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5.能夠使得圓x²+y²-2x+4y+1=0上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)2x+y+c=0距離等于1的c的一個(gè)值為 (　　　 )　

?A.2　　　　　　　　　 ? B.　　　　　　　 ?　 C.3?　　　　　　　　 　 D.3　

答案?C?　

4.(2008·全國(guó)Ⅰ文，10)若直線(xiàn)=1與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)，則 　　　　　　　　 　　(　　　 )　A.a²+b²≤1　　　　　　　 　　 B.a²+b²≥1?　　　　　　 C.≤1　　　　　 ?D.≥1　

答案?D?　

3.已知圓C：(x-a)²+(y-2)²=4 (a＞0)及直線(xiàn)l:x-y+3=0,當(dāng)直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2時(shí)，則a

等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　 A.?　　　　　　 　　 B.2-?　　　　　　　 　 C.-1　　　　　　　 ?D.+1　

答案?C?　

2.(2008·重慶理，3)圓O₁：x²+y²-2x=0和圓O₂：x²+y²-4y=0的位置關(guān)系是　　　　　 　 (　　 )　

?A.相離　　　　　　　　　 ?B.相交　　　　　　　 ?C.外切　　　　　　　 ?D.內(nèi)切　

答案?B?　

1.(2008·遼寧理，3)圓x²+y²=1與直線(xiàn)y=kx+2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是　　　　　　 (　　 )　

?A.?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.

?C.?　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D. 　

答案?C?　

4.圓x²+y²=8內(nèi)一點(diǎn)P(-1，2)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l的傾斜角為，直線(xiàn)l交圓于A(yíng)、B兩點(diǎn).　

(1)當(dāng)=時(shí),求AB的長(zhǎng)；　

(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.　

解 (1)當(dāng)=時(shí)，k_AB=-1，　

直線(xiàn)AB的方程為y-2=-(x+1)，

即x+y-1=0.　

故圓心(0，0)到AB的距離

d=,　

從而弦長(zhǎng)|AB|=2.　

(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

則x₁+x₂=-2，y₁+y₂=4.　

由

兩式相減得(x₁+x₂)(x₁-x₂)+(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0，　

即-2(x₁-x₂)+4(y₁-y₂)=0，　

∴k_AB=.　

∴直線(xiàn)l的方程為y-2=(x+1)，

即x-2y+5=0.

3.求過(guò)點(diǎn)P(4，-1)且與圓C：x²+y²+2x-6y+5=0切于點(diǎn)M(1，2)的圓的方程.　

解 方法一 設(shè)所求圓的圓心為A(m,n)，半徑為r,　

則A,M,C三點(diǎn)共線(xiàn)，且有|MA|=|AP|=r，　

因?yàn)閳AC：x²+y²+2x-6y+5=0的圓心為C(-1，3)，　

則,

解得m=3,n=1,r=,　

所以所求圓的方程為(x-3)²+(y-1)²=5.　

方法二　 因?yàn)閳AC：x²+y²+2x-6y+5=0過(guò)點(diǎn)M(1，2)的切線(xiàn)方程為2x-y=0,　

所以設(shè)所求圓A的方程為　

x²+y²+2x-6y+5+(2x-y)=0,　

因?yàn)辄c(diǎn)P(4，-1)在圓上，所以代入圓A的方程，　

解得=-4,　

所以所求圓的方程為x²+y²-6x-2y+5=0.

2.從圓C：x²+y²-4x-6y+12=0外一點(diǎn)P(a，b)向圓引切線(xiàn)PT，T為切點(diǎn)，且|PT|=|PO| (O為原點(diǎn)).

求|PT|的最小值及此時(shí)P的坐標(biāo).　

解 已知圓C的方程為

(x-2)²+(y-3)²=1，　

∴圓心C的坐標(biāo)為(2，3)，　

半徑r=1.　

如圖所示，連結(jié)PC，CT，　

由平面幾何知，　

PT²=PC²-CT²

=(a-2)²+(b-3)²-1.　

由已知，PT=PO，∴PT²=PO²，　

即(a-2)²+(b-3)²-1=a²+b².　

化簡(jiǎn)得2a+3b-6=0.　

得PT²=a²+b²=(13a²-24a+36).　

當(dāng)a=時(shí)，　

PT_min=

|PT|的最小值為，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

1.m為何值時(shí)，直線(xiàn)2x-y+m=0與圓x²+y²=5.　

(1)無(wú)公共點(diǎn)；　

(2)截得的弦長(zhǎng)為2；　

(3)交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直.　

解 (1)由已知，圓心為O(0，0)，半徑r=,　

圓心到直線(xiàn)2x-y+m=0的距離　

d=

∵直線(xiàn)與圓無(wú)公共點(diǎn)，∴d＞r,即,　

∴m＞5或m＜-5.　

故當(dāng)m＞5或m＜-5時(shí)，直線(xiàn)與圓無(wú)公共點(diǎn).　

(2)如圖所示，由平面幾何垂徑定理知　

r²-d²=1²，即5-=1.　

得m=±2,　

∴當(dāng)m=±2時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為2.　

(3)如圖所示，由于交點(diǎn)處兩條半徑互相垂直，　

∴弦與過(guò)弦兩端的半徑組成等腰直角三角形，　

∴d=r，即=·，　

解得m=±.　

故當(dāng)m=±時(shí)，直線(xiàn)與圓在兩交點(diǎn)處的兩條半徑互相垂直.

