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2．(2009·廣東高考)若直線(t為參數(shù))與直線4x+ky＝1垂直，則常數(shù)k＝(　)

A．25 　　　　B．－6　　　　　　　　　 C．6　 　　　D．7

解析：直線l₁：3x+2y－7＝0，直線l₂：4x+ky－1＝0.

由l₁⊥l₂，∴2k+3·4＝0，∴k＝－6.

答案：B

1．(2009·天津高考)設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l₂的方程為y＝3x+4，則l₁與l₂間的距離為　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　)

A.　　　　B.　　　　　　 C.　 　　　　　　D．3

解析：直線l₁的參數(shù)方程(t為參數(shù))．

化為普通方程為：＝，即 3x－y－2＝0.

又l₂：3x－y+4＝0.由兩平行線間距離公式知

d＝＝＝.

答案：B　

12．設(shè)f(x)＝x²+ax+b，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.

證明：假設(shè)|f(1)|＜，|f(2)|＜，|f(3)|＜，則有

于是有

由①②得－4＜a＜－2；由②③得－6＜a＜－4.兩式互相矛盾，所以假設(shè)不成立．所以原命題成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.

11．△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c分別為三內(nèi)角A，B，C的對邊．求證：+＝.

證明：要證明+＝，

只需證明+＝3，

只需證明+＝1，

只需證明c(b+c)+a(a+b)＝(a+b)·(b+c)，

只需證明c²+a²＝ac+b²，

∵△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，∴B＝60°，

由余弦定理，有b²＝c²+a²－2accos60°，

即b²＝c²+a²－ac，

∴c²+a²＝ac+b².故原命題成立，得證．

10．設(shè)a，b，c，d都是小于1的正數(shù)，求證：4a(1－b),4b(1－c),4c(1－d),4d(1－a)這四個數(shù)不可能都大于1.

證明：假設(shè)4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，則有

a(1－b)＞，b(1－c)＞，

c(1－d)＞，d(1－a)＞.

∴＞，＞，

＞，＞.

又∵≤，

≤，

≤，≤，

∴＞，＞，

＞，＞.

將上面各式相加得2＞2，矛盾．

∴4a(1－b),4b(1－c),4c(1－d),4d(1－a)這四個數(shù)不可能都大于1.

9．求證：a³+b³+c³≥(a²+b²+c²)(a+b+c)．

證明：∵a²+b²≥2ab，∴(a²+b²)(a+b)≥2ab(a+b)，

∴a³+b³+a²b+ab²≥2a²b+2ab²，

∴a³+b³≥a²b+ab².

同理：b³+c³≥b²c+bc²，a³+c³≥a²c+ac².

將三式相加得：

2(a³+b³+c³)≥a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac².

∴3(a³+b³+c³)≥(a³+a²b+a²c)+(b³+b²a+b²c)+(c³+c²a+c²b)＝(a+b+c)(a²+b²+c²)，

∴a³+b³+c³≥(a²+b²+c²)(a+b+c)．

8．(2009·江蘇南京調(diào)研)已知a，b為正數(shù)，求證：+≥.

證明：∵a>0，b>0，∴(a+b)(+)＝5++≥5+2＝9，

∴+≥.

7．已知：a+b+c＝0，求證ab+bc+ca≤0.

證明：法一：(綜合法)

∵a+b+c＝0，∴(a+b+c)²＝0，展開，

得ab+bc+ca＝－.

∴ab+bc+ca≤0.

法二：(分析法)

要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c＝0，

故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)²，

即證a²+b²+c²+ab+bc+ca≥0，

即[(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²]≥0，

∴顯然原式成立．

法三：∵a+b+c＝0，∴－c＝a+b，

∴ab+bc+ca＝ab+(a+b)c＝ab－(a+b)²

＝－a²－b²－ab＝－[(a+)²+]≤0.

6．已知點P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關(guān)系式為________，x²+y²+z²的最小值是________．

解析：由面積關(guān)系可得

(2x+2y+2z)

＝×2×3⇒x+y+z＝3；

又2(x²+y²)≥x²+2xy+y²，

2(y²+z²)≥y²+2yz+z²，

2(z²+x²)≥z²+2zx+x²，

三式相加得3(x²+y²+z²)≥(x+y+z)²，

即x²+y²+z²≥(x+y+z)²＝×3²＝3.

答案：x+y+z＝3　3

5．設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是________．

①|(zhì)a－b|≤|a－c|+|b－c|；

②a²+≥a+；

③|a－b|+≥2；

④－<－.

解析：對于①，因為|a－b|＝|(a－c)+(c－b)|≤|a－c|+|b－c|，

所以|a－b|≤|a－c|+|b－c|恒成立；

對于②，因為a²+－(a+)

＝(a+)²－(a+)－2

＝(a++1)(a+－2)，

易知a+≥2，故a²+－(a+)≥0，

所以a²+≥a+恒成立；

對于③，當a＞b時，有|a－b|+≥2成立；

當a≤b時，|a－b|+≥2不成立．

對于④，可以證明不等式

－<－也恒成立．

答案：③