＝CC₁＝2，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn).

(1)求證：AC₁∥平面B₁CD；

(2)求二面角B－B₁C－D的正弦值.

解：(1)證明：如圖，連接BC₁交B₁C于點(diǎn)E，

則E為BC₁的中點(diǎn).

∵D為AB的中點(diǎn)，∴在△ABC₁中，AC₁∥DE

又AC₁⊄平面B₁CD，DE⊂平面B₁CD，

∴AC₁∥平面B₁CD

(2)∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，

∴CD⊥平面ABB₁A₁.

∴平面B₁CD⊥平面B₁BD，

過點(diǎn)B作BH⊥B₁D，垂足為H，則BH⊥平面B₁CD，

連接EH，

∵B₁C⊥BE，B₁C⊥EH，

∴∠BEH為二面角B－B₁C－D的平面角.

在Rt△BHE中，BE＝，BH＝＝，

則sin∠BEH＝＝.

即二面角B－B₁C－D的正弦值為.

19. 如圖所示，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC＝AB＝1，M為PC的中點(diǎn)，N點(diǎn)在AB上且AN＝NB.

(1)證明：MN∥平面PAD；

(2)求直線MN與平面PCB所成的角.

解：(1)證明：過M作ME∥CD交PD于E，

連接AE.

∵AN＝NB，

∴AN＝AB＝DC＝EM.

又EM∥DC∥AB，∴EMAN，

∴AEMN為平行四邊形，

∴MN∥AE，又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

(2)過N點(diǎn)作NQ∥AP交BP于點(diǎn)Q，NF⊥CB交CB于點(diǎn)F，

連接QF，過N點(diǎn)作NH⊥QF交QF于H，連接MH.

易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，

∴BC⊥平面QNF，

∴BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，

∴∠NMH為直線MN與平面PCB所成的角.

通過計(jì)算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，

∴NH＝＝＝，

∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°.

∴直線MN與平面PCB所成的角為60°.

18. (2010·徐州模擬)如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).

(1)求證：AF∥平面PCE；

(2)求證：平面PCE⊥平面PCD；

(3)求四面體PEFC的體積.

解：(1)證明：設(shè)G為PC的中點(diǎn)，連結(jié)FG，EG，

∵F為PD的中點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，

∴FG CD，AECD

∴FG 　AE，∴AF∥GE

∵GE⊂平面PEC，

∴AF∥平面PCE；

(2)證明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD

又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，

∴CD⊥平面PAD，

∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.

∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，

∴GE⊥平面PCD，

∵GE⊂平面PEC，

∴平面PCE⊥平面PCD；

(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，

所以EG為四面體PEFC的高，

又GF∥CD，所以GF⊥PD，

EG＝AF＝，GF＝CD＝，

S_△PCF＝PD·GF＝2.

得四面體PEFC的體積V＝S_△PCF·EG＝.

17.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1+，過A作AE⊥CD，垂足為E，G、F分別為AD、CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使DE⊥EC.

(1)求證：BC⊥平面CDE；

(2)求證：FG∥平面BCD；

(3)求四棱錐D－ABCE的體積.

解：(1)證明：由已知得：

DE⊥AE，DE⊥EC，∴DE⊥平面ABCE.

∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，

∴BC⊥平面DCE.

(2)證明：取AB中點(diǎn)H，連結(jié)GH，FH，

∴GH∥BD，FH∥BC，

∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.

又GH∩FH＝H，

∴平面FHG∥平面BCD，

∴FG∥平面BCD(由線線平行證明亦可).

(3)V＝×1×2×＝.

16． (2010·泉州模擬)如圖所示是一個(gè)幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側(cè)視圖(其中正視圖為直角梯形，俯視圖為正方形，側(cè)視圖為直角三角形，尺寸如圖所示)．

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)證明：BD∥平面PEC；

(3)若G為BC上的動(dòng)點(diǎn)，求證：AE⊥PG.

解：(1)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，

∴V_P－ABCD＝PA×S_ABCD＝×4×4×4＝.

(2)證明：連結(jié)AC交BD于O點(diǎn)，

取PC中點(diǎn)F，連結(jié)OF，

∵EB∥PA，且EB＝PA，

又OF∥PA，且OF＝PA，

∴EB∥OF，且EB＝OF，

∴四邊形EBOF為平行四邊形，

∴EF∥BD.

又EF⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以BD∥平面PEC.

(3)連結(jié)BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，

∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，

∴∠PBA+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，

∴PB⊥AE.

又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，

∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG.

15．(2009·江南測(cè)試)棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E、F分別是棱AA₁、DD₁的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為________．

解析：因?yàn)檎�方體內(nèi)接于球，所以2R=，R=，

過球心O和點(diǎn)E、F的大圓的截面圖如圖所示，

則直線被球截得的線段為QR，過點(diǎn)O作OP⊥QR

于點(diǎn)P，所以，在△QPO中，QR=2QP=2

答案：

14．母線長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于π，則該圓錐的體積為________．

解析：圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)，即底面圓的周長(zhǎng)為π·1＝π，于是設(shè)底面圓的半徑為r，

則有2πr＝π，所以r＝，

于是圓錐的高為h＝＝，

故圓錐的體積為V＝π.

答案：π

13.如圖，AD⊥平面BCD，∠BCD＝90°，AD＝BC＝CD＝a，則二面角

C－AB－D的大小為__________．

解析：取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，則CE⊥面ABD，作EF⊥AB，

∴CF⊥AB得∠CFE為所求．

又CE=a，CF=，

∴sin∠CFE=

答案：60°

12．(2009·遼寧高考)設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長(zhǎng)度單位為m)．

則該幾何體的體積為　　m³.

解析：由三視圖可知原幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為2，底面三角形的一邊長(zhǎng)為4，且該邊上的高為3，

故所求三棱錐的體積為V=×2××3×4=4 m³，

答案：4