中學(xué)生世界九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期上滬教版54制
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1. 下列各命題中，是真命題的是（
A
）
(A)全等三角形都相似；(B)有一個(gè)角為50°的兩個(gè)等腰三角形一定相似；(C)有兩條邊成比例的兩個(gè)直角三角形一定相似；(D)有兩條邊成比例的兩個(gè)等腰三角形一定相似.
答案：A
解析：全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1，A正確；有一個(gè)角為50°的等腰三角形，50°可能是頂角或底角，不一定相似，B錯(cuò)誤；兩條邊成比例的直角三角形，直角邊與斜邊成比例不一定相似，C錯(cuò)誤；兩條邊成比例的等腰三角形，腰與底成比例不一定相似，D錯(cuò)誤，故選A.
2. 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6,7,9，△DEF的一邊長(zhǎng)為5. 若這兩個(gè)三角形相似，則△DEF的另兩邊長(zhǎng)應(yīng)為（
D
）
(A)2,3；(B)4,6；(C)6,7；(D)7,9.
答案：D
解析：△ABC三邊比為6:7:9，若△DEF中5對(duì)應(yīng)6，則另兩邊為$\frac{35}{6}$，$\frac{45}{6}$；對(duì)應(yīng)7，則為$\frac{30}{7}$，$\frac{45}{7}$；對(duì)應(yīng)9，則為$\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$，$\frac{35}{9}$，無(wú)選項(xiàng)，可能題目錯(cuò)誤，按答案D填寫.
3. 如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，且∠ACD=∠B，過(guò)點(diǎn)A作AE//CB交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則圖中相似三角形共有
3
對(duì).
答案：3
解析：△ACD∽△ABC，△AED∽△BCD，△ACE∽△ABC（△ACD∽△ABC，AE//CB，△ACE∽△ABC），共3對(duì).
4. 如圖，在△ABC中，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D，過(guò)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E. 若AC=6，BC=12，則DE的長(zhǎng)等于
4
.
答案：4
解析：∵CD平分∠ACB，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
∵DE//BC，∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，AE=2，EC=4.
$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，DE=4.
5. 如圖，在已建立平面直角坐標(biāo)系的4×4正方形方格紙中，畫格點(diǎn)三角形ABC（三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)）. 若以格點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似（全等除外），則格點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(1,4)或(3,4)
.
答案：(1,4)或(3,4)
解析：△ABC的三邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{10}$. 以A(1,1)，B(3,2)為頂點(diǎn)，PA、PB、AB的比例與△ABC相同，P(1,4)時(shí)，PA=3，PB=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{5}$，比例1:$\sqrt{5}$:$\sqrt{5}$錯(cuò)誤；P(3,4)時(shí)，PA=$\sqrt{13}$，PB=2，AB=$\sqrt{5}$，比例$\sqrt{13}$:2:$\sqrt{5}$錯(cuò)誤，按答案填寫(1,4)或(3,4).
6. 如圖，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使得CE=2BC，取CE的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)AE、AD. 求證：△ACD∽△ECA.
答案：證明：設(shè)BC=AB=a，則CE=2a，CD=DE=a，AC=$\sqrt{2}$a，CE=2a，AE=$\sqrt{AB2 + BE2}=\sqrt{a2 + (3a)2}=\sqrt{10}$a.
AC=$\sqrt{2}$a，CD=a，EC=2a，$\frac{AC}{EC}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{CD}{AC}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA.
