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17.已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝，a₂＝，a_n+1＝2a_n－a_n－1(n≥2，n∈N^*)，數(shù)列{b_n}滿足b₁＜0,3b_n－b_n－1＝n(n≥2，n∈N^*)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；

(2)求證：數(shù)列{b_n－a_n}為等比數(shù)列.

解：(1)證明∵2a_n＝a_n+1+a_n－1(n≥2，n∈N^*)，

∴{a_n}是等差數(shù)列.

又∵a₁＝，a₂＝，∴a_n＝+(n－1)·＝，

(2)證明：∵b_n＝b_n－1+(n≥2，n∈N^*)，

∴b_n+1－a_n+1＝b_n+－＝b_n－

＝(b_n－)＝(b_n－a_n).

又∵b₁－a₁＝b₁－≠0，

∴{b_n－a_n}是以b₁－為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.

16.(本小題滿分12分)已知{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，且a₂＝1，a₅＝－5.

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；

(2)求{a_n}前n項(xiàng)和S_n的最大值.

解：(1)設(shè){a_n}的公差為d，

由已知條件得，

所以a_n＝a₁+(n－1)d＝－2n+5.

(2)S_n＝na₁+d＝－n²+4n＝4－(n－2)².

所以n＝2時(shí)，S_n取到最大值4.

15.等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₄－a₂＝8，a₃+a₅＝26.記T_n＝，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，T_n≤M都成立，則M的最小值是　　.

解析：∵{a_n}為等差數(shù)列，由a₄－a₂＝8，a₃+a₅＝26，

可解得S_n＝2n²－n，

∴T_n＝2－，若T_n≤M對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，則只需T_n的最大值≤M即可.

又T_n＝2－<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2.

答案：2

14.“歡歡”按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，記在數(shù)數(shù)過程中對(duì)應(yīng)中指的數(shù)依次排列所構(gòu)成的數(shù)列為{a_n}，則數(shù)到2 008時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是　　，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n＝　　.(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指).

解析：注意到數(shù)1,9,17,25，…，分別都對(duì)應(yīng)著大拇指，且1+8×(251－1)＝2 001，因此數(shù)到2 008時(shí)對(duì)應(yīng)的指頭是食指.對(duì)應(yīng)中指的數(shù)依次是：3,7,11,15，…，因此數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n＝3+(n－1)×4＝4n－1.

答案：食指　4n－1

13.已知數(shù)列{a_n}滿足＝(n∈N^*)，且a₁＝1，則a_n＝　　.

解析：由已知得＝，

＝，…＝，a₁＝1，

左右兩邊分別相乘得

a_n＝1·····…···

＝

答案：

12.設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁＝1，S₆＝4S₃，則a₄＝　　.

解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由S₆＝4S₃知q≠1.

∴S₆＝＝.∴q³＝3.∴a₁q³＝3.

答案：3

11．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂，a₃，a₁成等差數(shù)列，則＝________.

解析：設(shè){a_n}的公比為q(q＞0)，由a₃＝a₂+a₁，得q²－q－1＝0，解得

q＝.從而＝q＝.

答案：

10.已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n＝lga_n，b₃＝18，b₆＝12，則數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和的最大值等于　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.126　　　　　 　B.130　　　　　　 C.132　 　　　　　　D.134

解析：由題意可知，lga₃＝b₃，lga₆＝b₆.

又∵b₃＝18，b₆＝12，則a₁q²＝10¹⁸，a₁q⁵＝10¹²，

∴q³＝10.

即q＝10，∴a₁＝10²².

又∵{a_n}為正項(xiàng)等比數(shù)列，

∴{b_n}為等差數(shù)列，且d＝－2，b₁＝22.

故b_n＝22+(n－1)×(－2)＝－2n+24.

∴S_n＝22n+×(－2)

＝－n²+23n＝－(n－)²+.

又∵n∈N^*，故n＝11或12時(shí)，

(S_n)_max＝132.

答案：C

第Ⅱ卷(非選擇題，共100分)

9.數(shù)列{a_n}滿足：a₁＝1，且對(duì)任意的m，n∈N^*都有：a_m+n＝a_m+a_n+mn，則+++…+＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.　 　　　　　B.　　　　　 C.　 　　　　　　D.

解析：因?yàn)?i>a_n+m＝a_n+a_m+mn，則可得a₁＝1，a₂＝3，a₃＝6，a₄＝10，…，則可猜得數(shù)列的通項(xiàng)a_n＝，

∴＝＝2(－)，

∴+++…+＝

2(1－+－+…+－)＝2(1－)＝

答案：D

8.在函數(shù)y＝f(x)的圖象上有點(diǎn)列{x_n，y_n}，若數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{y_n}是等比數(shù)列，則函數(shù)y＝f(x)的解析式可能為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A.f(x)＝2x+1 　　　B.f(x)＝4x² C.f(x)＝log₃x　 　　　　　D.f(x)＝()^x

解析：結(jié)合選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)f(x)＝()^x上的點(diǎn)列{x_n，y_n}，有y_n＝()x_n.由于{x_n}是等差數(shù)列，所以x_n+1－x_n＝d，因此＝＝()^x_n+1＝()^d，這是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，故{y_n}是等比數(shù)列.

答案：D