5.(2008·重慶理，15)直線(xiàn)l與圓x²+y²+2x-4y+a=0 (a＜3)相交于兩點(diǎn)A,B,弦AB的中點(diǎn)為(0,1),則直線(xiàn)l的方程為　　　　　 .　

答案　 x-y+1=0　

例1 已知圓x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0(m∈R). 　

(1)求證：不論m為何值，圓心在同一直線(xiàn)l上；　

(2)與l平行的直線(xiàn)中，哪些與圓相交、相切、相離；　

(3)求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線(xiàn)被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.　

(1)證明 配方得：(x-3m)²+［y-(m-1)］²=25，　

設(shè)圓心為(x，y)，則消去m得　

l：x-3y-3=0，則圓心恒在直線(xiàn)l：x-3y-3=0上.　

(2)解 設(shè)與l平行的直線(xiàn)是l₁：x-3y+b=0，　

則圓心到直線(xiàn)l₁的距離為　

d=.　

∵圓的半徑為r=5，　

∴當(dāng)d＜r，即-5-3＜b＜5-3時(shí)，直線(xiàn)與圓相交；　

當(dāng)d=r,即b=±5-3時(shí)，直線(xiàn)與圓相切；　

當(dāng)d＞r，即b＜-5-3或b＞5-3時(shí)，直線(xiàn)與圓相離.　

(3)證明　 對(duì)于任一條平行于l且與圓相交的直線(xiàn)l₁：x-3y+b=0，由于圓心到直線(xiàn)l₁的距離d=，　

弦長(zhǎng)=2且r和d均為常量.　

∴任何一條平行于l且與圓相交的直線(xiàn)被各圓截得的弦長(zhǎng)相等.　

例2　 從點(diǎn)A(-3，3)發(fā)出的光線(xiàn)l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓x²+y²-4x-4y+7=0相切，求光線(xiàn)l所在直線(xiàn)的方程.　

解 方法一　 如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)B(b,0)，則k_AB=,根據(jù)光的反射定律，

反射光線(xiàn)的斜率k_反=.　

∴反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為　

y=(x-b),　

即3x-(b+3)y-3b=0.　

∵已知圓x²+y²-4x-4y+7=0的圓心為C(2,2)，　

半徑為1,　

∴=1,解得b₁=-,b₂=1.　

∴k_AB=-或k_AB=-.　

∴l(xiāng)的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

方法二 已知圓C：x²+y²-4x-4y+7=0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圓為C₁：(x-2)²+(y+2)²=1，其圓心C₁的坐標(biāo)為(2，-2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程與圓C₁相切.　

設(shè)l的方程為y-3=k(x+3),則=1,　

即12k²+25k+12=0.　

∴k₁=-，k₂=-.　

則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

方法三　 設(shè)入射光線(xiàn)方程為y-3=k(x+3),反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y=-kx+b,由于二者橫截距相等，且后者與已知圓相切.　

∴消去b得=1.　

即12k²+25k+12=0,∴k₁=-,k₂=-.　

則l的方程為4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.　

例3　 已知圓C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0,圓C₂：x²+y²+2x-2my+m²-3=0,m為何值時(shí)，(1)圓C₁與圓C₂相外切；(2)圓C₁與圓C₂內(nèi)含？　

解 對(duì)于圓C₁與圓C₂的方程，經(jīng)配方后　

C₁:(x-m)²+(y+2)²=9; C₂:(x+1)²+(y-m)²=4.　

(1)如果C₁與C₂外切，則有=3+2.　

(m+1)²+(m+2)²=25.　

m²+3m-10=0,解得m=-5或m=2.　

(2)如果C₁與C₂內(nèi)含，則有＜3-2.　

(m+1)²+(m+2)²＜1,m²+3m+2＜0,　

得-2＜m＜-1,　

∴當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，圓C₁與圓C₂外切；　

當(dāng)-2＜m＜-1時(shí)，圓C₁與圓C₂內(nèi)含.　

例4(12分)已知點(diǎn)P(0，5)及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0.　

(1)若直線(xiàn)l過(guò)P且被圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為4，求l的方程；

(2)求過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.　

解　 (1)方法一　 如圖所示，AB=4，D是AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，AD=2，圓x²+y²+4x-12y+24=0可化為(x+2)²+(y-6)²=16，圓心C(-2，6)，半徑r=4，故AC=4，　

在Rt△ACD中，可得CD=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分　

設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為y-5=kx,

即kx-y+5=0.　

由點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離公式： =2，得k=.

此時(shí)直線(xiàn)l的方程為3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　

又直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為x=0.　　　　　　　　　　　　　　　 6分　

則y²-12y+24=0,∴y₁=6+2,y₂=6-2,　

∴y₂-y₁=4,故x=0滿(mǎn)足題意.　

∴所求直線(xiàn)的方程為3x-4y+20=0或x=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

方法二 設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k，則直線(xiàn)的方程為　

y-5=kx,即y=kx+5,　

聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程　

消去y得(1+k²)x²+(4-2k)x-11=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　 2分　

設(shè)方程①的兩根為x₁,x₂,　

由根與系數(shù)的關(guān)系得　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　 4分　

由弦長(zhǎng)公式得|x₁-x₂|=　

將②式代入，解得k=，　

此時(shí)直線(xiàn)的方程為3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分　

又k不存在時(shí)也滿(mǎn)足題意，此時(shí)直線(xiàn)方程為x=0.　

∴所求直線(xiàn)的方程為x=0或3x-4y+20=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

(2)設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y),　

則CD⊥PD，即·=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分　

(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為　

x²+y²+2x-11y+30=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分