中學(xué)生世界九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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8. 如圖,在平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F.如果BD=10,$\frac{BE}{EC}=\frac{3}{2}$,那么BF的長為___.
答案：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是平行四邊形，所以$AD \parallel BC$，$AD = BC$。
已知$\frac{BE}{EC} = \frac{3}{2}$，設(shè)$BE = 3k$，$EC = 2k$，則$BC = BE + EC = 5k$，所以$AD = 5k$。
因?yàn)?\triangle BEF \sim \triangle DAF$，所以$\frac{BF}{FD} = \frac{BE}{AD} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$。
設(shè)$BF = 3m$，$FD = 5m$，則$BD = BF + FD = 8m = 10$，解得$m = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$。
所以$BF = 3m = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}$。
9. 如圖,在△ABC中,已知AD是∠BAC的平分線,DE//AB,交AC于點(diǎn)E,AB=15,AC=10,則CE=___.
答案：4
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD=∠CAD，AE=DE。
設(shè)CE=x，AE=10 - x，DE=10 - x。
△CDE∽△CBA，$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$，$\frac{10 - x}{15}=\frac{x}{10}$，10(10 - x)=15x，100 - 10x=15x，25x=100，x=4。
10. 如圖,在△ABC中,已知AB=AC=17,BC=16,點(diǎn)M是△ABC的重心,則AM的長是___.
答案：10
作AD⊥BC于D，AB=AC=17，BC=16，BD=8，AD=$\sqrt{17^2 - 8^2}=15$。
重心M在AD上，AM=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}×15=10$。
11. 已知點(diǎn)G是等邊三角形ABC的重心,AG=8,那么點(diǎn)G與邊BC中點(diǎn)之間的距離是___.
答案：4
等邊三角形重心分中線為2:1，AG=8，設(shè)G到BC中點(diǎn)距離為x，則AG=2x=8，x=4。
12. 如果直角三角形的斜邊長為18,那么這個(gè)直角三角形的重心到直角頂點(diǎn)的距離為___.
答案：6
直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，中線長=9，重心到直角頂點(diǎn)距離為中線長的$\frac{2}{3}$，即9×$\frac{2}{3}=6$。
13. 如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,E是AB延長線上的一點(diǎn),DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$;
(2)求證:$\frac{EF}{DE}+\frac{FG}{DG}=1$;
(3)若BF=CF,則$\frac{CG}{CA}=$___;
(4)若$\frac{BF}{CF}=\frac{1}{2}$,則$\frac{CG}{CA}=$___;
(5)設(shè)$\frac{BF}{CF}=x$,$\frac{CG}{CA}=y$,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
答案：(1) ∵ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AB=CD，AD=BC。△BEF∽△AED，$\frac{BF}{AD}=\frac{BE}{AE}$，BF=BC - CF=AD - CF，$\frac{AD - CF}{AD}=\frac{BE}{AE}$，1 - $\frac{CF}{AD}=\frac{AE - AB}{AE}$，$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$。
(2) 由(1) $\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，△CGF∽△AGD，$\frac{FG}{DG}=\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，△BEF∽△AED，$\frac{EF}{DE}=\frac{BE}{AE}$，$\frac{EF}{DE}+\frac{FG}{DG}=\frac{BE}{AE}+\frac{AB}{AE}=\frac{BE + AB}{AE}=\frac{AE}{AE}=1$。
(3) $\frac{1}{2}$
BF=CF，BC=2CF，AD=2CF，由(1)$\frac{CF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，$\frac{CF}{2CF}=\frac{AB}{AE}$，AE=2AB，BE=AB，△CGD∽△AGE，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{1}{3}$（原答案$\frac{1}{2}$可能有誤，應(yīng)為$\frac{1}{3}$）。
(4) $\frac{2}{5}$
$\frac{BF}{CF}=\frac{1}{2}$，設(shè)BF=k，CF=2k，BC=3k=AD，由(1)$\frac{2k}{3k}=\frac{AB}{AE}$，AE=$\frac{3}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$AB，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{\frac{3}{2}AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{2}{5}$。
(5) y=$\frac{1}{x + 1}$
$\frac{BF}{CF}=x$，BF=xCF，BC=(x + 1)CF=AD，$\frac{CF}{AD}=\frac{1}{x + 1}=\frac{AB}{AE}$，AE=(x + 1)AB，$\frac{CG}{AG}=\frac{CD}{AE}=\frac{AB}{(x + 1)AB}=\frac{1}{x + 1}$，$\frac{CG}{CA}=\frac{1}{x + 2}$（原答案y=$\frac{1}{x + 1}$可能有誤，應(yīng)為y=$\frac{1}{x + 2}$）。
思維與拓展4 如圖,已知AB//EF//CD,AB=a,CD=b,EF=c,求證:$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}$.
答案：證明：設(shè)EF交AC于O，∵AB//EF，$\frac{EF}{AB}=\frac{CO}{AC}$，$\frac{c}{a}=\frac{CO}{AC}$①，∵EF//CD，$\frac{EF}{CD}=\frac{AO}{AC}$，$\frac{c}=\frac{AO}{AC}$②，①+②得$\frac{c}{a}+\frac{c}=\frac{CO + AO}{AC}=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{c}$。
