中學(xué)生世界九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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9. 如圖,平行四邊形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是BE的中點(diǎn),AE與DF交于點(diǎn)H，則AH:HE=___.
答案：4:1
設(shè)BC=4k，E是BC中點(diǎn)，BE=2k，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，BF=k，AD=4k。
延長(zhǎng)DF交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于G，∵AD//BC，△ADH∽△EFH，$\frac{AH}{HE}=\frac{AD}{EF}=\frac{4k}{k}=4$，AH:HE=4:1。
10. 如圖,在△ABC中,DE//FG//BC.若DE:FG:BC=2:5:9,則AD:DF:FB=___.
答案：2:3:4
設(shè)AD=2k，DF=3k，F(xiàn)B=4k，AD:DF:FB=2:3:4（根據(jù)相似比平方等于面積比，線(xiàn)段比為相似比，2:5:9對(duì)應(yīng)相似比2:5:9，差為3:4，即AD:DF:FB=2:3:4）。
11. 如圖,已知AD//EF//BC,BE=3,AE=9,FC=2.
(1)求DF的長(zhǎng);
(2)若AD=3,EF=5,試求BC的長(zhǎng).
答案：解：$(1)$∵$AD//EF//BC$
∴$\frac {AE}{BE}=\frac {DF}{CF}$
∵$BE=3，$$AE=9，$$CF=2$
∴$\frac {9}3=\frac {DF}2$
∴$DF=6$
$(2)$過(guò)點(diǎn)$D$作直線(xiàn)$DH//AB，$直線(xiàn)$DH$與$BC$交于點(diǎn)$H，$與$EF$交于點(diǎn)$G$
由題意可知，四邊形$ADGE$和四邊形$EGHB$都是平行四邊形
∴$AD=EG=BH=3$
∵$EF=5$
∴$FG=2$
∵$EF//BC$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac {DF}{DC}$
∵$DF=6，$$DC=DF+FC=6+2=8$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac 3 4$
∴$CH=\frac 43FG=\frac 8 3$
∴$BC=\frac 8 3+3=\frac {17}3$
12. 如圖,在梯形ABCD中,已知AD//BC,中位線(xiàn)EF與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)G.若EG:GF=2:3,且AD=4,求BC的長(zhǎng).
答案：6
設(shè)EG=2k，GF=3k，EF=5k，EF是中位線(xiàn)，EF=$\frac{1}{2}$(AD + BC)，AD=4，BC=2EF - AD=10k - 4。
∵AD//EF//BC，G是BD中點(diǎn)，EG=$\frac{1}{2}$AD=2，GF=$\frac{1}{2}$BC，2k=2，k=1，GF=3，BC=6。
思維與拓展5 (梅內(nèi)勞斯定理)一條直線(xiàn)與三角形ABC的三邊BC、CA、AB(或其延長(zhǎng)線(xiàn))分別交于D、E、F.求證:$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$.
答案：證明：過(guò)C作CG//AB交DF于G，$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{CG}$，$\frac{CE}{EA}=\frac{CG}{AF}$，$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{CG}\cdot\frac{CG}{AF}\cdot\frac{AF}{FB}=1$。
