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例1．用數(shù)學歸納法證明：如果{a_n}是一個等差數(shù)列，那么a_n=a₁+(n－1)d對一切n∈N^*都成立.

證明：(1)當n=1時，左邊=a₁，右邊=a₁+0·d=a₁，等式是成立的

(2)假設當n=k時等式成立，就是a_k=a₁+(k－1)d.

那么a_k+1=a_k+d=［a₁+(k－1)d］+d=a₁+［(k+1)－1］d，

這就是說，當n=k+1時，等式也成立.

由(1)和(2)可以判定，等式對任何n∈N^*都成立.

例2．用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n².

證明：(1)當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

(2)假設當n=k時，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k²，

那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k²+［2(k+1)－1］=k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1時也成立.

由(1)和(2)，可知等式對任何n∈N*都成立

6.用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟：

(1)證明：當n取第一個值n₀結論正確；

(2)假設當n=k(k∈N^*，且k≥n₀)時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確.

由(1)，(2)可知，命題對于從n₀開始的所有正整數(shù)n都正確　

5. 數(shù)學歸納法的基本思想：即先驗證使結論有意義的最小的正整數(shù)n₀，如果當n=n₀時，命題成立，再假設當n=k(k≥n₀，k∈N^*)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設，如能推出當n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n₀的正整數(shù)n₀+1，n₀+2，…，命題都成立.

4.數(shù)學歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n₀時命題成立；然后假設當n=k(kÎN*，k≥n₀)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法

3. 完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結論的歸納法稱為完全歸納法.

完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法.

2. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結論的推理方法叫做不完全歸納法.

如我們在推導涉及所有正整數(shù)的等差數(shù)列通項公式時，在考察了n=1，2，3，4幾種特殊情形后得出的一般公式，就是作的一種不完全歸納.

我們已經(jīng)知道，不完全歸納法所得到的命題并不能保證它成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法；同時也應看到，不完全歸納法是研究數(shù)學的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的一種重要手段.在問題探索中，為了尋求一般規(guī)律，往往先考察一些特例，通過對這些特例的不完全歸納形成猜想，然后再試圖去證明或否定這種猜想.因而學會用不完全歸納法對問題進行探索，對提高我們的數(shù)學能力十分重要.

1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結論的推理方法.

特點：由特殊→一般

問題1：這里有一袋球共十二個，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？

方法一：把它倒出來看一看就可以了．

特點：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．

方法二：一個一個拿，拿一個看一個．

比如結果為：第一個白球，第二個白球，第三個白球，……，第十二個白球，由此得到：這一袋球都是白球．

特點：有順序，有過程．

問題2：在數(shù)列中，，先算出a₂，a₃，a₄的值，再推測通項a_n的公式．

　過程：，，，由此得到：，

解決以上兩個問題用的都是歸納法.

再請看數(shù)學史上的兩個資料：

資料1: 費馬(Fermat)是17世紀法國著名的數(shù)學家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻．但是，費馬曾認為，當n∈N時，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4時的值分別為3,5,17,257,65537作了驗證后得到的．

18世紀偉大的瑞士科學家歐拉(Euler)卻證明了當n=5時，

　=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費馬的推測．

有人說，費馬為什么不再多算一個數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學們，失誤的關鍵不在于多算一個上！

資料2：f(n)=n²+n+41，當n∈N時，f(n)是否都為質(zhì)數(shù)？

f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，

f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131，

f(10)=151，…　 f(39)=1 601．

但是f(40)=1 681=41²是合數(shù)

算了39個數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個資料，不是說世界級大師還出錯，我們有錯就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學了，而是要找出運用歸納法出錯的原因，并研究出對策來．

對于生活、生產(chǎn)中的實際問題，得出的結論的正確性，應接受實踐的檢驗，因為實踐是檢驗真理的唯一標準．對于數(shù)學問題，應尋求數(shù)學證明

課件展示：多媒體課件(游戲：多米諾骨牌) ,多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：

(1)骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；

(2)第一張牌被推倒．

用這種思想設計出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學歸納法．

23．(2010·宜賓模擬)某強酸性溶液X，含有Ba²⁺、Al³⁺、SiO₃^2－、NH₄⁺、Fe²⁺、Fe³⁺、

CO₃^2－、SO₄^2－、NO₃^－中的一種或幾種離子，取溶液進行連續(xù)實驗，能實現(xiàn)如下轉化：

依據(jù)以上信息，回答下列問題：

(1)上述離子中，溶液X中肯定含有的是：_____________________________；不能肯定的是：_________________。對不能確定是否存在的離子，可以另取X溶液于一支試管中，選擇下列試劑中的一種加入X溶液中，根據(jù)現(xiàn)象就可判斷，則該試劑是：___________。(選填：①NaOH溶液，②酚酞試劑，③石蕊試劑，④pH試紙，⑤KSCN溶液，⑥KMnO₄溶液)

