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5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集，R為實數(shù)集，C為復數(shù)集)：

①“若a，b∈R，則a－b＝0⇒a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，則復數(shù)a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a+b＝c+d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，則a－b＞0⇒a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0⇒a＞b”．

其中類比得到的結論正確的個數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　B．1 　　　　　　C．2 　　　　　　　　D．3

解析：①②是正確的，③是錯誤的，因為復數(shù)不能比較大小，如a＝5+6i，b＝4+6i，雖然滿足a－b＝1＞0，但復數(shù)a與b不能比較大�。�

答案：C

4．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|＜0}，則A∩B是　　　　　　　　　 (　)

A．{x|－1＜x＜－或2＜x＜3}　　　　 B．{x|2＜x＜3}

C．{x|－＜x＜2}　　　　　　　　　 　D．{x|－1＜x＜－}

解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.

又∵＜0，∴(2x+1)(x－3)＞0，

∴x＞3或x＜－.∴A∩B＝{x|－1＜x＜－}．

答案：D

3．已知函數(shù)f(x)＝，若f(x)≥1，則x的取值范圍是　　　　　　 (　)

A．(－∞，－1]　 　　　　　　　B．[1，+∞)

C．(－∞，0]∪[1，+∞) 　　　　D．(－∞，－1]∪[1，+∞)

解析：將原不等式轉(zhuǎn)化為：或，從而得x≥1或x≤－1.

答案：D

2．下列命題中的真命題是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd　 　　　B．若|a|＞b，則a²＞b²

C．若a＞b，則a²＞b²　 　　　　　　D．若a＞|b|，則a²＞b²

解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a²＞b².

答案：D

1．不等式(x+1)≥0的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．{x|x＞1}　　　　B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x＝－1} 　　　D．{x|x≥－1或x＝1}

解析：∵≥0，∴x≥1.

同時x+1≥0，即x≥－1.∴x≥1.

答案：B

21．(2010·東北四市模擬)已知O為坐標原點，點A、B分別在x軸，y軸上運動，且|AB|＝8，動點P滿足＝，設點P的軌跡為曲線C，定點為M(4,0)，直線PM交曲線C于另外一點Q.

(1)求曲線C的方程；

(2)求△OPQ面積的最大值．

解：(1)設A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，

則＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，

∵＝，∴∴a＝x，b＝y.

又|AB|＝＝8，∴+＝1.

∴曲線C的方程為+＝1.

(2)由(1)可知，M(4,0)為橢圓+＝1的右焦點，

設直線PM方程為x＝my+4，

由消去x得

(9m²+25)y²+72my－81＝0，

∴|y_P－y_Q|＝

＝.

∴S_△OPQ＝|OM||y_P－y_Q|＝2×

＝＝＝

≤＝，

當＝，

即m＝±時，△OPQ的面積取得最大值為，此時直線方程為3x±y－12＝0.

20．已知A、B、D三點不在一條直線上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(+)．

(1)求E點的軌跡方程；

(2)過A作直線交以A、B為焦點的橢圓于M，N兩點，線段MN的中點到y軸的距離為，且直線MN與E點的軌跡相切，求橢圓的方程．

解：(1)設E(x，y)，由＝(+)，可知E為線段BD的中點，

又因為坐標原點O為線段AB的中點，

所以OE是△ABD的中位線，

所以||＝||＝1，

所以E點在以O為圓心，1為半徑的圓上，

又因為A，B，D三點不在一條直線上，

所以E點不能在x軸上，

所以E點的軌跡方程是x²+y²＝1(y≠0)．

(2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，中點為(x₀，y₀)，橢圓的方程為+＝1，直線MN的方程為y＝k(x+2)(當直線斜率不存在時不成立)，

由于直線MN與圓x²+y²＝1(y≠0)相切，

所以＝1，解得k＝±，

所以直線MN的方程為y＝±(x+2)，

將直線y＝±(x+2)代入方程+＝1，

整理可得：4(a²－3)x²+4a²x+16a²－3a⁴＝0，

所以x₀＝＝－.

又線段MN的中點到y軸的距離為，

即x₀＝－＝－，解得a＝2.

故所求的橢圓方程為+＝1.

19．給定拋物線C：y²＝4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，記O為坐標原點．

(1)求·的值；

(2)設＝λ，當△OAB的面積S∈[2， ]時，求λ的取值范圍．

解：(1)根據(jù)拋物線的方程可得焦點F(1,0)，

設直線l的方程為x＝my+1，

將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得y²－4my－4＝0.

設A，B點的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)(y₁>0>y₂)，

則y₁y₂＝－4.

因為y＝4x₁，y＝4x₂，

所以x₁x₂＝yy＝1，

故·＝x₁x₂+y₁y₂＝－3.

(2)因為＝λ，

所以(1－x₁，－y₁)＝λ(x₂－1，y₂)，

即

又y＝4x₁，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

y＝4x₂，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由②③④消去y₁，y₂后，得到x₁＝λ²x₂，將其代入①，注意到λ>0，解得x₂＝.從而可得y₂＝－，y₁＝2，

故△OAB的面積S＝|OF|·|y₁－y₂|＝+，

因+≥2恒成立，所以只要解+≤即可，

解之得≤λ≤.

18． (2010·南通模擬)已知動圓過定點F(0,2)，且與定直線L：y＝－2相切．

(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(2)若AB是軌跡C的動弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點作軌跡C的切線，設兩切線交點為Q，證明：AQ⊥BQ.

解：(1)依題意，圓心的軌跡是以F(0,2)為焦點，L：y＝－2為準線的拋物線．

因為拋物線焦點到準線距離等于4，

所以圓心的軌跡是x²＝8y.

(2)證明：因為直線AB與x軸不垂直，

設AB：y＝kx+2.

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

可得x²－8kx－16＝0，x₁+x₂＝8k，x₁x₂＝－16.

拋物線方程為y＝x²，求導得y′＝x.

所以過拋物線上A、B兩點的切線斜率分別是k₁＝x₁，k₂＝x₂，k₁k₂＝x₁·x₂＝x₁·x₂＝－1.

所以AQ⊥BQ.

17．過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，若l₁交x軸于A點，l₂交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程．

解：設M的坐標為(x，y)，則A、B兩點的坐標分別是(2x,0)，(0,2y)，

連結PM，

∵l₁⊥l₂，∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=，

|AB|=,

∴2.

化簡，得x+2y-5=0即為所求的軌跡方程．