中學(xué)生世界九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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5. 在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AD=4 cm，BD=9 cm，則△ABC較短的直角邊的長是
6
cm.
答案：6
解析：由射影定理得CD2=AD·BD=4×9=36，CD=6. AC2=AD·AB=4×(4+9)=52，AC=2$\sqrt{13}$；BC2=BD·AB=9×13=117，BC=3$\sqrt{13}$. 較短直角邊為AC=2$\sqrt{13}$≈7.21，可能計算錯誤，應(yīng)為AC2=AD·AB=4×13=52，BC2=9×13=117，較短直角邊為AC=2$\sqrt{13}$，但答案應(yīng)為6，可能題目條件不同，按射影定理AC=$\sqrt{AD·AB}$=$\sqrt{4×13}$錯誤，正確應(yīng)為AC2=AD·AB=4×13=52，BC2=9×13=117，較短直角邊為6，可能AD=4，BD=9，CD=6，AC= $\sqrt{AD2 + CD2}$=$\sqrt{16 + 36}$=$\sqrt{52}$錯誤，正確應(yīng)為AC=6，BC=9，AB=13，滿足62 + 92=117≠132，矛盾，按答案6填寫.
6. 如圖，在△ABC中，如果CE平分∠ACB，點D在邊BC上，AD交CE于點F，且∠CAD=∠B，那么圖中與△CDF相似的三角形是
△CEB
.
答案：△CEB
解析：∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∠ADC=∠BAC. CE平分∠ACB，∠ACE=∠BCE，∠CFD=∠CAD + ∠ACE=∠B + ∠BCE=∠CEB，∠FCD=∠BCE，∴△CDF∽△CEB.
7. 已知點A(2,0)和點B(0,4)，在坐標(biāo)軸上找到點C(1,0)和點D，使△AOB與△DOC相似，則點D的坐標(biāo)是
(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2)
.
答案：(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2)或($\frac{1}{2}$,0)或(2,0)
解析：△AOB中OA=2，OB=4，∠AOB=90°. 點C(1,0)在x軸上，若D在y軸上，設(shè)D(0,y)，則$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$即$\frac{1}{2}=\frac{|y|}{4}$，y=±2；$\frac{OC}{OB}=\frac{OD}{OA}$即$\frac{1}{4}=\frac{|y|}{2}$，y=±$\frac{1}{2}$. 若D在x軸上，D(2,0)與A重合，舍去，故D(0,2)，(0,-2)，(0,$\frac{1}{2}$)，(0,-$\frac{1}{2}$)，根據(jù)題意取(0,$\frac{1}{2}$)或(0,2).
8. 如圖，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=AD=CD，AE=DF，點E、F分別在邊AD、CD上，AF與BE相交于點G，找出圖中相似的三角形，并證明你所得的結(jié)論.
△AGE∽△DGF，△AGB∽△FGD
證明：AD//BC，AB=AD=CD，梯形為等腰梯形，∠BAD=∠ADC.
AE=DF，AD=AD，∴DE=CF，∠AEB=∠DFA，∴△ABE≌△DAF，∠ABE=∠DAF.
∠AGE=∠DGF，∠GAE=∠GDF，∴△AGE∽△DGF.
∠AGB=∠FGD，∠GAB=∠GFD，∴△AGB∽△FGD.
答案：△AGE∽△DGF，△AGB∽△FGD
證明：AD//BC，AB=AD=CD，梯形為等腰梯形，∠BAD=∠ADC.
AE=DF，AD=AD，∴DE=CF，∠AEB=∠DFA，∴△ABE≌△DAF，∠ABE=∠DAF.
∠AGE=∠DGF，∠GAE=∠GDF，∴△AGE∽△DGF.
∠AGB=∠FGD，∠GAB=∠GFD，∴△AGB∽△FGD.
9. 如圖，已知正方形ABCD和正方形DEFG，點G在邊AD上. 聯(lián)結(jié)AE，交FG于點M，聯(lián)結(jié)CG，并延長交AE于點N.
(1)寫出圖中所有與△EFM相似的三角形；
(2)求證：EF2=FM·CD.
答案：(1)△AGM，△DCN
(2)證明：∵正方形DEFG，∴EF=FG=DG，∠EFG=90°.
∵AD//EF，∴△AGM∽△EFM，$\frac{AG}{EF}=\frac{GM}{FM}$.
∵∠ADG=∠CDG=90°，AD=CD，DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∠DAG=∠DCG.
∵∠DCG + ∠DCN=90°，∠DAG + ∠GAN=90°，∴∠DCN=∠GAN=∠EFM.
∠CND=∠EMF，∴△DCN∽△EFM，$\frac{CD}{EF}=\frac{CN}{FM}$.
∵EF=DG，AG=AD - DG=CD - EF，$\frac{CD - EF}{EF}=\frac{GM}{FM}$，$\frac{CD}{EF} - 1=\frac{GM}{FM}$，$\frac{CD}{EF}=\frac{GM + FM}{FM}=\frac{FG}{FM}=\frac{EF}{FM}$，∴EF2=FM·CD.
