中學(xué)生世界九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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11. 已知△ABC∽△A?B?C?，其相似比為$\frac{2}{3}$；△A?B?C?∽△A?B?C?，其相似比為$\frac{5}{4}$，則△ABC與△A?B?C?的對應(yīng)角平分線長之比為
$\frac{5}{6}$
.
答案：$\frac{5}{6}$
解析：△ABC與△A?B?C?相似比$\frac{2}{3}$，△A?B?C?與△A?B?C?相似比$\frac{5}{4}$，則△ABC與△A?B?C?相似比為$\frac{2}{3}×\frac{5}{4}=\frac{5}{6}$，對應(yīng)角平分線長之比等于相似比$\frac{5}{6}$。
12. 如圖，已知點D在△ABC的邊BC上，若∠DAC=∠B，且BD=5，AC=6，則CD的長為
4
.
答案：4
解析：∠DAC=∠B，∠C=∠C，△DAC∽△ABC。$\frac{CD}{AC}=\frac{AC}{BC}$，設(shè)CD=x，則BC=5+x。$\frac{x}{6}=\frac{6}{5+x}$，$x^2+5x-36=0$，解得x=4（x=-9舍去）。
三、解答題
13. 如圖，AB和CD兩根電線桿，分別在高10 m的A處和15 m的C處用鋼索將兩桿固定，求鋼索AD與鋼索BC的交點M離地面的高度MH.
答案：6 m
解析：設(shè)MH=h，BH=a，HD=b?！鰽BM∽△DHM：$\frac{AB}{MH}=\frac{BH}{DH}$，$\frac{10}{h}=\frac{a}$?！鰿DH∽△MBH：$\frac{CD}{MH}=\frac{DH}{BH}$，$\frac{15}{h}=\frac{a}$。兩式相乘：$\frac{150}{h^2}=1$，h= $\sqrt{150}$（錯誤）。正確方法：$\frac{h}{10}=\frac{DH}{BD}$，$\frac{h}{15}=\frac{BH}{BD}$，相加$\frac{h}{10}+\frac{h}{15}=1$，$\frac{3h+2h}{30}=1$，5h=30，h=6。
14. 如圖，△ABC中，已知AB=6，AC=5，BC=4，點D在邊AB上，且AD=4，點E在邊AC上。若以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，試求DE的長.
答案：$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{5}$
解析：分兩種情況：
①△ADE∽△ABC：$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{4}{6}=\frac{DE}{4}$，DE=$\frac{8}{3}$。
②△AED∽△ABC：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{4}{5}=\frac{DE}{4}$，DE=$\frac{16}{5}$
15. 已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＜BC，點E在AD的延長線上，∠ACE=∠BCD，EC2=ED·EA。
(1)求證：四邊形ABCD為梯形；
(2)如果EC=AC，求證：AB2=ED·BC。
答案：(1)證明：EC2=ED·EA，∠E=∠E，△ECA∽△EDA，∠ECA=∠EDA。∠ACE=∠BCD，∠EDA=∠BCD，AD//BC。AD＜BC，四邊形ABCD為梯形。
(2)證明：EC=AC，△ECA為等腰三角形，∠E=∠EAC?！鱁CA∽△EDA，∠EDA=∠ECA=∠BCD。AD//BC，∠EAB=∠ABC，∠EAC=∠ABC?！螮DA=∠BCD，∠E=∠ABC，△EAB∽△BCD，$\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{AB}$，AB2=ED·BC。