(2)氣體F的化學式為：_______________，沉淀G的化學式為：_____________，沉淀K的化學式為：____________，實驗中，可以觀察到反應②的現(xiàn)象是：________________。

(3)寫出步驟①所有發(fā)生反應的離子方程式_________________、__________________。

(4)要使步驟③中，D、H₂O、O₂三種物質(zhì)恰好發(fā)生化合反應，則D、H₂O、O₂物質(zhì)的量之比是：______________________。

[解析]強酸性溶液中含有H⁺，則不含SiO₃^2－、CO₃^2－；加入Ba(NO₃)₂溶液后生成的沉淀一定是BaSO₄，則溶液中含有SO₄^2－，不含Ba²⁺；氣體A能夠和氧氣反應，所以A為NO，D為NO₂，D到E的反應為：4NO₂+O₂+2H₂O4HNO₃，說明該溶液中含有還原性離子，即Fe²⁺，則原溶液中一定沒有NO₃^－。溶液B能夠和NaOH溶液反應生成氣體，則該氣體一定是NH₃，原溶液中一定含有NH₄⁺。符合轉化關系：“BH沉淀K”的K為Al(OH)₃，則溶液中含有Al³⁺。

[答案](1)SO₄^2－、Al³⁺、Fe²⁺、NH₄⁺　 Fe³⁺　 ⑤

(2)NH₃ Fe(OH)₃　 Al(OH)₃ 氣體由無色變成紅棕色

(3)Ba²⁺+SO₄^2－＝BaSO₄↓　 3Fe²⁺+NO₃^－+4H⁺＝3Fe³⁺+NO↑+2H₂O

(4)4∶2∶1

()

22．(2010·錦州模擬)已知A和B兩支試管的溶液中共含有K⁺、Ag⁺、Mg²⁺、Cl^－、OH^－、NO₃^－六種離子，向試管A的溶液中滴入酚酞試液呈粉紅色。請回答下列問題：

(1)試管A的溶液中所含上述離子共有______種。

(2)若向某試管中滴入稀鹽酸產(chǎn)生沉淀，則該試管為______(填“A”或“B”)。

(3)若向試管B的溶液中加入合適的藥品，過濾后可以得到相應的金屬和僅含一種溶質(zhì)的溶液，則加入的藥品是___________(填化學式)。

(4)若將試管A和試管B中的溶液按一定體積比混合過濾后，蒸干濾液可得到一種純凈物，則混合過程中發(fā)生反應的離子方程式為_______________、________________。

(5)若試管A和試管B中共有四種物質(zhì)按等物質(zhì)的量溶解于試管中，再將A和B中的溶液混合過濾，所得濾液中各種離子的物質(zhì)的量之比為________________。

(6)若向由試管A的溶液中陽離子組成的碳酸氫鹽溶液中，滴入少量Ba(OH)₂溶液，則發(fā)生反應的離子方程式為______________________________。

[解析]酚酞試液呈粉紅色，說明試管A溶液中含有OH^－，則沒有能夠和OH^－結合成沉淀的離子，所以Ag⁺、Mg²⁺不存在，它們一定在試管B中，根據(jù)電荷守恒，則必定存在K⁺；Cl^－能夠和Ag⁺結合成AgCl沉淀，在B中不含Cl^－，根據(jù)電荷守恒，B中所含的陰離子一定是NO₃^－。綜上所述，A中含有K⁺、Cl^－和OH^－三種離子，B中含有Ag⁺、Mg²⁺和NO₃^－三種離子。然后結合題目要求即得答案。

[答案](1)3　 　(2)B 　(3)Mg

(4)Ag⁺ +Cl^－＝AgCl↓、Mg²⁺+2OH^－＝Mg(OH)₂↓

(5)n (K⁺)︰n (Mg²⁺)︰n (NO₃^－)＝4︰1︰6

(6)Ba²⁺+2OH^－+2HCO₃^－＝BaCO₃↓+CO₃^2－+2H₂O